例121若P=P∈R×n,V()=xPx,则V()正定当且仅当P是正定 对称矩阵 例1.22v(t,x)=1+是半正定的但不是正定的 例123V(x)=1+x2x不是正定函数,虽然它具有 (vx≠0):V(x)>0 但(0)=1≠0. 定义122函数a(n):0,∞]→R称为K类或a()∈k,系指a()连续且有 1°(V≠0):a(x)>0且a(0)=0; 2(1≥p≥0) 定义123v(t,x):J×S→R具无穷小上界,系指 ve>0)(36>0)((t,x)∈J×B):V(t,x)<ε 具定常界,系指 (彐W(x)是连续函数且W()=0)((t,x)∈J×S):|v(t,x)≤W(x) 不难证明V(t,x)具定常界→v(t1x具无穷小上界→v(t,0)=0 函数正定与具无穷小上界的概念最早由 Lyapunov本人提出并广泛应用于俄国的 文献.20世纪60年代由Hahn等人引进了关于K类函数的概念并广泛见诸于西方文 献.由于稳定性本质上是一种局部性性质,用卜述两类概念刻画 Lyapunov函数的性质 实际上是等价的.由于系统对应的状态空间中积分曲线的多样性,依据类函数c(zl) 这种轴对称函数研究实际问题,在估计诸如吸引区上受有局限一般说来,只讨论原点 的稳定性时用K类函数方法比较清楚干净,而在估计吸引区等问题时,则用正定、定常 界等比较合理 定理121函数v(t,x):J×S→R是正定的当且仅当 V(t,0)=0且(a()∈K)((t,x)∈J×S):V(t,;x)≥a(|x|) (1.27 是具定常界的当且仅当 (36()∈人)(v(t,x)∈J×S):|V(t,川≤(xl) (128) 证明先证明V(t,x)是正定的情形: 当:显然 仅当:V(t,x)正定,依定义 (W(x)正定)v(t,x)∈J×S):V(t,x)≥W(x) 由于W(x)连续,可令 φp(4)=minW(x)
显然,由W(x)正定,可知y(0)=0,y()是阳0,p)上的连续函数,其中p=sup{ll r∈S},并且有 (v≠0):()>0 考虑函数(山)在R2平面上的上方图,即研究集合 F=epig()={(2)|≥():0≤< 考虑A=Con(F),即A是F的凸包,其定义为 A={y|3=Ay+A2y;A:≥0,A1+A2=1,∈F} 则由A可确定一凸函数a(μ):R+→R,且有 1°A={(,)A≥a();0≤<; 2°(v≠0):a(x)>0,a(0)=0 3°(0≤1<H<p):a(1)<a(2) 4°(≤μ<p):a()≤y() 从而有 (v(t,x)∈J×S):V(t,x)≥ 且o()∈K 再证明v(t,x)具定常界的情形: 当:显然 仅当:由于V(t,x)具定常界,则 (W(x)是连续函数且W(0)=0)(V(t,x)∈J×S):V(t,c)≤W(x) 取e>0,令B()=max{W(x)}+E,则有 β(0)=0,(μ)连续; 2°(v0≤1<4<p):B(2)<(H2) 3°(v(t,x)∈J×S):v(t,x)≤B(H|) 显然可以有 定理122正定函数的非负组合(即组合系数均非负的线性组合)与正定函数的 乘积均为正定函数 类似的结果对非负定、负定等也成立 定义12.4V(x):R4→R是m次齐次函数或m次型,系指 (A∈R)(∈Rn):V(A)=v(xz (129) v(t,x):J×Rn→R为时变m次型,系指 YA∈R)(v(t,x)∈J×R"):v(t (1210)
定理123若v(t2x):J×Rn→R为时变m次型,则v(t2c)正定当且仅当 )(v(t,x)∈J×R):V(t,m)≥a|xl (1.2.11) v(t,x)具定常界当且仅当 (33>0)(t,x)∈J×Rn):v(t,x)≤|z (12.12) 证明对V(t,x),令 inf V(t, x)1, 5= sup tIv(t, r)y (1213) t∈J,|l|=1 由v(,x)正定,于是|(t,x=v(t,x)且a>0,因而(1211)成立反之(1.2.11)成 立v(t,x)必正定.