又令1>0使B()=a(u),则 (v∈B):V(,x)≤B()=a() 于是t∈J):BcA",从而有BC∩At=A,即有( t∈R 在有关时变 Lyapunov函数v(t,x)正定的定义中,必须存在与时间t无关的正定 函数W{x),使其满足 (x,t)∈SxJ):v(t,x)≥W(x)>0 这一条件不能以 ((x,t)∈S×J):V(t,x)>0 来代替.这是运用时变 Lyapunov函数的一个关键,为此考虑下例: 例1.5.1 =p(t)x,x∈R (15.8) 其中p(t)有界, (M>0)(V(x,t)∈RxJ):p(t)|≤ 考虑V=e-(2M+1)x2,显然有 15.8) (2M+1)e x2p(t)≤-V 丁是V与一V均满足(157),若将此理解为V与-V均正定(这里v已具无穷小 界),就可得出任何一维有界线性系统都渐进稳定的荒谬结论 由(1.55)定义的时间T:常称为由A至Be的衰减时间或吸引时间,它表明 切初值发生在A内的运动,在经过T时间后将永远留在Be内.一般讲(1.5.5)给 出的衰减时间是一充分性的估计 为了改善对衰减时间的估计,人们常借助于V满足的一阶微分不等式,例如以 V≤-(V),T∈K 代替定理15.1中的条件2.在渐近稳定结论不变之下,可以对上式进行积分设v(to,ao) 0)=1,则有 1 dv 若考虑到(∈Jm≤|础≤v):B()≥V(t,x)≥a(m)与(1.5.4),则由B,至 Bc的哀减时间为 dv (V)
对比定理1.3.1与定理1.32,容易发现v函数的无穷小上界主要保证稳定性的一 致性.考虑到定理151,人们有理由可以在不要求一致性时取消无穷小上界而得到渐近 稳定的理论,这种想法被J.L. Massera的著名反例所否定 例152( Massera反例)按照下述原则建立函数g(t):[0,+∞)→R: 2取区间1=z-/1) 2),+(2)1,(0=:U4s =1 3°(wt∈l):1≥g2(t)≥e-t 4°9(t)是连续订微的函数 综合1°-4°,92(t)如图14所 图14 研究一维系统 t) 9(t) (15.9) 求出其通解为 5(t)=5o g(to) 由此,系统的零解是稳定的但不是渐近稳定的 若取 (t) (tdt 则由于 )+c==∑/=<3 于是v(t,)正定但显然不具无穷小上界,易于算出v1.59)=-∈2是负定的 例1.52表明对系统在未加补充条件下,仅凭(t,5)正定与V负定是不足以推断 渐近稳定的
定理151给出的寻求零解吸引区的办法依赖于K函数的选取,但由于作为|cl‖ 的函数本身在相空间中对于对称的具旋转特征的区域可能逼近较好,而真实的吸引区可 能不具这种旋转特征,此时常可釆用下述结果 定理152设0∈S=S,系统(1.5.1)的零解一致渐近稳定月S为吸引区,仅 需存在一阶可微函数V(t,x)与连续函数W1(x)和W2(x),使有 1°((t,x)∈J×S):W1(x)≥V(t,x)≥W2(x)且W2(a)止定,W1(0)=0 2°((t,x)∈J×S):V(.1)负定; 3°1imW2(x)=+∞,0S是S的边界 x→s 证明一致渐近稳定已由定理151所保证.下面证明S是吸引区,考虑(to,xo)∈ J×S,因W1(x)有限,因此玉k>0使集合{al|W1{x)≤k=S1kCS且x0∈S1k 且S1k是闭的,任给E>0,由于系统是一致稳定的,存在1>0,只要解一旦进入球 B=1,就可证得其后永远留在球Bε内.现令 η=min{W2(x)∈M={S1k\Ba1} 可保证 (cW1(x)≤m):x∈B1 再令T_k 点t使x4的会),1在nf.{V5).