8.2线性系统的运动分析 82.1线性定常连续系统的自由运动 在没有控制作用下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运 动，可由齐次状态方程描述 x()=A) (8-36) 齐次状态方程通常采用幂级数法、凯莱一哈密顿定理和拉普拉斯变换法求解 1.幂级数法设齐次方程的解是1的向量幂级数 x0)=b。+b1+b22+…+b+… 式中，x,b,b,…,b,…都是n维向量，且x(0)=b。,求导并考虑状态方程，得 0)=+2b,1+…+kh1-+…=46。+b1+b22+…+b+) 由等号两边对应的系数相等，有 b=Ab。 6=546=54产6， 6=4=话46， 6=天4h=石4b, 故 0=u+F++话+0 (8-37) 定义 (8-38) 则 x()=e"x(0) (8-39) 标量微分方程x=瓜的解与指数函数e“的关系为x()=ex(O),由此可以看出，向 量微分方程(836)的解与其在形式上是相似的，故把“称为矩阵指数函数，简称矩阵指数。 2
327 8.2 线性系统的运动分析 8.2.1 线性定常连续系统的自由运动 在没有控制作用下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运 动，可由齐次状态方程描述 x (t) = Ax(t) (8-36) 齐次状态方程通常采用幂级数法、凯莱－哈密顿定理和拉普拉斯变换法求解。 1.幂级数法 设齐次方程的解是 t 的向量幂级数 x(t) = b0 + b1 t + b2 t 2 ++ bk t k + 式中， x,b0 ,b1 , ,bk , 都是 n 维向量，且 0 x(0) = b ，求导并考虑状态方程，得 ( ) 2 ( ) 2 0 1 2 1 x t = b1 + b2 t ++ k bk t k− + = A b + b t + b t ++ bk t k + 由等号两边对应的系数相等，有 1 0 0 3 3 2 0 2 2 1 1 0 ! 1 1 6 1 3 1 2 1 2 1 A b k Ab k b b Ab A b b Ab A b b Ab k k = k = = = = = = − 故 ) ! 1 2 1 ( ) ( = + + 2 2 ++ A k t k + k x t I At A t x(0) (8-37) 定义 1 1 2 2 2 ! At k k e I At A t A t k = + + + + + = k k k A t k =0 ! 1 (8-38) 则 x(t) e x(0) At = (8-39) 标量微分方程 x = ax 的解与指数函数 at e 的关系为 x(t) e x(0) at = ，由此可以看出，向 量微分方程(8-36)的解与其在形式上是相似的，故把 At e 称为矩阵指数函数，简称矩阵指数
由于)是由x(0)转移而来，e“又称为状态转移矩阵，记为()，即 0=e" (8-40) 从上述分析可看出，齐次状态方程的求解问恩，核心就是状态转移矩阵)的计算问 题。因而有必要进一步研究状态转移矩阵的算法和性质。 2.拉普拉斯变换法 将式(836)取拉氏变换，有 X(s)=(s1-A)'xO) (8-41) 进行拉氏反变化，有x()=L[(sl-A)x(O) (842) 与式(8-39)相比有e"-L[(sl-A)1] (8-43) 式(8-43)是e"的闭合形式 例8=8设系统状态方程为[，]厂01Tx)】 试用拉氏变换求解， L2(t)J-2-3x2() 1-4=[:0-011=s-17 0s尸-2-32s+3 (6-0=ad--1 「s+31门 s-4A(s+1s+2)-2s 「21117 =s+18+25+15+2 L5+1s+2s+1s+2 「2e'-ea ee2 0=r'-A0]-2e+2e-e+2e 状态方程的解为 :0-()(0)2e-(0) L,(0)L-2e+2e-e+2e2Lx,(0) .凯莱一哈密顿定理法
328 由于 x(t)是由 x(0) 转移而来， At e 又称为状态转移矩阵，记为 (t) ，即 (t) = At e (8-40) 从上述分析可看出，齐次状态方程的求解问题，核心就是状态转移矩阵 ()t 的计算问 题。因而有必要进一步研究状态转移矩阵的算法和性质。 2.拉普拉斯变换法 将式(8-36)取拉氏变换，有 ( ) ( ) (0) 1 X s sI A x − = − (8-41) 进行拉氏反变化，有 1 1 ( ) [( ) ] (0) − − x t L sI A x = − (8-42) 与式（8-39）相比有 At e = 1 1 L sI A [( ) ] − − − (8-43) 式（8-43）是 At e 的闭合形式。 例 8-8 设系统状态方程为 − − = ( ) ( ) 2 3 0 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 x t x t x t x t ，试用拉氏变换求解。 