6,2鲁棒镇定与插值问题 …(411) 63互质分解1. 64互质分解II 428 65基于互质分解的镇定理论 66系统的镇定与强镇定 (439 6.7区间系统的鲁棒镇定,频域曲线带的边界 (447) 6.8混合摄动问题—鲁棒镇定 (455) 69混合摄动问题—鲁棒性 6.10线性分式变换与广义对象简化 471 611广义对象的转化条件与LFT的内稳定 48生 612LQ控制与H控制的关系∴ 613H。控制综合I—全息时变情形 6.14H。控制综合Ⅱ—一全息时不变情形∴ .(512) 6.15H控制综合I1输出反馈控制器(时交系统) 6.16H控制综合IV——输出反馈控制器(时不变系统)… 问题与习题∴… (541) 参考文献∴∴………… (566
第一章 Lyapunov稳定性理论 本章主要介绍 Lyapunov稳定性理论的基本内容,包括稳定性的基本概念,L punov函数以及用 Lyapunov方法判定稳定、不稳定、吸引、渐近稳定等的结论及其在 力学系统中的应用.在许多叙述中将用适当的例子来阐明不同概念的差异以及定理条件 的合理性.在叙述方式上将力求用比较新的知识和方法而不拘于原有结果的原始思路与 证明方法 1.1稳定性的基本概念 为了行文方便,首先对本书中的常用符号作一些说明 R与C分别表示实数与复数域,R2与Cn分别表示m维实与复向量空间,Rm×n 与Cmxn用来表示mX的实与复矩阵组成的集合,R+表示全体正实数,J表示半 无穷区间0,+∞),0为一实数,n表示自然数集{1,2,…,n} 黑体英文大写字母常用来表示集合,如A,S等,A表示A的开核,即全部A的 内点组成的集合,A则表示A的闭包,A表示集合A的边界,aA表示A相对 其仿射包的边界或A的相对边界.B(x0,p)表示维实空间中中心在x0半径为p的 闭球,即 B(x0,p)={al∈R",|-xoll≤p} 其中‖·‖是向量的 Euclid范数,即xx=|2,x2是x的转置,特别xo=0时用 Bp简记B(0,p).对应球B(ax,p)的开球记为B(xo,p)={x∈R,|-o<p 书中矩阵或向量,例如A或a,其元或分量一般以对应的希腊字母表示,例如ai 或 按当今数学运用的习惯,符号表示“对所有的”或“对任意的”,彐表示“均可 找到”或“均存在”有时为了行文简洁,对于定义或命题,常用一连串的圆括号表示其 条件而最后写出它的结论.这种做法在稳定性的文献,特别是在俄国文献中是常用的 为了适应这种叙述方式,我们用一些在本书中常用到的定义来作为例子 例111实函数f{x):R”→Rm在开集MCR内是连续的,系指 v∈>0)(vxo∈M)(6>0)(∈B(xo,6)cM):l|∫(x)-f(ro)川<s 在M上连续的函数的集合记为CM].反之,∫(x)在M上不连续则为 (3s>0(3axo∈M)(v6>0)(x∈B(a0,6)cM):f(x)-f(o)川>E 从这一例子可以清楚地看出,同一问题的正反叙述只需将V与彐互换而最后结论 相反即可.这种方便有时在较复杂的推演过程中可以得益
例112矩阵A∈Rmn具有线性无关列,系指 (vx∈R"x≠0):Ax≠0 而A的列线性相关则为 (三x∈R"|x≠0):Ax=0 对于秩为k的mXn阶矩阵A的集记为Rn×n,则A∈Rm×具线性无关列 可简记为A∈Rmn 例1.13设ScR系一开集,6∈R,函数f(t,x):J×S+R称为对x具 局部 Lipschitz条件,系指 (N=NCS且N界)(k>0)(x1,x2∈N)(vt∈J) ∫(t,x2川‖≤k|x1 称f(tx)在S上具 Lipschit.7.