而且由v≤0,对vs>0,取6<min{(a(e),丹},就有 to,xo)∈J×Bp)(vt≥to) V(t,x(t;tn,xo)≤V(to:xo)≤B(lo)≤(6)<a(E) 从而立即有‖x(t;to,o川<ε,而δ的选取与to无关,因此零解一致稳定 例1.3.1刚体绕固定点转动的稳定性 研究在惯性系内一不受外力作用的刚体绕固定点转动的稳定性问题,设刚体重心与 固定点重合,这是 Eular经典问题.设固定点为O,刚体连体坐标系的指向与其惯性主 轴一致,惯性主轴的转动惯量为a,B与y,w为其瞬时转动的角速度向量,它在惯性主 轴上的投影为,w2与u3,则其转动方程为 6i2=(-a)u31 3.2 研究其绕一固定轴作等速定常转动 (13.3) 的稳定性,考虑扰动运动 10,n (1.34) 则其运动方程为 (B-y) (u10+5 (1.3.5) (=B)(40+n 系统(135)的零解5=n=S=0相当于系统(13.2)的特定运动(133) 为研究稳定性,取 Lyapunov函数为 v(,,s)=B(B-a)n2+(-a)2+[Bn2+c2+a(2+205) 不难验证v(..5)=0,而当a<mi{B,时,V必正定,因而对应绕最小转动惯量 的惯性主轴的转动是稳定的 如果a>min{3,},则对应可取 v(,n,)=B(a-B)n2+y(a-)x2+1an2+2+a(2+2w0E)2
同样可以证明绕具最大转幼惯量的惯性主轴的转动也是稳定的 由于上述V是正定的,在三维空间中V=C代表一封闭曲面,而V=0.因而对 应转动虽稳定,但却不是渐近稳定的 例1.32飞机纵向稳定性 设飞机的对称而与惯性坐标系的铅垂面重合,其质心在G点,质心速度U与水平 线夹角为6,飞机的攻角为a,如图1.2所示 图 飞机受下述力的作用 重力mg:m为质量,g为重力加速度; 升力cL(a)v2:U为飞行速度,cL(a)为升力系数; 阻力cp(a)u2:为飞行速度,cp(a)为阻力系数, 飞机的动态方程为 mi=-mg sin 0-cp)u 0=-mg cos0+cr(aju2 引入新的无量纲变量 v=mg/cL, T=gt/vo, n=v/00, B=CD/CL 则有 dT -sin 6-Bn2 (1.36) (cos 8+r'n 以上方程实际上是描述飞机质心运动的方程,我们将由此出发讨论飞机作为质点考虑时 等速平飞的稳定性.飞机作为刚体考虑时,还需添加转动方程,这将在以后再讨论 现设月=0,即阻力为零.于是等速η=1与零姿态角θ=0的飞行,是系统的一 个定常运动.令 V(m,6) cos0+
则va3=0.为了讨论在n=1,6=0附近的正定性,考虑 7=1+s,c0sb=1 o(2 V(c,)=2+32+s3+3(62+o(62) 显然是正定的.于是(,)=(0,0)或(,6)=(1,0)是稳定的定常运动 个动态系统,人们常常有兴趣的并不是全部状态取零的稳定性,而是希望其中的 部分取零是稳定的,或一般地,按 Lyapunov最初考虑的那样,是由系统的几个函数 取特定值的稳定性. Lyapunov在最初提出这样的问题时,并未加以研究,而是归结为 了系统零解的稳定性.后来出于某些问题研究的需要,发屐∫一种部分变元取零的稳定 性,再后来发展为一般输出稳定性的概念.在这类讨论中,关于稳定性的提法常有两种, 其解决方法也有一些差异 (1)关于不交流形的稳定性(输出稳定性) 研究系统 =f(t,),(t,m)∈J×S 1.3.7) y=9(x):S→ SCR 其中y是系统的输出.问题是要研究输出是否能保持某个特定的值踟,即y=g(x)=3 是否是稳定的.不失一般性,可设0=0∈Rm,引入 F={x|9(x)=0}=9-1(0)cR 它是一个流形,实际上F可能不是一个运动,而是一个解集或运动集合,对于这个集合 我们假定在未来发生扰动情形下,解一旦发生在F上应不自行离开F,即F是系统的一 个不变集合 (vto∈J)(xo∈F)(Vt≥t):x(t;t,xo)∈F 而这等价于 (x(;t,-o)a.3:)=Vg·f(t,x)=0,V(t,x)∈J×F (1.39) 定义集合 F(n)=rlg(a)E Bn CRCR 显然g(F(n)=Bn∈Rm.以下均设存在P>0且系统在JF()中满足给定初值的 解存在惟一性条件 定义131系统(1.37)的输出y=g(x)取零是稳定的,系指 ve>0)(o∈J)(3>0)(vao∈F(6)≥to):c(t;to,xo)∈F(e)