解 0 0 1 1 0 2 3 2 3 s s sI A s s − − = − = − − + − + = + + = − − − = − s s sI A s s sI A sI A 2 3 1 ( 1)( 2) adj( ) 1 ( ) 1 + + + − + + + − + − + + − + = 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 s s s s s s s s − + − + − − = − = − − − − − − − − − − t t t t t t t t e e e e e e e e t L sI A 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) [( ) ] 状态方程的解为 − + − + − − = = − − − − − − − − (0) (0) 2 2 2 2 (0) (0) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 x x e e e e e e e e x x t x t x t t t t t t t t t 3.凯莱－哈密顿定理法
矩阵A满足它自己的特征方程。即若设阶矩阵A的特征多项式为 f)=[I-A]=”+an-入m++a1+a (8-4) 则有 f(A)=A"+aA"+...+aA+aol=0 (8-45) 从该定理还可导出以下两个推论。 推论1矩阵A的k(k2)次幂，可表为A的(m1)阶多项式 -2a4 (k≥) (8-46 推论2矩阵指数e“可表为A的(m-l)阶多项式，即 e-. (8-47 且各&()作为时间的函数是线性无关的。 由凯莱一哈密顿定理，矩阵A满足它自己的特征方程，即在式(846)中用A的特征 值1=1,2，…，k)替代A后，等式仍能满足 e"=2a,以 (8-48) 0 利用上式和k个入，就可以确定待定系数α，)。 若，互不相等，则根据式(848)，可写出各a,)所构成的n元一次方程组为 e=a+&,入+a22+…+an-1" e=a+a,2+a2号+…+an-1 (849) e=a+an+a222+…+an-10- 求解式(8-49)，可求得系数0，a,,a-1,它们都是时间1的函数，将其代入式(8-47) 后即可得出e“。 329
329 矩阵 A 满足它自己的特征方程。即若设 n 阶矩阵 A 的特征多项式为 1 1 1 0 ( ) [ ] n n n f I A a a a − = − = + + + + − (8-44) 则有 ( ) 1 0 0 1 = + 1 + + + = − − f A A a A a A a I n n n (8-45) 从该定理还可导出以下两个推论。 推论 1 矩阵 A 的 k (k n) 次幂，可表为 A 的（n-1）阶多项式 m n m m k A A − = = 1 0 (k n) (8-46) 推论 2 矩阵指数 At e 可表为 A 的（n-1）阶多项式，即 At e m n m m (t)A 1 0 − = = (8-47) 且各 ( ) m t 作为时间的函数是线性无关的。 由凯莱－哈密顿定理，矩阵 A 满足它自己的特征方程，即在式（8-46）中用 A 的特征 值 ( 1,2, , ) i i k = 替代 A 后，等式仍能满足 1 0 ( ) i k t j j i j e t − = = （8-48） 利用上式和 k 个 i 就可以确定待定系数 ( ) j t 。 若 i 互不相等，则根据式（8-48），可写出各 ( ) j t 所构成的 n 元一次方程组为 1 2 2 1 0 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 2 2 2 1 2 2 1 0 1 2 1 n t n n t n n t n n n n n e e e − − − − − − = + + + + = + + + + = + + + + （8-49） 求解式（8-49），可求得系数 0 ,1 ,…,k−1 ，它们都是时间 t 的函数，将其代入式（8-47） 后即可得出 e At
w阳小 解首先求A的特征值：21-小=0， 2+51+4=0 解得 =-1,=-4 将其代入(8-48)，有 [e-=ao+a(-1) e"=a。+a,(-4) a-je-ge 解出系数 a-ge"-gew 提-aa4-g6-g{周 e-+ 若矩阵A的特征值入是m阶的重根，则求解各系数，的方程组的前m个方程可以写 e=a0+a+…+an-m- 21 -ma(850) =m-a4+maA+m+a居+…+n- 其它由，1=1,2，…，n-m+1组成的(m-m)个方程仍与(849)的形式相同，它们与
