采用 Lagrange第二类方程 d /dt at aU aR 0 (1.313) dt(a 则系统运动方程为 L1並1+R1 (q2-q1)=0 L23(q2-03) (1.3.14) L23(93-g2)+ 这是一个6阶线性系统,要讨论其零解稳定性通常要研究系数所满足的条件,但如 果以总能量作为 Lyapunov函数,即 V=T+U [L1+L2(-)2] C 于是可算出 L1i11+L23(g2-g3)(2-3)+-g93+(q1-g2)(qi-qi2) C12 =-R1q1+92q3 q2)q2 C12 从(1314)的后两个方程可知 于是V=-R1的≤0,由于V可视为q1-g2,q3,q及-9的正定函数,因此系统 对这些量作为输出时具有部分变元稳定性 参考文献索引零解稳定性见[RHL1977],[Lya1892],Mal1966,Hual992;部 分变元稳定性见Rum1957,var1991;输出稳定性见[Hwa1963 1.4不稳定性 由于以下原因,使系统的不稳定性讨论成为必然 判断系统零解稳定性的 Lyapunov方法只是充分性的方法,如果V凶数的选取不 满足稳定性定理的要求,我们依然对系统是否稳定不能下结论,因此对不稳定性给以充 分性判定是必要的.从工程实际系统来讲,本身不稳定的对象是大量存在的,例如要在 小初始扰动下产生一个稳定的自激振动(钟表),平衡位置必须是不稳定的众所周知, 自行车本身是不稳定的,但经有人作为反馈控制器后,它可以具有很好的动态稳定性, 且操纵性也很好.近代飞机已经要求设计空气动力不稳定的构形以保证提高操纵性.所 有这些均表明研究平衡位置的不稳定性是有意义的
系统的零解不稳定,实际上就是表明存在一个界限与一个初始时间,不论对初始扰 动的限制多么小,在这样的限制内都能找到合适的初始值,系统对应它的特解总有一个 时候越出上述界限.与稳定性对比,这里的主要工作在于选取可说明不稳定的初始条件 用 Lyapunov函数办法来建立不稳定的充分条件,其基本思想在于使ⅴ能沿解保持定 号而又可在原点附近取到与同符号的值.这一思想是由 Lyapunov本人提出并从 数学上加以解决的,其后继的工作首先是N.G. Chetaev的有关工作 定理1.4,1系统 元=∫(t,x),f(t,0) 的零解是不稳定的,仅需 (e>0|B<S)(3=PBs,0∈P)((,x :J×B→R,V一阶可微)(彐a(μ)∈K) 并使 1°(3k>0)((t,x)∈J×P):k>v(t,x)>0; 2°((t,x)∈J×P):Ⅵ1.41)>a(V(,m); 3°(v(t,x)∈J×(OP∩B));v(t,x)=0 证明由干0∈OP与1°,则 v6>0)(3(t0,x)∈J×(P∩B):v(to,o)>0 考虑经过(to,xo)的解x(t;to,xo).用反证法.设已有 t≥to):x(t;to,xo)∈Be (142) 由于mo∈P,和2°,3°,(142)以及解是连续的,则 vt≥to):x(t;to,xo)∈P 于是对t≥t总有 k≥V(2t0)=y(2+下x >V(to, ro)+a(v(to, ro))(t-to 在得到(143)的过程中用到了 vt≥to):V(t,t(t;to,xo)≥v(to,ro) 对于(1.4.3),由于a(W(to,ro)>0,因此其右端将随t增大而无界,这与(1.4.3) 矛盾.这表明(142)不可能,即系统的零解是不稳定的 定理14系由 Chelae得到,而 Lyapunov原来的两个不稳定性定理可视为其推 论
