LinearModels线性模型定理4.1线性模型的MVU估计：如果观测数据可以被建模为(4.8)x=H0+w其中x是NX1的观测矢量,H是已知的NXp（N>p）观测矩阵,秩为p。Q是p×1的待估计的参数向量，w是N×1的噪声矢量,概率密度函数为N(0,α2I)(4.9)则MVU估计为：:= (HTH)-1HTxC=α2(HTH)-1(4.10)的协方差矩阵是：对于线性模型，MVU估计量是有效的，它达到了CRLB
定理4.1 线性模型的MVU估计: 如果观测数据可以被建模 为 （4.8） 其中x是N×1的观测矢量,H是已知的N×p（N>p）观测矩 阵,秩为p。 是p×1的待估计的参数向量，w是N×1的噪声 矢量,概率密度函数为 则 MVU估计为: （4.9） 的协方差矩阵是: （4.10） 对于线性模型, MVU估计量是有效的，它达到了CRLB 线性模型 Linear Models Linear Models θ
Linear Models(4.8)x=H0+w0 = (HTH)-1HTx(4.9)线性模型（4.8）式代入到（4.9）式，易证0是无偏的，由于θ是高斯随机矢量X的线性变换，因此的性能就可完全确定（不仅仅是均值和方差），因而~ N(0,α2(HT H)-1)线性模型MVU估计量的高斯特性允许我们精确的确定统计性能
（4.8） （4.8）式代入到（4.9）式，易证 是无偏的，由于 是 高斯随机矢量 的线性变换，因此 的性能就可完全确定 （不仅仅是均值和方差），因而 线性模型MVU估计量的高斯特性允许我们精确的确定统计 估计量的高斯特性允许我们精确的确定统计 性能。 线性模型 Linear Models Linear Models （4.9） ˆ θ ˆ x θ ˆ θ ˆ N( , ( ) ) 2 1 H HT θ θσ − ∼
LinearModels线性模型举例一例4.1曲线拟合在许多种实验情况下，我们希望确定一对变量之间的实验关系。例如，在图4.2中，我们给出了在时间1=，，..，-上进行的电压测量的实验结采。通过画出测量值的图形似乎可以看出，被测电压可能是时间的二次函数。这些点并没有精确地位于曲线上是由于实验误差或噪声引起的。因此，数据的一个合理模型是r(tn)=1+02tn+0st2+w(tn)n=0,1,...,N1电压一测量的电压，工（t元）敏设关系.s(c)时间，ttotit2t3tN1图4.2实验数据
线性模型举例－例4.1 曲线拟合 Linear Models Linear Models
LinearModels线性模型举例一例4.1曲线拟合问题的线性模型(tn)=01+02tn +03t +w(tn), n =0,..:,N-1x=H0+w这里x = [c(to)r(t1)...a(tN-1)]]0 = [010203]Tt1tot31tiH =..1tN-1tN-1
这里 曲线拟合问题的线性模型 线性模型举例－例4.1 Linear Models Linear Models
LinearModels线性模型举例-例4.1总而言之，如果我们要使用（P一1）阶的多项式来拟合实验数据，那么可以有r(tu)=01+02tn+..+0pt-1+w(tn)n=0,1,...,N-18=[0,62...8,]"的MVU估计量由（4.9)式可得 (HTH)-IHTx其中[r(to)a(t1)...(tn-1)]TX=1to1tiH=(N×p):.tr-1tN-1本例的观测矩阵具有Vandemonde矩阵的特殊形式，注意导出的曲线拟合为s(t) 8,-)t=l其中s(z)表示基本曲线或信号
线性模型举例 - 例4.1 Linear Models Linear Models