6.3z变换理论 :变换是从拉氏变换引申出来的一种变换方法，是研究线性离散系统的重要数学工具。 6.3.1z变换定义 由式(6-5)，采样信号e()的拉氏变换 E'(s)=Ee(nT)em (6-18) 可见E(s)为5的超越函数。为便于应用，进行变量代换 :=e (6-19) 将式(6-19)代入式(6-18)，则采样信号e'()的：变换定义为 Ba)=E'ol.=∑enn: (6-20) 有时也将E(:)记为 E(=)=Zle'(1)]=Zle(t)]=ZE(s)] (6-21) 这些都表示对离散信号e`()的z变换。 §6.3.2二变换方法 常用的：变换方法有级数求和法和部分分式法。：变换定义式(6-20)有明确的物理意 义：即变量：的系数代表连续时间函数在采样时刻T上的采样值。 1.级数求和法 根据：变换的定义，将连续信号()按周期T进行采样，将采样点处的值代入式(6-20)， 可得 E(z）=e0)+e(T)z1+e(2T)z2+…+e(nT)zn+… 再求出上式的闭合形式，即可求得E(:): 例61对连续时间函数 232
232 6．3 z 变换理论 z 变换是从拉氏变换引申出来的一种变换方法，是研究线性离散系统的重要数学工具。 6.3.1 z 变换定义 由式(6-5)，采样信号 ( ) * e t 的拉氏变换 = − = 0 * ( ) ( ) n nsT E s e nT e (6-18) 可见 E s( ) 为 s 的超越函数。为便于应用，进行变量代换 sT z = e （6-19） 将式(6-19)代入式(6-18)，则采样信号 ( ) * e t 的 z 变换定义为 = − = = = 0 ln 1 * ( ) ( ) ( ) n n z T s E z E s e nT z (6-20) 有时也将 E(z) 记为 ( ) [ ( )] ( ) ( ) * E z = Z e t = Z e t = Z E s (6-21) 这些都表示对离散信号 ( ) * e t 的 z 变换。 §6.3.2 z 变换方法 常用的 z 变换方法有级数求和法和部分分式法。 z 变换定义式（6-20）有明确的物理意 义：即变量 n z − 的系数代表连续时间函数在采样时刻 nT 上的采样值。 1. 级数求和法 根据 z 变换的定义，将连续信号 e(t) 按周期 T 进行采样，将采样点处的值代入式（6-20）， 可得 E(z) = e(0) + e(T)z −1 + e(2T)z −2 ++ e(nT)z −n + 再求出上式的闭合形式，即可求得 E(z)。 例 6-1 对连续时间函数
a e0-0 (120) 1<0) 按周期T=1进行采样，可得 a" n)o (n≥0) (n<0) 试求E(:)。 解按(6-20)z变换的定义 E(e)=∑e(nT)z"=∑(az)”=1+az+(az)2+(az）3+… 若>d,则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得闭合形式为 E(=)=-a E>a 2.部分分式法（查表法） 已知连续信号()的拉氏变换E(s),将E(s)展开成部分分式之和，即 E(s)=E(s)+E2(s)+…+En(S) 且每一个部分分式E,(s),i=1,2,…n,都是：变换表中所对应的标准函数，其：变换即可 查表得出 E()=E,(e)+E2(e)+…+En(e) 例6-2已知连续函数的拉氏变换为 +2 E(5)=(s+1) 试求相应的：变换E(e)。 解将E(s)展成部分分式： 对上式逐项查：变换表，可得 233
233 = 0 ( 0) ( 0) ( ) t a t e t t 按周期 T = 1 进行采样，可得 = 0 ( 0) ( 0) ( ) n a n e n n 试求 E(z)。 解 按(6-20) z 变换的定义 = = = + − + − + − + = − = − 1 1 2 1 3 0 1 0 E(z) e(nT)z (az ) 1 az (az ) (az ) n n n n 若 z a ，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得闭合形式为 z a z a z E z − ( ) = 2. 部分分式法（查表法） 已知连续信号 e(t) 的拉氏变换 E(s) ，将 E(s) 展开成部分分式之和，即 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 E s E s E s E s = + ++ n 且每一个部分分式 E (s) ,i 1, 2, n, i = 都是 z 变换表中所对应的标准函数，其 z 变换即可 查表得出 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 E z E z E z E z = + ++ n 例 6-2 已知连续函数的拉氏变换为 ( 1) 2 ( ) 2 + + = s s s E s 试求相应的 z 变换 E(z)。 解 将 E(s) 展成部分分式： 1 2 1 1 2 + = − + s s s E(s) 对上式逐项查 z 变换表，可得