推论141条件同定理14.1,但1°改为 (3()∈x)(v(t,x)∈J×P):(|x)≥V(t,x)>0 (1.44) 则零解不稳定 推论142条件与定理14.1相同,但1°改为(144)2°改为 (>0)(w(t,x)半正定)(V(t,x)∈JxP) VI(1.4.1)=yv(t, c)+w(t, a 4.5 则零解不稳定 上述两推论常称为 Lyapunov不稳定的第一与第二定理.利用定理141的证明, 只需做小的改动就可以证明这两个推论 例141继续讨论例1.3.1,但转动轴将是绕惯量居中的主轴进行.此时定常转 动仍是 u1=10,a=0,3=0 而转动惯量改设为y>a>B.设 Lyapunov函数取为 (5,n,S)= 对应有 3 (410+5) P={(5,n,()n>0,>0,52+n2+2<2} 则不难证明在P上有 1°(>0)x∈P):k>V(x)>0; 2°(31>0)(x∈P):V(.35)≥pV(x); 3°(∈P)且(vx∈OP∩B);V(x)=0 以上x≈(5,),系统是时不变的,验证条件与初始时刻t无关,从而绕中间惯量的 等速转动是不稳定的 对于时不变系统 i=f(x),f(0)=0 (1.4.6) 还可以用两个辅助函数相互配合来讨论不稳定性 推论143系统(1.4.6)的零解不稳定,仅需 1°(3>0|BcS)(BP=PcB0∈aP(v(x):B→R且V(x)∈ C1(B2)(3()∈A)∈P):Vax)>0且W(46)≥(v(a)
2°(N=NCBa|OPcN)(3W(ax):N→R且W(x)∈C1(B)(r∈ oP∩Be):W(x)=0且 a∈PnN∩B):W(x)>0且Wl(6)≥0 证明由于0∈OP,则 6>0)(3xo∈P∩B):V(xo)>0 若V≥t时x(t;t0,xo)∈B,则由2°可推知 vt≥to):(t;to,xo)∈P 与定理1.4.1完全相仿伤即可证明本定理 不稳定性定理的本质在于给出一个条件,以便确定在任何原点的邻域内一种偏离原 点的解总是存在的.定理14.1及其三个推论中的P集合就是保证这一情形必然发生的 区域.另一方面,偏离原点的解的集合的维数是多少对于论证不稳定性来说无关紧要, 因此P的维数可以低于n.例如P可以在一个子空间中选取P的边界就可以用P相 对于其仿射包的边界aP代替.为了防止Pf的解会不经OP而离开P,一般可补充 假定P本身是系统的不变集合 例14.2对系统 105r 取P=ke2/k≥0},其中2=/0 若取V=+,则v=-22+252.由 于P上61=0,于是在P上V=2V,并且0∈aP,从而满足要求.可以判断零解 是不稳定的,但P只是一维的 由于不稳定性是从存在偏离原点的解出发,一般来说,部分变元偏离原点将意味着 整个变元偏离原点,这样就无需再仔细讨论部分变元不稳定的问题 参考文献索引[Lya1892],[Chel955.Hual992 1.5渐近稳定I 在 Lyapunov的工作中,出于当时还不了解渐近稳定与一致渐近稳定的区别,他所 给出的结果,其实已经是一致渐近稳定的.本节首先从这个基本结果开始,然后再给出 后来人们对 Lyapunov结果的一些发展 定理1.5.1若对系统 文=f(t,x),f(t,0)=0 (151)
存在一阶可微函数v(t,m):J×S→R与三个人类函数a(),B()与?(),并使 1°((t,x)∈J×S):a()≤V{t,x)≤(x; 2°(V(t,x)∈J×S):Va5)≤-7(|l 而且对给定的>0,有BCS.定义集合 v(t,x)≤a(),x∈S} (152) (a)(v>0)(3T>0)(V(ton,mo)∈Ao)(Vt≥t+T):c(t;to,xo)∈B2,即原点 对(to,xo)∈J×At是一致吸引的; (b)∩A4=A,足一以=0为内点的区城,或x=0具一与to∈J无关的 公共吸引域 (a)与(b)表明系统零解一致渐近稳定. 证明由于条件2°与B,CS,则有 (o,xz)∈J×Ato):V(t,x( 从而保证 (v(to,xo)∈J×At0n)(Vt≥to):x(t;t0,x0)∈B, (153) 条件1°与2°可保证(1.5.1)的零解一致稳定,即 ve>0)(3>0)(r∈J(Vmr∈Bn)(t≥T):(t;T,x)∈B (1.54) 由上述E与对应的m,可定义 ()-a(m) (n) 任取a>Te;设若有 r∈{to,t+o]):xz(r;to,∞o)∈B, (15.6) 则由(1.53)与(15.6)可知 )-a(m)> (n)d: =o()>B()-a(n) 成为矛盾的不等式.这表明(1.56)不真,即 (r∈[t,to+o]):r(r;t,∞o)∈B2 联系到(1541),则(a)成立,其中T=Tve与(to,x)∈J×S无关