3.3二阶系统的时间响应及动态性能 3.3.1二阶系统传递函数标准形式及分类 常见二阶系统结构图如图3-6所示其中K,T为环节参数。系统闭环传递函数为 (S)=T3+s+K 化成标准形式 0)2 (6)=+250.5+ (首1型)(3-5) C() s(T8+1) 1 ()=Tg+2T5+1 (尾1型)(36) 图36常见二阶系统结构图 T 11 、O,分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶 系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。 二阶系统闭环特征方程为 D(s)=s2+2505+0片=0 其特征特征根为 a=-5@,±0，后- 若系统阻尼比5取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分 类，见表33。 表3-3二阶系统（按阻尼比5）分类表 分类 特征根 特征根分布 模态 5>1 2=-50,±0nV52-l 即 e 过阻尼 etr 1
57 3.3 二阶系统的时间响应及动态性能 3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类 常见二阶系统结构图如图 3-６所示其中 K ，T 为环节参数。系统闭环传递函数为 T s s K K s + + = 2 1 ( ) 化成标准形式 2 2 2 2 ( ) n n n s s s + + = （首 1 型） （3-5） 2 1 1 ( ) 2 2 + + = T s T s s （尾 1 型） （3-6） 式中， K T T 1 = ， 1 1 T K T n = = ， 1 1 2 1 KT = 。 、n 分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶 系统的首 1 标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾 1 标准型。 二阶系统闭环特征方程为 ( ) 2 0 2 2 D s = s + n s + n = 其特征特征根为 1 2 1,2 = −n n − 若系统阻尼比 取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分 类，见表 3-3。 表 3-3 二阶系统（按阻尼比 ）分类表 分类 特征根 特征根分布 模态 1 过阻尼 1 2 1,2 = −n n − t t e e 2 1
5=1 乙2=-0n e-ou 临界阻尼 leou 0<5< 元1×计 e-sin 1-2ot A2=-50,±j0nV1-5 欠阻尼 22× e-m cos1-520t 5-0 sin t 2=j0。 零阻尼 cos@t 数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征 根决定，代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是2，入，…，元且无重根，则把函 数e,e,,e称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。 如果特征根中有多重根元，则模态是具有e,te”,…形式的函数。 如果特征根中有共轭复根入=G士j0,则其共轭复模态ea+加"与eo-o可写成实函 数模态e“sino1与e"cosot。 每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其 相应模态的线性组合。 3.3.2过阻尼二阶系统动态性能指标计算 设过阻尼二阶系统的极点为 A=7t-F可a,名=方+可a,>) 系统单位阶跃响应的拉氏变换 C(s)=()R(s)=(s++)s 进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应 e 120 (3-7) T
58 = 1 临界阻尼 1,2 = − n t t n n te e − − 0 1 欠阻尼 2 1,2 = −n jn 1− e t e t n t n t n n 2 2 cos 1 sin 1 − − − − = 0 零阻尼 n 1,2 = j t t n n cos sin 数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征 根决定，代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是 1，2 ， , n 且无重根，则把函 数 t e 1 ， t e 2 ， , t n e 称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。 如果特征根中有多重根 ，则模态是具有 t te ，t 2 e t , 形式的函数。 如果特征根中有共轭复根 = j ，则其共轭复模态 t e ( +j) 与 t e ( −j) 可写成实函 数模态 e t t sin 与 e t t cos 。 每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其 相应模态的线性组合。 3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算 设过阻尼二阶系统的极点为 ( ) n T 1 1 2 1 1 = − = − − − ( ) n T 1 1 2 2 2 = − = − + − ( ) T1 T2 系统单位阶跃响应的拉氏变换 s T s T s C s s R s n 1 ( 1 )( 1 ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 + + = = 进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应 1 1 ( ) 1 2 1 1 2 1 2 − + − = + − − T T e T T e h t T t T t t 0 （3-7）
过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡 的单调上升曲线。根据式(37)，令T/T2取 不同值，可分别求解出相应的无量纲调节时间 【,/T,如图37所示。图中为参变量，由 20上1z 171 s2+25s+o2=(s+1VTs+1/T2) 可解出 6=1+g) 图3-7过阻尼二阶系统的调节时问特性 2T/T, 当T/T,(或5)很大时，特征根入=-1VT比入，=-1VT远离虚轴，模态很快 衰减为零，系统调节时间主要由入=-1/T对应的模态e心决定。此时可将过阻尼二阶系 统近似看作由入，确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图37曲线体现了这一规律性。 >图3-7的绘制程序， Tb=0:T=0:t=0:0.01:50,T2=10 for i 1:length(T2) T1=T2(1):0.1*T2(i):20*T2(1) for j=1:length(T1) Tb=[Tb T1(j)/T2(i)] nun=[1/T1G)*T2(i)] den=[10/T1(6D+1/T2(i)1/(T1(G)*T2(i)]: y step(mum,den,t): for k=length(y):-1:1 if(abs(y(k)-1)>=0.05 Ts=[Tsk*0.01)/T1(j] break; end ab plot(Tb.Ts.'b-'):set(ab.'Linewidth'.1.5):grid x1bc(T1T2'),y1abe1CTs/T1'),tit1e(过阻尼二阶系统的调节时间特性)： 16 例33某系统闭环传递函数)+105+16·计第系统的动态性能指标