而由v(,x)具定常界,则3<+∞,从m(1.212)成立,反之亦 然 定理124设V(t,x):J×S→R有 v(t, a)=U(t, r)+w(t, 其中,U(t,x)是时变正定m次型;W(,x)有 ve>0)(36>0)(v(t,x)∈J×B):|W(,x)≤lxn 即W(t,x)=o(|l|m)对t一致成立,则 (n>0)(v(t,x)∈J×Bn):v(t,2x)正定 (1215) 证明由于U(t,x)正定,则由定理1.22可知 (a>0((,a)EJXR"): U(t, r)>a|lali 对(12.14),取0<ε<a,并令n=6,就有 (>0)(v(t,x)∈J×Bn):V(t,x)≥(a-!川r 类似证明可以有 定理125设v(t,x)=U(t,x)+W(t,x),U(t,x)为时变m次型且 (3x1,x2∈R")(1,t2∈J):U(t1,x)>0,U(t2,x2)<0 而W(t,x)=o(l|m),即有(1214),则 )(321,2∈Bn):V(t1,x1)>0,V(t2,2)<0 在实际应用中,最主要的齐次型 Lyapunov函数是二次型,这将在第二章结合Lya punov短阵方程进行闸述
例124(t+1)xm.可以验证在[,+∞)×R”上正定但不具无穷小上界 例125考虑 x‖≤1 v(t, TJ= 1+t√x 可以验证,V在[0,+∞)×Rn上正定且具无穷小上界,但不具定常界;而当只讨 论δ<1时,V才在[0,+∞)×B5上具定常界 例126考虑 )=52+52-62-+E 由于U(x)=51+52-6152≥2(52+2)是齐二次函数,且151|≤2,52≤Y2 时有≤2,l≤252,因此v(x)在|叫≤V2时为正定函数 例1.27v(x)=日2-252+451+1+52 由于U(x)=1-22+42是变号二次型,因此在任何B内,总有x1,x ∈B 使v(x1)>0且V(x2)<0 定义125W(x):S→R在S边界上具无穷大下界,系指 M>0)( i l lim a;=I E aS)(EN>0)(n W(an)>M 例1.28V(x) 可以验证,在B1={x|xx≤1}的边界∂B1上v(x)具尤穷大下界 命题121若V(x)在S内连续,在S内取值<k,k为常数,而在边界8S上有 Vail lim I=g EaS): lim V(ai =k 则tg「mv()在s上具无穷大下界,且v(x)正定,对应12亦正定.口 2 关于在边界上具无穷大下界的性质常用来证明S是系统的吸引区 定义126y():0,∞小→R称为K∞类函数,系指y()∈人且有 lim o(u) V(t,x):J×R2→R是径向无界的,系指彐()∈K∞且有 (v(t,x)∈J×R"):V(t2x)≥p(x) 定理126W(x):Rn→R正定且具径向无界当且仅当存在φ()∈k∞,使 x∈R):W(x)≥y(|z|)
例129设P=PT∈RXn是正定矩阵,则xTPx是径向无界的.事实上 令A1是P的最小特征值,则 P nin 因而xPx>A1xm=1|l|2 参考文献索引[Iya1892],Mal1966,RHL1977,Hua1992] 1.3稳定,输出稳定与部分变元稳定 本节利用 Lyapunov函数方法针对稳定、输出稳定与部分变元稳定给出结果 定理13.1系统 (1.31) f(t,0)=0,Mt∈J 的零解是稳定的,仅需存在 Lyapunov函数v(t,x),使 p>0|B,cS)v(t,x)∈J×Bp):V(t2)正定且va3)≤0 证明由于v(t,c)正定,则 (a()∈X)((t,x)∈JxB):V(t,x)≥Q() 由V(t,x)对其变量连续,于是有 (vto∈J)(vc>0)(36>0)(vo∈B):(t0,x)<a() 又由于V≤0,则 (xo∈B6)(t≥to):v(t,x(t;tn,xo)≤v(to,∞o)<a(E) 于是,由 a(la(t; to, ro)lsv(t, r(t; to, co))<a(e) 可知(vt≥to):|x(t;t,x川<E,即零解稳定 定理132系统(1.31)的零解是一致稳定的,仅需存在 Lyapunov函数v(t,x) J×S→R,使 (三p>0|BCS)((t,x)∈J×B) :v(t,0)正定且具无穷小上界,V(a3)≤0 证明由于v(t,x)正定且具无穷小上界,因此 (a(),6()∈K)(v(t,x)∈J×B):(|l)≥v(t,x)≥(|) 14