LinearModels线性模型举例-例4.2傅立叶分析计多信号都展示了周期行为，在实际中经常要通过傅里叶分析来确定强周期分量的出现。大的傅里叶系数显示了强周期分量。在本例中，我们证明傅里叶分析实际上刚好是线性模型参数的估计考虑一个由高斯白噪声中正弦信号组成的数据模型：MM(2元kn）12元km）a[n] =Zatcosbk sin++ w[n]n0,1,...,N-1(4.12)NNk=1k=1其中w[n]是WGN。假定频率是基频f=1/N的谐波或倍数，表示为f=k/N。要估计的余弦和正弦的幅度为α和b。为了根据线性模型来重新描述这一一问题，令=[aja2...aMbb2...bm]和H=1100(3)COS((装cos[sin()sin (2M):.cos [2(-] cos [2M(N-11]sin [2(-].sin [2M(W-].N注意H是N×2M维的，其中P=2M。因此,为了使H满足N>P，我们要求M<N/2。在
线性模型举例 - 例4.2傅立叶分析 Linear Models Linear Models
LinearModels线性模型举例一例4.2确定MVU估计量时，注意到H的列是正交的，这样可以简化计算。令H用列的形式表示为H = [h, h2...h2M]其中h，表示H的第i列，那么可以得出hTh, = 0对于这一性质是相当有用的，它使得hHTH =[hih2M:hZMh,h,hTh2h,h2Mhthih,h2hth2M.-himhihimh?himham变成了一个易于求逆的对角矩阵。列的正交性是根据离散傅里叶变换关系导出的，对于
线性模型举例－例4.2 Linear Models Linear Models
LinearModels线性模型举例一例4.2变成了一个易于求逆的对角矩阵。列的正交性是根据离散傅里叶变换关系导出的，对于i.j=1,2.....M<N/2:N-1(2minN12元jnZcosAcOsNN2n=0N-12rin2njnNZsinsin(4.13)N2Nn=0N-1(2元in2元jn20sin对于所有的，3cOSaNNn=o正交性的简要证明在习题4.5中给出，利用这一性质，我们有220002J20NHTH=.....2·21200
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LinearModels线性模型举例一例4.2所以，幅度的MVU估计量是=(HTH)-"HTxhi22HTXNNbEMAhTxA.Zh2mx或者最终为N-1212元kZaz[njcosNNn=0(4.14)N12-N2rkn2r[n] sinNn=0可以看出这些是离散傅里叶变换的系数。由线性模型的性质，可以立即得出均值为E(ak)=k(4.15)E(b)=bk
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LinearModels线性模型举例一例4.2协方差矩阵为0(HTH)-)V2(4.16)2g2N因为是高斯的，协方差矩阵是对角矩阵，那么幅度估计是独立的（正弦信号检测的应用请参见习题4.6)。从这个例子可以看出，在简化MVU估计量和它的协方差短阵的计算中，关键的要素是H列的正交性，注意，如果频率任意选择，那么这一性质并不总是成立的
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