而输出取零是一致稳定的,系指 e>0)(36>0)(v(to,xo)∈J×F(6)t≥to):x(;t,xo)∈F(e) 类似定理1.31与132的证明,只要将原点的邻域Bn替换成F(m),而对于V函 数,则可以用条件v(t,x)=0,∈F来代替V(t,0)=0.相应地也可以引入g(x)取 零意义下正定等概念.限于篇幅就不再平行给出,而是指出有 定理133系统(137)在具条件(1.39)下,对应零输出稳定,仅需 (p>0)(3a∈K(v:J×F(p)→R)(t,x)∈JxF(p) v(t,x)≥a(|g(x川)且V(1.37)≤0 (13.10) 零输出一致稳定,除上述(1310)外还需有 (3∈K)(t,x)∈J×F(p):v(t,x)≤B(l9(x)) (13.11 特别当 x1∈Rm,x2∈Rn-m fi(t, r) ∫1(t,x1,x2 ∫2(t, f2(t, 而y=9(x)=x1时,上述函数取零的稳定性间题将变为一种部分变元稳定性问题,此 时有下述对应关系: 取零问题 部分变元问题 不变集合 F:g(x)=0 F 0 不变条件vg·f(t-2)=0v(,x)∈J×F(0,2)≡0 邻域 F(e) (2)关于部分变元稳定性 关于部分变元稳定性的理论,最早由V.V. Rumyanstev在1957年提出.类似前 面将x与∫(t,x)分成两组,考虑动态系统方程 立1=f(t,x1,x2),f1(0,0)=0 立2=f2(t,x1,x2),f2(t,0,0)=0 定义132系统(1312)的零解x=0关于部分变元x1稳定,系指 ve>0)(vtJ)(6>0)(o∈B)t≥to):|-1(t;t,0,x20)<E 18
关于部分变元x1一致稳定,系指 v>0)(36>0)(v(to,xo)∈J×B)(vt≥to):l|r1(t;t,x0,x20)<e 以上定义中x0={10,z2Dr 相仿可以有 定理1.34系统(1.3.12)关于部分变元x1稳定,仅需五v=v( J×S×T→R是可微的,且V(t,0,0)=0,并且有 (3a()∈k)(,m1,x2)∈J×S×T):V(,x1,a2)≥a(1) 以及V≤0.若还有 (()∈)(v(t,x1,x2)∈J×S×T):V(t,x1,x2)≤B(x2l) 则稳定就是一致的 关于部分变元稳定性需要指出 1°在定义13.2及定理134中,S是子空间Rm中一含原点为内点的集合 TcR-",要求对应系统在J×S×T中满足给定初值的解存在惟一性条件,由于对 另一变元x2并无限制,因此针对c2将要求在T范围内成立 2° Rumyansteν的定义不要求1=0是不变集合,初始扰动是对全部变元提出 的,而V函数要求有v(t,0,0)=0且v(t,x1,x2)≥(|;1)是对J×S×T提出的 关于部分变元稳定性经三十多年的发展其成果已经相当丰富,它的主要内容在于如 何将一些物理与T程问题化归为这一问题并寻求针对这一问题的解法,有关内容已形成 专著,如V.E. Vorotnikov,1991年的著作.这里我们用一个电路的例子来结束有关部 分变元稳定性的叙述 例133研究图13所示的电路.其中电感、电阻、电容分别为L1,L23,R1,C1 与C3,它们显然均为正实数,对应回路的电流与电荷分别表以ag与q,显然i=qs,为 了建立该系统方程,可采用类似分析动力学的方法,则对该系统有 图13 动能:T_1 2[1+L2(-的) 位能:1 (n-g)2 耗散函数:R=R1