e)=-+:-e -T+e-D:'+ll-eQT+DE (e-1)'(2-e) 常用函数的：变换表见附录中的附表A-2。由该表可见，这些函数的：变换都是：的有 理分式。 6.3.3二变换的基本定理 应用：变换的基本定理，可以使：变换的应用变得简单方便，下面介绍常用的几种：变 换定理。 1.线性定理 若E,(2)=Z[e(t],E,(e)=ZIe,(,a,b为常数，则 Zae,()±be2()]=aE(e)±bE2(e) (6-22) 证明由：变换定义 ZLae,0±be,(0=∑[ae,nT)±be,nTy =a2e,nTk"±b2e,(nT =0 =aE(e)±bE,(e) 式(6-22)表明，：变换是一种线性变换，其变换过程满足齐次性与均匀性。 2.实数位移定理 实数位移是指整个采样序列(nT)在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移 e(nT+kT)为超前，向右平移e(nT-kT)为滞后。实数位移定理表示如下： 如果函数)是可z变换的，其：变换为E(e),则有滞后定理 Zle(t-kT)]==-E(=) (6-23) 以及超前定理 Zle(+T-E()-e (6-24) 其中k为正整数。 234
234 ( 1) ( ) (2 1) [1 (2 1)] ( 1) 1 2 ( ) 2 2 2 T T T T z z e T e z e T z z e z z z z Tz E z − − − − − − + − + − + = − + − − − = 常用函数的 z 变换表见附录中的附表 A-2。由该表可见，这些函数的 z 变换都是 z 的有 理分式。 6.3.3 z 变换的基本定理 应用 z 变换的基本定理，可以使 z 变换的应用变得简单方便，下面介绍常用的几种 z 变 换定理。 1. 线性定理 若 1 1 E z Z e t ( ) [ ( )] = , ( ) [ ( )] 2 2 E z = Z e t , a , b 为常数，则 Z[ae (t) be (t)] aE (z) bE (z) 1 2 = 1 2 (6-22) 证明 由 z 变换定义 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 1 2 0 2 0 1 0 1 2 1 2 aE z bE z a e nT z b e nT z Z ae t be t ae nT be nT z n n n n n n = = = − = − = − = 式(6-22)表明， z 变换是一种线性变换，其变换过程满足齐次性与均匀性。 2. 实数位移定理 实数位移是指整个采样序列 e(nT ) 在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移 e(nT + kT) 为超前，向右平移 e(nT − kT) 为滞后。实数位移定理表示如下： 如果函数 e(t) 是可 z 变换的，其 z 变换为 E(z) ，则有滞后定理 [ ( )] ( ) k Z e t kT z E z − − = (6-23) 以及超前定理 [ ( )] [ ( ) ( ) ] 1 0 − = − + = − k n k n Z e t k T z E z e nT z （6-24） 其中 k 为正整数
证明式(6-23)，由：变换定义 Zle(-KT)]-e(nT-kT)=-d(n-)T] 令m=n-k,则有 ZLeu-k】=*∑c(mT)z 由于：变换的单边性，当m<0时，有(mT)=0,所以上式可写为 ZLet-kT】=:t∑e(mTz 再令m=n,式(6-23)得证。 证明式(6-24)，由：变换定义可知 ZLet+kT】=∑enT+kTz"=z∑enT+kTz+, =0 =0 令m=n+k,则有 Zc+kT=2mT)==2(m)"-2cmT 再令m=n,可以得到 Zt+k】=:2an”-- =[e)-30: =0 式(6-24)得证。 显然可见，算子：有明确的物理意义：代表时域中的延迟算子，它将采样信号滞 后k个采样周期：同理，：代表超前环节，它把采样信号超前k个采样周期。 实数位移定理的作用相当于拉氏变换中的微分或积分定理。应用实数位移定理，可将描 述离散系统的差分方程转换为：域的代数方程。 例6-3试用实数位移定理计算滞后函数(【-5T)'的z变换。 解由式(6-23)可得 235