59 过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡 的单调上升曲线。根据式（3-7），令 T1 T2 取 不同值，可分别求解出相应的无量纲调节时间 T1 t s ，如图 3-7 所示。图中 为参变量，由 2 ( 1 )( 1 ) 1 2 2 2 s + n s + n = s + T s + T 可解出 1 2 1 2 2 1 ( ) T T + T T = 当 T1 T2 （或 ）很大时，特征根 2 = −1 T2 比 1 = −1 T1 远离虚轴，模态 T2 t e − 很快 衰减为零，系统调节时间主要由 1 = −1 T1 对应的模态 T1 t e − 决定。此时可将过阻尼二阶系 统近似看作由 1 确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图 3-7 曲线体现了这一规律性。 例 3-3 某系统闭环传递函数 10 16 16 ( ) 2 + + = s s s ，计算系统的动态性能指标。 图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性
16 16 解)=+105+16s+2Xs+8)(s+VTX6+V四 T=2=05 7=g=0.125 T/T2=0.5/0.125=4 5=四=125>1 2、T/T 查图37可得兰33，计算得 1h 1.=3.3T=3.3×0.5=1.65s 09 图38给出系统单位阶跃响应曲线。 07 >图3-3的计算程序： 06 t=[0:0.5:4];r=ones(size(t)) 0.5 nm=[16]:den=[11016]: [c,x,t]=step(num,den,t); pl0t(t,x,'-',t,c,'-): xlabel('t/s'),ylabel('h(t)'):grid; 例3-4角速度随动系统结构图如图 图3-8例3-3图 3-9所示。图中，K为开环增益，T=0.1s为同服电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃 响应无超调，且调节时间1，≤1s,问K应取多大？ 解根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短 应取阻尼比5=1。由图39，令闭环特征方程 图3-9角度随动系统结构图 [T-2T=2×0.1=0.2 比较系数得 K=T/T2=0.1/0.22=2.5 查图37，可得系统调节时间1，-4.75-0.95s,满足系统要求
60 解 ( 2)( 8) ( 1 )( 1 ) 16 10 16 16 ( ) 1 2 2 2 s s s s s T s T s n + + = + + = + + = 0.5 2 1 T1 = = 0.125 8 1 T2 = = T1 T2 = 0.5 0.125 = 4 1.25 1 2 1 ( ) 1 2 1 2 = + = T T T T 查图 3-7 可得 3.3 1 = T t s ，计算得 1 3.3 3.3 0.5 1.65 s t T s = = = 图 3-8 给出系统单位阶跃响应曲线。 例 3-4 角速度随动系统结构图如图 3-9 所示。图中， K 为开环增益， T = 0.1 s 为伺服电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃 响应无超调，且调节时间 t s 1 s，问 K 应取多大？ 解 根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短， 应取阻尼比 = 1 。由图 3-9，令闭环特征方程 0 2 1 ) 1 ( 1 2 1 1 2 2 1 2 + + = + = + + = T s T s T s T K s T s 比较系数得 = = = = = = 0.1 0.2 2.5 2 2 0.1 0.2 2 2 1 1 K T T T T 查图 3-7，可得系统调节时间 t s = 4.75T1 = 0.95 s，满足系统要求
3.3.3欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 1.欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法 欠阻尼二阶系统的极点可以用如图3-0所示的两种形式表示。 (1)直角坐标表示 2=o±j04=-50n±jN1-50n(3-8 (2)“极”坐标表示 =o 「cosB=E sin B- (3-9) ∠1=B g=-0 2。欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 图3-10欠阻尼二阶系统颓点表示 由式(3-5)，可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为 1-1 s+25 C)=)o)=g+25@+m专s+5a,P+0-5@: s+50n 1-2on 系统单位阶跃响应为 0=1-ecos-gFa,小-三。ersm-EFa,j 1- i产2 -小gai-o小 i-京m-子o+arctan-E (3-10) 系统单位脉冲响应为 k0=h')=L户[Φ(s)]=L V1-5o. "年em-fa 0。 (3-11) 典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图31所示。响应曲线位于两条包络线
61 3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 1．欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法 欠阻尼二阶系统的极点可以用如图 3-10 所示的两种形式表示。 （1）直角坐标表示 d n n j j 2 1,2 = = − 1− （3-8） （2）“极”坐标表示 = = n = − = 2 sin 1 cos （3-9） 2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 由式（3-5），可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为 s s s C s s R s n n n 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 + + = = 2 2 2 ( ) (1 ) 1 2 n n n s s s + + − + = − 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (1 ) 1 ( ) (1 ) 1 1 n n n n n n s s s s + + − − − − + + − + = − 系统单位阶跃响应为 ( ) ( − ) = − = − − − − − h t e t e t n t n t n n 2 2 2 sin 1 1 ( ) 1 cos 1 − ( − )+ ( − ) = − − − t t e n n t n 2 2 2 2 1 cos 1 sin 1 1 1 2 2 2 1 1 sin 1 arctan 1 n t n e t − − − − + − （3-10） 系统单位脉冲响应为 − + + − − = = = − − 2 2 2 2 2 1 1 ( ) (1 ) 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n s k t h t L s L e t n n t n 2 2 sin 1 1 − − = − （3-11） 典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图 3-11 所示。响应曲线位于两条包络线