课程名称：《自动控制原理》第3周，年第1讲次本讲目的要求及重点难点：【目的要求】讲述环节信号的特性，引入拉氏变换法。[重 点1拉普拉斯变换法。[难点] 拉普拉斯变换法。[本讲课程的引入通过讲述环节信号的特性，引入拉氏变换法。[本讲课程的内容]第二节构成环节的特性（数学模型的引入与典型环节的特性）一．环节信号的特性（一）静特性静特性是指环节在静态时输出信号增量与输入信号增量之比。它与信号的变化过程无关，只与过渡过程的始态与终态有关。Ki=输出增量/输入增量（二）动态特性（过渡响应特性）用与阶跃信号相对应的响应称为过渡响应例题：RC电路的阶跃零状态响应（引入数学模型一一拉氏变换法）已知uc(0)=0，求t≥0时的uc(t)+UR()-ic(t)uc(t)UOC[Rce+ue=U, (≥0.)定量分析：dtuc(∞o)=Usuc(0)=0:17
17 课程名称：《自动控制原理》 第 3 周 ， 第 1 讲次 本讲目的要求及重点难点： [目的要求] 讲述环节信号的特性，引入拉氏变换法。 [重 点] 拉普拉斯变换法。 [难 点] 拉普拉斯变换法。 [本讲课程的引入] 通过讲述环节信号的特性，引入拉氏变换法。 [本讲课程的内容] 第二节 构成环节的特性（数学模型的引入与典型环节的特性） 一．环节信号的特性 （一）静特性 静特性是指环节在静态时输出信号增量与输入信号增量之比。它与信号的变 化过程无关，只与过渡过程的始态与终态有关。 Ki =输出增量 / 输入增量 （二） 动态特性（过渡响应特性） 用与阶跃信号 相对应的响应称为过渡响应 例题： RC 电路的阶跃零状态响应（引入数学模型——拉氏变换法） 已知 C u (0) 0 = ，求 t 0 时的 uc(t) 定量分析： C C S C ( 0 ) (0) 0 du RC u U t dt u + + = = u C（∞）= US US + _ uR(t) _ + uC(t) + _ iC(t) C C
一阶线性非齐次常微分方程，通解为U c-Kest +Usuc, UR,icUs令(=0,ouc(0)=U,+K=0 = K=-UsiCUR:. uc(t)=Us-U,e"c =U,(1-e'RC) (t≥0.)t从这一例子可以看出，直接求解微分方程比较困难，尤其是高阶或较复杂的微分方程，直接求解很困难。为此我们引入拉普拉斯变换这种简明的方法。二。拉普拉斯变换与传递函数（一）拉普拉斯变换1定义：一个定义在0≤t<α区间的函数f（t)，它的拉普拉斯变换式为：F (s) =Jo f (t)est dt式中s=α+jα为复数。记为 F(S)=L[f(t)]=Jf(t)statF（S）称为f（t）的象函数；f（t）称为F（S）的原函数2拉式变换定理1线性定理设Fi（S=L[fi（t)]则L[afi（t)jJ+bf2（t)]=aL[fi（t)J+bL[f2（t)]F2 (S)=L[f2 (t) ]=aFi (S)+bF2 (S)其中a b为常数2微分定理一一时域导数性质设F（S)=L[f（t)1则有L[df（t)/dt]=SF(S)-f(0-)同理 L[d2 f (t) /dt2]=S2F(S)-S f(0-)-f'(0-)L [d3 f (t) / dt3 j= 3 F(S)-S2 f(0-) - S f(0-) - f "(0-)L [dnf (t) /dtn ]= SnF(S)-Sn-I f(0-)- Sn-2 f'(0-)- .. . - f n-I(0-)18
18 一阶线性非齐次常微分方程，通解为 u C=Ke st +US t 0 令＝ + C S S u U K K U (0 ) 0 + = + = = − C S S S ( ) e (1 e ) ( 0 ) t t RC RC u t U U U t − − = − = − + 从这一例子可以看出，直接求解微分方程比较困难，尤其是高阶或较复杂的 微分方程，直接求解很困难。为此我们引入拉普拉斯变换这种简明的方法。 二．拉普拉斯变换与传递函数 （一）拉普拉斯变换 1 定义：一个定义在 0≤t＜∞ 区间的函数 f（t），它的拉普拉斯变换式为： F（S）= f（t） ∞ ∫0- e -st dt 式中 s = σ+jω 为复数。