235 证明式(6-23)，由 z 变换定义 = − − − = − − = − = − 0 ( ) 0 [ ( )] ( ) [( ) ] n k n k n n Z e t k T e nT k T z z e n k T z 令 m = n − k ，则有 =− − − − = m k k m Z[e(t k T)] z e(mT)z 由于 z 变换的单边性，当 m 0 时，有 e(mT) = 0 ，所以上式可写为 = − − − = 0 [ ( )] ( ) m k m Z e t k T z e mT z 再令 m = n ，式(6-23) 得证。 证明式(6-24)， 由 z 变换定义可知 = − + = − + = + = + 0 ( ) 0 [ ( )] ( ) ( ) n k n k n n Z e t k T e nT k T z z e nT k T z 令 m = n + k ，则有 − = − = − = − + = = − 1 0 0 [ ( )] ( ) ( ) ( ) k m k m m k m m k k m Z e t k T z e mT z z e mT z z e mT z 再令 m = n ，可以得到 [ ( ) ( ) ] [ ( )] ( ) ( ) − = − − = − = − = − + = − 1 0 1 0 0 k n k n k n k n n k n z E z e nT z Z e t k T z e nT z z e nT z 式(6-24)得证。 显然可见，算子 z 有明确的物理意义： k z − 代表时域中的延迟算子，它将采样信号滞 后 k 个采样周期；同理， k z 代表超前环节，它把采样信号超前 k 个采样周期。 实数位移定理的作用相当于拉氏变换中的微分或积分定理。应用实数位移定理，可将描 述离散系统的差分方程转换为 z 域的代数方程。 例 6-3 试用实数位移定理计算滞后函数 3 (t − 5T) 的 z 变换。 解 由式(6-23)可得
4-51=1=*34 =6eTg+4+_Te2+4:+1e 6(:-1)1 -0 3.复数位移定理 如果函数()是可：变换的，其：变换为E(e),则有 Z[atble(t)]=E(=atbT) (6-25) 证明由：变换定义 4aa0l-宫eaan-2 (nTX2w) 令=a7,代入上式，则有 401-2ere)-a门 原式得证。 例6-4试用复数位移定理计算函数e”的：变换。 解令e)=2,查表可得 40-1-91-7 根据复数位移定理(6-25)，有 Zre]=e)=T产e(ee"+_T产e"e+e (ze-a-1)3 (-e") 4.终值定理 如果信号e()的z变换为E(),信号序列e(T)为有限值（血=0,1,2，），且极限 lim(nT)存在，则信号序列的终值 lime(nT)=lim(=-1)E(=) (6-26) 证明根据z变换线性定理，有 236
236 4 3 2 5 4 3 2 5 3 3 5 3 5 ( 1) ( 4 1) 6( 1) ( 4 1) 6 ] 3! [( 5 ) ] [ ] 3! [ − + + = − + + = − = = − − − − z T z z z z T z z z t Z t T z Z t z Z 3. 复数位移定理 如果函数 e(t) 是可 z 变换的，其 z 变换为 E(z) ，则有 [ ( )] ( ) bt bT Z a e t E za = (6-25) 证明 由 z 变换定义 b T n n n n b t bnT Z a e t a e nT z e nT za − = − = [ ( )] = ( ) = ( )( ) 0 0 令 bT z za 1 = ，代入上式，则有 [ ( )] ( )( ) ( ) ( ) bT n bt n Z a e t e nT z E z E za = − = = 1 = 0 1 原式得证。 例 6-4 试用复数位移定理计算函数 aT t e 2 的 z 变换。 解 令 2 e(t) = t ，查表可得 3 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] − + = = = z t T z z E z Z t Z 根据复数位移定理(6-25)，有 3 2 3 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) at at at at at at at at z e T ze z e ze T ze ze Z t e E ze − + = − + = = − − − − 4. 终值定理 如果信号 e(t)的 z 变换为 E(z)，信号序列 e(nT)为有限值(n＝0，1，2，…)，且极限 lim ( ) n e nT → 存在，则信号序列的终值 lim ( ) lim( 1) ( ) 1 e nT z E z n z = − → → (6-26) 证明 根据 z 变换线性定理，有