330 例 8-9 已知 A＝ − − 2 2 3 1 ，求 e At 。 解 首先求 A 的特征值： I A− = 0， 3 1 0 2 2 + − = − + 2 + + = 5 4 0 解得 1 =−1， 2 = −4 将其代入（8-48），有 0 1 4 0 1 ( 1) ( 4) t t e e − − = + − = + − 解出系数 4 0 4 1 4 1 3 3 1 1 3 3 t t t t e e e e − − − − = − = − 于是 e At 0 1 = + I A − − + − = − − − − − 2 2 3 1 ) 3 1 3 1 ( 0 1 1 0 ) 3 1 3 4 ( t 4t t 4t e e e e − + + − = − − − − − − − − t t t t t t t t e e e e e e e e 4 4 4 4 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 若矩阵 A 的特征值 1 是 m 阶的重根，则求解各系数 j 的方程组的前 m 个方程可以写 成 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 ( 1) t n n t n n e d e k d − − − − = = + + + = + + + − 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ( 1)! ( 1)! ( 1)! ! 2! ( )! m t k m m m m m k d m n e m m d n m − − − − + − = + − = − + + + + − （8-50） 其它由 i ，i = 1，2， ,n − m +1 组成的（n-m）个方程仍与（8-49）的形式相同，它们与
式(8-50)联立，即可解出各待定系数。 a-10 e 解先求矩阵A的特征值，由21-A=0得 即，22+42+4=0 解得，2=-2为一个二重根，由(8-50)有 e=a4+a,(-2) lte"=a 解得， a)=e2+21) a,(0)=e wwa0e-剂 8.2.2状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵)具有如下运算性质： 1)0)=1 (8-51) 2)t)=A0=0A (852) 上述性质利用定义很容易证明。式(8-52)表明A)与D)4可交换，且(O)=A。 3)1-12)=4)(±2)=2)b4) (8-53) 在式(853)中，令1=1，±1，便可证明这一性质。)，(2)，(，±2)分别表示由 状态0)转移至状态x(),x(化)，x(士12)的状态转移矩阵。该性质表明(（±1）可分解 为()与（女）的乘积，且D()与()是可交换的。 4)Φ()=(-1)，Φ(-1)=p) (8-54)
331 式（8-50）联立，即可解出各待定系数。 例 8-10 已知 A＝ − − − 1 2 2 0 ，求 e At 。 解 先求矩阵 A 的特征值，由 I A− = 0 得， 2 0 0 1 2 + = − + 即， 2 + + = 4 4 0 解得， 1,2 = −2 为一个二重根，由（8-50）有 2 0 1 2 1 ( 2) t t e te − − = + − = 解得， 2 0 2 1 ( ) (1 2 ) ( ) t t t e t t te − − = + = 于是求得 = − − + = + − − − 1 1 0 1 2 2 0 0 1 1 0 (1 2 ) 2 2 2 t e e t te e At t t t 8.2.2 状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵 (t) 具有如下运算性质： 1） (0) = I (8-51) 2） (t) = A(t) =(t)A (8-52) 上述性质利用定义很容易证明。式(8-52)表明 A (t) 与 (t) A 可交换，且 (0) = A。 3） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 t −t = t t = t t (8-53) 在式（8-53）中，令 1 2 t = t t 便可证明这一性质。 ( ), ( ), ( ) 1 2 1 2 t t t t 分别表示由 状态 x(0)转移至状态 ( ), ( ), ( ) 1 2 1 2 x t x t x t t 的状态转移矩阵。该性质表明 ( ) 1 2 t t 可分解 为 ( ) ( ) 1 2 t 与 t 的乘积，且 ( ) ( ) 1 2 t 与 t 是可交换的。 4） ( ) ( ), ( ) ( ) 1 1 t = −t −t = t － － ( 8- 54)