条件,系指 (>0)(x1,2∈S)t∈J):l∫(t,x1)-∫(t,x2)≤A1-x2‖ 以后用L]表示对m的 Lipschitz条件,而用LLip]表示该条件是局部的 考虑由微分方程 g(,2) (1.11) 描述的动态系统,其中2(t∈Rn,g(t2):J×S→R,SCR,若又有 g(,z)∈CJ×S]∩LLip2J×S (1.12) 即函数g(t,x)在J×S上连续且对z具局部 Lipschitz条件,则考虑初值问题 0=x(to)∈S,(to,2)∈J×S (1.1.3) 由微分方程理论可知,系统(1.3.1)存在惟一具初条件(1.L.3)的解,以后记这样的解为 z(t;to,2x0),这表明它满足系统(111)且有z(to;to,2o)=20 由于稳定性理论主要是讨论系统在无穷时间区间内的行为,而且为了避免过多地讨 论常微分方程的存在惟一性问题,以后均假设: 1°整个系统(11.1)在J×S上有定义,且系统的解2(t;t,x0)对何t≥to,30∈S 均留在S内; 2°除非特别强调,一般均设系统(111)对初值问题的解存在惟一性条件,或假设 g(t,x)∈C|J×S]∩Lp2{J×S] 在有了这些准备以后,可以给出下述概念 定义111系统(1.1.1)的特解x(f)是稳定的,系指 ve>0)(to∈J)(6>0)(zo|(zo-x(to)∈B6)(Vt≥to
(z(t;to,30)-2(t))∈Be 若还有 lim(z(t; to, zo)-i(t))=0 (115 则特解x(t)是渐近稳定的 系统的特解的稳定性是微分方程自变量区间为有限时解对初值的连续依赖性在自变 量区间变为无穷时的扩展.这种扩展反映了本质的变化.例如=Q,α>0,易于验证 任给一有限时间区间,该方程的任何解对初值均有连续依赖性,但对应5=0却不是上 述意义下稳定的,或者说这种连续依赖性是不能扩展至无穷区间的 设相对系统(1.1.1)的特解2(t)有一摄动x(t),x(t)=c(t)+2(t)亦为系统(11.1) 的解,则{t)满足下述方程与初值 ⅸ(t)=g(t,x(t)+2(t)-9(t,2(t)=f(t,x) 1.6 a(to)=z(to)-i(to) 容易证明 1°f(t,0)≡0,即x=0是(11.6)的一个特解,且是(1.1.6)的平衡位置; 2°系统(111)的特解(t)是稳定或渐近稳定当且仅当系统 i(t)=∫(tx),∫(t,0)=0 (1.1.7) 的平衡位置x=0是稳定或渐近稳定 由于在理论上任何系统特解的稳定性均可化成另一系统平衡位置的稳定性.今后我 们将只讨论系统(117)平衡点的稳定性 定义112系统(11.7)平衡点x=0是稳定的,系指 (ve>0)(to∈J)(36>0)(Vxo∈B6)(vt≥to):x(t;t,xo)∈B (118) 反之,若 (B>0)(to∈J)(6>0)(3xo∈B)(≥to):x(tn,o)eB:(1.1 则系统(117)的平衡位置c=0为不稳定 显然,任何系统的特解的稳定性均可转化为一新系统的零解的稳定性,一般情况下 系统特解是否稳定将不仅取决于系统,而且取决于特解本身.但对于线性系统 A(t) (1.1.10) 则可以有 定理11.1线性系统(1.1.10)任一特解(t)是稳定的当且仅当其零解是稳定 的
证明考虑任一特解正(t).研究摄动后的解c(t)及y(t)=x(t)-2(t,则y满足 i(t)=i(t)-x(t)=A(t)a(t)-A(t)a(t)=A(t)y 注意到(1.1.1)与(1.1.10)实际上是同一系统,于是定理得证 定理11.1所表述的这种线性系统才具有的特性对一般非线性系统來说是不存在 的,即一般非线性系统其特解的稳定性并不等价于零解的稳定性 例114研究单摆运动方程 E+w* sinS=0 在引入51=5,52=5后,又可写成 51=52 考虑该系统的总能量v=42(1-cos6i)+2,则易于发现 1c=06;+02=0,表明系统是保守的或能量守衡的 dt 2°V= const,在原点附近是封闭曲线 考虑到v(0,0)=0,V是1,E的连续函数,可知平衡点51=52=0是稳定的 在平衡点附近考虑该系统对应初值 61(o)=510,E2(to)=20=0 的特解￡(t),则可知有 =w [cos s(t)-cos 510 其中510是对应周期振动的振幅,而对应的周期可以算出为 2de T(510)= cos s(t)-cos $10 T是510的函数,且有 T(510)>T v510>5 考虑对应(0)=Eu,(O)=0的特解￡()及其邻近有(0)=510,(0)=0的解 (t),则由于ξ()与￡(t)对应不同周期,这种不等周期性将导致￡{t)不是对应系统稳 定的特解