从定义111与定义112可以看出,定义中的0的选取将依赖于t,若这种稳定 性所要求的d与to的选取无关,则称为一致稳定 定义11.3系统(117)的零解x=0是一致稳定的,系指 ve>0)(36>0)(to∈J)(vxo∈B)(t≥ol):ax(t;to,o)∈B:(1112) (1112)中存在的0实际上只与E>0有关 定理112系统若是周期的,即存在T∈R+使系统(1.1.7)有 va∈S)(t∈J):f(t,x)=f(t+T,x) (1.1.13) 则系统(117)的零解稳定可推出一致稳定 证明考虑to∈p,,则出解对初值的连续依赖性可知 (vo∈|0,m)(v61>0)(362>0,63>0(vr∈(to-62,to+62),vco∈B3) x(T;T,xo)∈B5 (1.114) 由于t∈阳0,是任给的,对每一个to均对应一开区间(to-62,to+2),于是在,T上 形成一开覆盖,从而可以选出有限个开区间(tio-62,t0+6a)覆盖0,们]对应(1114) 中的3中必有一最小的,设为δ*,联系到(1114)就有 (6>0)(36*>0)(r∈四0,T),、Nxo∈B):x(T;r,xo)∈B (1.115) 考虑到系统零解是稳定的,则从时刻T出发的运动应有 vc>0)(365>0)xo∈B)vt≥T):(t;T,xo)∈Be (1.116) 考虑到系统是周期的,于是对任何解x(t;to,xo)及一切整数k均有 a(t; to, co)=i(t +kT; to+kT, ro (1.117) 而对任给t∈J,则恒存在整数k及T∈间0,使 to=kT+T (1.1.18) 于是解x(t;10,0)=x(-kT;r,xo)=x(s;7,0)并且 t≥to当且仅当s≥T (11.19) 综合(1114)-(1119)立即有 ve>0)(35>0)Vto∈J)(xo∈B6)(t≥to):x(t;t,xo)∈Be 即零解是一致稳定的
考虑到时不变系统 ∫(x,f(0)=0 (1.1.20) 是以任何实数T为周期的系统,于是有 推论1.11时不变系统(1.1.20)零解稳定必一致稳定 关于零解渐近稳定,从数学理论的角度看,在概念上有相当细致的分类,从动态系 统与控制系统的需要出发,主要有 定义1.1.4系统(1.17)的萎解x=0是吸引的,系指 (vo∈J)(n>0)(vc>0)(vaxo∈Bn)(T≥0)(v≥to+T) x(t;to,xo)∈Ba (1.1.2l) 是一致吸引的,系指 (n>0)(ve>0)(T>0)(vto∈Jao∈Bn)t≥t+T) x(t;to,xo)∈B (1.122) 是全局一致吸引的,系指 (wn>0)ve>0)(T≥0)(vto∈J)(vao∈Bn)Vt≥t+T) x(t;to,xo)∈Ba (1123) 上述定义中出现的T常称为吸引时间或衰减时间,而解趋向于零的初值选取范围 称为吸引区.当原点为吸引时,其吸引区的寻求是十分困难的.一般只可能寻求其子集 以满足充分性的要求,例如上述Bn就是一个满足充分性要求的吸引区 对比(11.21),(11.22)与(11.23)可以看出 1°原点是吸引的,则吸引区可能与to有关,吸引时间由xo,e,to决定; 2原点是一致吸引的,则对vto存在公共的以原点为内点的吸引区,而在η与E 给定后,对在B,内选取的不同初值对应的解,吸引时间有公共上界 3°原点是全局一致吸引的,则吸引区是全空间的,而且在E与>0给定后,对 应由Bn出发的任何运动进入B=的吸引时间均有公共上界 例1.15研究二阶系统 n-5)+n5 =1(5,n) (2+n2)[1+(2+m2)2 =92(5,7) (52+2)1+(∈2+n2 这是一个表明零解是吸引的但不稳定的反例 易于证明￡=7=0是该系统惟一的平衡点 由于 1(-5,-n)=-1(E,n),φ2(-5,-n)=-2(5,7)
则吸引的积分曲线及流向刚好关于原点对称,因而整个讨论仅需在上半平面进行 引入极坐标P=√2+n2,u=tgP=y,则有 (1+p4)(1+u2) n4-23+u-1+3p3sin2 在采用比较复杂的相平面进行分区分析后,可以证明积分曲线的渐近性质,它们最 终将进入图11中带阴影的区域S中,而p(t)的渐近性质可由 P(t)=o(e-t/15), lim p(t)=0 t→ 刻画,从而零解是吸引的. 图 为了证明原点不稳定,研究三角形区域OPQ,其边界为 7=35,5 交点Q的坐标为(1/3√27,1/√27).于是有下述流向特点 PO线上:5>0; PQ线上:?>0 0Q线h:区=。9 2+2432>3. 由此可知,在三角形OPQ的OP与OQ线上积分曲线均流入,而积分曲线则由 PQ线上流出由于1/V27是一固定的数,因此原点是不稳定的 例1.16考虑时变系统 1+ 1+ to 容易看出,其通解为ξ=50 显然原点是吸引的,且对任何给定的5o∈R,to∈J 1+t 解是单调的.设给定ε>0及7,考虑满足50=n对应的运动,则由 1+t 1+to +T