记为 F（S）=L [ f（t）] = f（t） ∞ ∫0- e -st dt F（S）称为 f（t）的象函数 ；f（t）称为 F（S）的原函数 2 拉式变换定理 1 线性定理 设 F1（S）=L [ f1（t）] 则 L [a f1（t）]+b f2（t）] = a L [ f1（t）]+ b L [ f2（t）] F2（S）=L [ f2（t）] = a F1（S）+ b F2（S） 其中 a b 为常数 2 微分定理——时域导数性质 设 F（S）=L [ f（t）] 则有 L [d f（t）/ dt ] = S F(S)-f (0-) 同理 L [d2 f（t）/ dt2 ] = S2 F(S)-S f (0-)- f ’(0-) L [d3 f（t）/ dt3 ] = S3 F(S)-S 2 f (0-) - S f ’(0-) - f ’’(0-) . . . L [dn f（t）/ dtn ] = Sn F(S)-S n-1 f (0-)- S n-2 f ’(0-)- . . . - f n-1 (0-) iC uR 0 t uC, uR, iC US US I0 uC
若上式中所有初始值都为零则L[df (t) /dt] =SF(S)L[d2f (t) /dt2]=S2F(S)L [d3 f (t) /dt3]=S3 F(S)..L[dnf (t) /dtnj=SnF(S)3积分定理设 F(S)=L[f (t) ] 则有 L[Jf (t) dt]=1/SF(S)+1/Sf(-I)(0-)同理 L[ J f (t) (dt)2]=1/S2 F(S)+1/S2f(-I) (0-)+1/S f(-2) (0-)...L [J ... J f (t) (dt)n ]= 1/Sn F(S)+1/nf (-I) (0-)+...+1/S f(-n) (0-)式中f(-1)(0-)f(-2)(0-)..f(-n)(0-)为f （t）的各重积分4初值定理及其一阶导数若原函数f（t）及其一阶导数f"（t）都是可拉氏变换的,则函数f（t）的初值为 f (O+)=lim f (t)=limSF(S)t-8t-0+5终值定理若原函数f（t）及其一阶导数f"（t）都是可拉氏变换的,则函数f（t）的终值为limf(t)=lim SF(S)t→8S-06位移定理一—时滞定理设F(S)=L[f (t) ]则有 L[f (t-TO)]=es°F(S)另外 L[eatf（t) ]=F(S-a）L[e-atf（t)]=F(S+a)例如: L[e-at sin t]= /(s+a)2+ 2常见拉氏变换公式见书上表11-119
19 若上式中所有初始值都为零 则 L [d f（t）/ dt ] = S F(S) L [d2 f（t）/ dt2 ] = S2 F(S) L [d3 f（t）/ dt3 ] = S3 F(S) . . . L [dn f（t）/ dtn ] = Sn F(S) 3 积分定理 设 F（S）=L [ f（t）] 则有 L [∫f（t）dt ] = 1/S F(S)+1/Sf (-1) (0-) 同理 L [∫∫f（t）(dt)2 ] = 1/S2 F(S)+1/S2 f (-1) (0-)+1/S f (-2) (0-) . . . L [∫.∫f（t）(dt)n ] = 1/Sn F(S)+1/Sn f (-1) (0-)+.+1/S f (-n) (0-) 式中 f (-1) (0-) f (-2) (0-) . f (-n) (0-) 为 f（t）的各重积分 4 初值定理及其一阶导数 若原函数 f（t）及其一阶导数 f’（t）都是可拉氏变换的,则函数 f（t）的初值 为 f（0+）= lim f（t）= lim S F（S） t→0+ t→∞ 5 终值定理 若原函数 f（t）及其一阶导数 f’（t）都是可拉氏变换的,则函数 f（t）的终值 为 lim f（t）= lim S F（S） t→∞ S→0 6 位移定理——时滞定理 设 F（S）=L [ f（t）] 则有 L [f（t –τ0）] = e -sτ0 F(S) 另外 L [e at f（t）] = F(S-a ) L [eat f（t）] = F(S+a ) 例如 ：L [eat sinωt ] = ω/ (s + a)2 + ω2 常见拉氏变换公式见书上 表 11-1
那么本节开头RC电路的阶跃零状态响应--采用拉氏变换法du.(t)RC+u(t)= Udtdu.(t)UL［RC+u(t)J=dtSL[u(t)]=U(s)u(0) =0RCS U(S)+ U(S)= 号SU1UU(S)=S(RCS+1) =RC S(S+1/RC)比较表“11-1式9”URCRC(1-)=U (1-c)u(t)=（二）拉普拉斯反变换1u+jwf (t) =2hjJojF (S)estds对简单的象函数，可对照表11-1查出。工程实践中，求复杂象函数的原函数时通常先用部分分式展开法一一海维赛德展开定理，将复杂函数展开成简单函数的和，再应用拉式变换对照表。一般，象函数F（S）是复变函数S的有理代数分式_ bo S"+b S"-1+. .. + bm-1S+bmB (S)F(S)=A(S)s"+ai sn-1+... + an-1S+an式中al.a2.....an,bo,bi....,bm都是实常数.m,n是正整数，通常m<n将F（S）的分母因式分解bo S+b1 sm-1+. .. + bm-1S+bmB (S)F(S) =A(S)(S-S1) (S-S2).:.(S-Sn)式中S1，S2，.,Sn是A（S）=0的根，称为F（S）的极点。20