则易于验证在1,t+们内至少有 ∈B1,从而保证有 ≥1o+m):x(;t,x)∈Be 这就证明了S确为x=0的一个吸引区 由定理152的证明过程可知,对任何闭集KCS与c>0,一切发生在K中的 衰减Bc内的扰动均存在一致的时间上界 定理153在定理151的条件下,若S=R且有 lima(μ)=+∞ (1.5.10 则R”将是系统(15.1)的零解的吸引区,且从任何闭区域K出发的解衰减至B=的时 间存在一致的上界,并由系统、K与ε确定而与初始时刻无关 例153研究具阳尼的单摆,在适当选择量纲后,其方程为一时不变系统方程 0+0+sin 0=0 (1511) 其中θ是摆相对垂直轴的偏角.从力学上考虑自然会想到用总能量来构造 Lyapunov函 数,即 V1=62+(1-cos6) 它是正定的且与t无关,但 (1.11)
是半负定的不是负定的,因而用总能量作 Lyapunov函数,目前还只能得到零解稳定而 不是渐近稳定的结论 如果考虑 V=82+(6+0)2+4(1-cos6) 则对应 .51)2=-2(62+6sin6) 是负定的,因而可以断言系统的零解(66)=(0,0)是一致渐近稳定的 在这里V具有明显的物理意义,但不符合定理151的要求;而v2满足了定理 1.51的要求,但却没有什么直观的物理意义.以后更广的定理将表明也是可以用来判 断渐近稳定性的,其物理上的理由是系统中的过程是总能量不断下降的过程,而Ⅵ=0 只是在一些瞬间发生 例15,4研究参数激励的振子,其方程为 +as+6(1+ey(1)5=0 (1.5.12) 其中,a>0,B>0均为常数;y(t)为t∈J的有界函数.这一系统既可视为变弹性 的机械阻尼振子,亦可视为具变电容的RLC回路.将(15.12)改写为 (15.13) B(1+e(t) 考虑 Lyapunov函数为 +?+|B+ 显然它是正定的.易于算出 vasi=-522-(1-2(1+()e2 (1515) 由(15.14)确定的v是5,T的止定二次型,其对系数的全导数V负定等价于 2(1)-a2(1+8(1)≤一<0 (15.16) 其中为充分小正数引入p(t)=s(t),则(1.5.16)变为 B12(t)-avi-af<0, (1.5,17) 由于α≠0,a1≠0,若要求对任何(t),其对应的系统零解均渐近稳定,用上述方法证 明则需(1.5.17)成立,而当β>0时,这是不可能的.从物理上讲,出于仅要求φ?(t) 有界,因而p(t)可以足够负以使系统成为具反弹性的系统,此时要求渐近稳定是不可能 的
条件(1.5.17)对ψv成立等价于要求 +4a2<0 (15.18 这是不可能的.因而考虑 43q1>0 (15.19) 的情形以给出φ(t)或v(t)的界限,利用二次不等式可知条件 29 (a2-ya4+4oa)≤v(t) (1520) 将满足零解系统是渐近稳定的 关于部分变元也有相应的渐近稳定定埋 定理15.4系统 z=∫(t,z),2 x∈ScRn,y∈Rn (1521) 关于部分变元x取零为一致渐近稳定,仅需 v(t,2):J×S×Rm→R是C1函数)(3a(1),B(p),?()∈x)((t,x)∈ Jxs×R 并有 1°a(|l)≤vt,2)≤B(|2+C2,C系一矩阵 2°va.519)≤-(||) 证明与定理151证明类似 参考文献索引[Lya1892],(RHL977,THua1992,Mas1949 6渐近稳定I 在15节引入的 Massera反例表明简单地去掉 Lyapunov函数V的无穷小上界条 件,一般情形下将无法判断系统的渐近稳定性.但当系统右端的向量场∫(t,x是一有界 的向量场时,结论则是对的.为此引入 定理161(L. Salvdoni)系统 ∫(t,x),f(t,0)=0 (1.6.1) 的零解是渐近稳定的,仅需存在两个可微的辅助函数v(t,x)与W(t,x):J×S→R 与三个类函数a(),B()与?()及一个常数M>0,使当(t,x)∈JxS有 1v≥(|),w≥B(|l),v(t0)=W(t,0)=0; 2。v61)≤-(W);