原问题目标函数为原问题目标函数为求最大值时，由左求最小值时，由右对偶问题边推导出右边边推导出左边对偶(或对（题）原问题（或原问题）小幽数日标幽数maxminWn个约束n个变量约束变量≥0<max约束 ≥变量≤0自由变量约束 =7.m个约束m个变量m约束≥变量 ≥ 0约束≤变量≤ 0约束 =自由变量目标函数的价值向量约束条件的限定向量约束条件的限定向量目标承数的价值向量
3、原问题与对偶问题的关系 约束条件的限定向量 目标函数的价值向量 自由变量 变量 变量 个变量 约束 约束 约束 个约束 目标函数 0 0 max m n Z 原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数的价值向量 约束条件的限定向量 约束 约束 约束 个约束 自由变量 变量 变量 个变量 目标函数 0 0 min m n w max z min z 原问题目标函数为 求最大值时，由左 边推导出右边 原问题目标函数为 求最小值时，由右 边推导出左边
例：求下列线性规划原问题的对偶问题min z= 2X,+4x2-X3S.t. 3x1- X,+2x3 ≥ 6-Xj+2x2-3x3 = 122xj+X2+2x3 ≤ 8Xj+3x2-X3 ≥ 15Xi≥0，X2≤0，X3无非负要求
min z= 2x1+4x2 -x3 s.t. 3x1 - x2+2x3 6 -x1+2x2 -3x3 12 2x1+x2+2x3 8 x1+3x2 -x3 15 ≥ = ≤ ≥ x1≥0, x2≤0, x3 无非负要求 例：求下列线性规划原问题的对偶问题 ≥
min z= 2x,+4x2-X3maxw=6y,+12y2+8y3+15y4S.t. 3xj- X,+2x3≥ 6s.t. 3y1- Y2+2y3+ y4 ≤ 2-Yi+2y2+ y3+3y4 ≥ 4-Xf+2x2-3x3 = 122y1- Y2+2y3- y4 =-12x,+x2+2x3≤ -8X)+3x2-X3 ≥ 15Yi≥ 0,y2 unr,y3 ≤0,y4 ≥ 0X≥0X2≤0Xg: unr口原始问题变量的个数(3)等于对偶问题约束条件的个数(3);原始问题约束条件的个数(4)等于对偶问题变量的个数(4)。口原始问题变量的性质影响对偶问题约束条件的性质，用一→表示原始问题约束条件的性质影响对偶问题变量的性质，用一→表示
对偶线性规划 min z= 2x1+4x2 -x3 s.t. 3x1 - x2+2x3 6 -x1+2x2 -3x3 12 2x1+x2+2x3 8 x1+3x2 -x3 15 maxw=6y1+12y2+8y3+15y4 s.t. 3y1 - y2+2y3+ y4 2 -y1+2y2+ y3+3y4 4 2y1 - y2+2y3 - y4 -1 y1 0,y2 ,y3 0,y4 0 ≤ ≥ = ≥ unr ≤ ≥ ≥ = ≤ ≥ x1≥0 x2≤0 x3 : unr 原始问题变量的个数(3)等于对偶问题约束条件的个数(3)； 原始问题约束条件的个数(4)等于对偶问题变量的个数(4)。 原始问题变量的性质影响对偶问题约束条件的性质，用 表示 原始问题约束条件的性质影响对偶问题变量的性质，用 表示
课堂练习L试求下列线性规划原问题的对偶问题Z =2x +3x -5xs +xXi+X2-3x3+x4≥52 x1+ 2x3 -x4 ≤ 4s.t.X2 + X3 +X4 = 6X≤0,X2,X≥0,x无约束
4、课堂练习 试求下列线性规划原问题的对偶问题 1 2 3 4无约束 3 4 1 3 4 1 2 3 4 0, , 0, 6 2 2 4 3 5 2 x x x x x x x x x x x x x x s.t. 1 2 3 4 min Z 2x 3x 5x x
·对偶问题为max Z'= 5y +4y2 +6y≥2Ji +2y2+y3≤3J1-3yi +2y2 + y3 ≤-5s.t<Ji- y2 + y3 =1Ji≥0,2≤0,无约束
• 对偶问题为 1 2 3无约束 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3 0, 0, 1 3 2 5 3 2 2 max ' 5 4 6 y y y y y y y y y y y y y s.t Z y y y