20 那么 本节开头 RC 电路的阶跃零状态响应-采用拉氏变换法 (1-e ) RC - = U - u(t)= U RC(1-e ) RC c RC S(S+1/RC) 比较表“11-1式9” = U(S) c L [ ]= u(t) c L [ ]= RC U(S) c RCS + dt u(t) c S S(RCS+1) U + U(S) c = U(S) c t t RC U = U S =0 u(0) c + du(t) c dt u(t) c RC d u(t) c = U U 1 （二）拉普拉斯反变换 f（t）= 2πj 1 ∫ F（S） σ+jω σ-jω st e ds 对简单的象函数，可对照表 11-1 查出。工程实践中，求复杂象函数的原函数 时通常先用部分分式展开法——海维赛德展开定理，将复杂函数展开成简单函数 的和，再应用拉式变换对照表。 一般，象函数 F（S）是复变函数 S 的有理代数分式 F（S）= + + S S A（S） B（S） b0 = +.+ +.+ n n-1 +a1 S m-1 +b1 S m an-1S bm-1S an bm 式中 a1 ,a2 ,.,an, b0 ,b1 ,.,bm 都是实常数 m,n 是正整数，通常 m<n 将 F（S）的分母因式分解 +.+ (S-S1)(S-S2).(S-Sn) B（S） A（S） F（S）= b0 S = +b1 S m m-1 bm-1S +bm 式中 S1，S2，. ,Sn 是 A（S）=0 的根，称为 F（S）的极点
分两种情况：（1）A（S）=0无重根这时F（S）可展开为n个简单的部分分式之和C1CiCnC2CinwF (S)=S-S1S-S2S-SiS-Sni=iS-SiB (S)或Ci=lim (s-si)F(S)Ci-A (S)S=SiS→Si则CinnSitf (t)=L' [F (S) ]-L'[2MCie1=1S-Sii-1s2 +3s-2例 求F(S)=的原函数s(s2+3s+2)s2+3s-2解： F(S)=s(s2+3s+2)ABCsS+1S+2s2 +3s-2=1A= lim S c(S)=lim(s2+3s+2)s--oS--0-s2-3s+24B= lim(S+1)C(S)=1im (S+1)(s2+3s+2)S-1S--1s2-3s+2-2C= lim(S+2)C(S)=1im (S+2)(s2+3s+2)s-S--2-2142所以C(S)=1SS+2S+1经拉氏反变换，系统的输出响应为421f(t)=L-1[F(S)]= L-1SS+2S+1+ 2 e-2t=1-4 e-t 21
21 分两种情况： （1）A（S）=0 无重根 这时 F（S）可展开为 n 个简单的部分分式之和 F（S）= +. S→Si C1 S-S1 + C2 S-S2 + +. Ci S-Si . A（S） B（S） + Cn S-Sn S-Si S=Si Ci i=1 n 则 f(t)=L [F(S)] -1 i=1 -1 n L Ci S-Si S t i C e n i=1 i S+1 B s +3s-2 s(s +3s+2) s(s +3s+2) s +3s-2 0 lim = lim S C(S) lim = lim (S+1)C(S) lim -2t L ( ) 经拉氏反变换，系统的输出响应为 =1-4е + 2е = lim (S+2)C(S) S S -1 f(t)=L [F(S)]= -t B = -2 所以 C(S) -1 C S S = S 1 = F(S)= 0 解: A S 2 2 A S = + = S 例 求 F(S)= 2 -1 1 4 2 S S+1 - S+2 + (S+1) 2 =-4 (s +3s+2) S+2 (s +3s+2) -s -3s+2 2 - + S+1 4 -2 (S+2) 2 2 -1 =2 (s +3s+2) -s -3s+2 S+2 + C 2 2 s +3s-2 2 =1 2 的原函数