可知T>(1+t0):2-1],即吸引时间随to增加而增大或原点是吸引的,但不是一致吸 引的 定义11.5系统(1.1.7)的零解是渐近稳定的,系指它是稳定的又是吸引的;是 致渐近稳定的,系指它是一致稳定的又是一致吸引的;是全局一致渐近稳定的,系指 它是一致稳定的又是全局一致吸引的 例1.1.6的零解是渐近稳定的,但不是一致渐近稳定的 定义116系统(1.1.7)的零解矿=0是局鄙按指数渐近稳定的,系指 (n>0)(M>0)(3a>0)(wto∈J)(Vo∈Bn)(t≥to) lcr(t;to,xo)‖≤M|cole 而当η=+∞时,则称对应的零解是全局指数渐近稳定的 显然,零解局部指数渐近稳定必为一致渐近稳定,全局指数渐近稳定必为全局一致 渐近稳定,但逆命题一般不成立 例1.17考虑系统 易于证明,对的通解为4+23(-60=(-t,然它 是一致渐近稳定的,但不是指数渐近稳定的 例1.1.8考虑系统 E=-251/m2,f 0, 5=0 为简单起见,只考虑>0的半支,不难证明当t→∞时其解以e-“趋于零,从 而一定是指数渐近稳定的,但该系统实际上在原点附近不存在任何线性系统可以近似地 代替它 定理1.1.2指出,对于周期系统(时不变系统是其特例),稳定与一致稳定等价.用 完全类似的方法可以证明 定理11.3对周期系统(11.13),其零解渐近稳定必一致渐近稳定 参考文献索引[RHL1977,[Lya892,Ma966Hual992l,vn1957 1.2 Lyapunov函数 研究非线性系统零解的稳定性,主要采用 Lyapunov函数方法,这是由于求解非线 性微分方程再讨论其解的性质存在着严重的困难. Lyapunov受力学系统中渐近稳定平 8
衡位置附近总能量必逐步减少这一物理现象的启发,引入了一个作为工具的辅助函数, 即 Lyapunov函数或V函数,通过它及它对系统的全导数的性质可以判定稳定性等, 从而避开了求解非线性微分方程的困难.由于对动态系统常可以通过其总能量、第一积 分以及线性近似部分等的研究来寻求合适的 Lyapunov函数,使得这一方法显示出了很 大的威力,而对于线性时不变系统,求 Lyapunov函数的工作可归结为对矩阵方程的求 解,现今算法已相当有效并已成熟.另外, Lyapunov函数方法又与一系列控制问题, 诸如最优控制、鲁棒控制、自适应控制等,有着广泛的联系,并成为了解决这些问题的锐 利工具,因而这一方法在近30年里得到了巨大的发展 在以后讨论中设辅助函数v:J×S→R具有下述一般假定: 1°v(t,a)对其变量是一阶可微的或至少是分块一阶可微的; 2°v(t,0)=0,t∈J 没系统的方程为 (t)=∫(t,x),f(t,0)=0 (12,1) 并已满足解对初值的存在惟一性条件,而c(t)是(12.1)的解,则以r(t)代入V(t,x)= (t,(t)v就是t的函数.由于此函数对t分段可微,于是其对t的Dir导数存在, Dtv(t, a)/(1.2.1)=lim sup V(t+h,r+hf(t, a))-v(t,r h (1.22) 若v(t,m)本身是-阶可微的,则对应Din导数就是通常的导数.于是有 at VV·f(t,x) (123) 其中 av 8 05 注意到(123)的右端实际上只是t与x的函数,并不依赖于(1.2.1)的解的求取,因此 对V的性质的讨论与判定将不依赖于任何解的求得,无论是还是V都是t与x的 函数.为了刻画其性质,我们引入 定义121W(x):S→R是正定的,系指 (vx≠0):W(x)>0,W()=0 (1.24) v(t,x):J×S→R是正定的,泵指 (W(a)正定)(v(t,x)∈J×S):v(t,x)≥W(x)HV(t,0)=0 v(t,x):JxS→R是半正定的(或非负定的),系指 v(t,x)∈J×S):(t,x)≥0且V(t,0)= (1.2.6) 类似可以有负定、半负定(非正定)的概念