下的渐近稳定鲁棒性(相对摄动的不变性)的研究不仅可能与实际需求差之甚远,而且其 本身也变得意义不大 控制系统的不确定性,其产生的原因是多种多样的,如何描述这种不确定性如同在 控制系统中选取品质指标一样,也应遵循两个基本原则,即它应能反映实际问题的特征 同时又能便于在研究过程中进行处理.以线性系统为例,摄动可采用下述模式 1)参数不确定性,系统中某些参数是不确定的并可在一绐定的集合中取值,例如 在矩形体、球形体、多面体内取值等.参数不确定性常称为结构性摄动,这是由于这种摄 动仅影响参数而不影响系统的结构,即在一定的结构性质下的摄动 2)非结构性摄动.这种摄幼不仅以参数变化形式出现而且系统结构也发生变化 例如用H∞范数、Gap度量的摄动 (3)混合摄动.同时具有结构性和非结构性摄动 由于系统中存在的摄动并不清楚,从研究的角度,我们面对的对象不是一个单一的 对象而是而对一族对象.这表明一个实际的系统其描述模式可以有多个甚至无穷个,即 必须用一个系统族来描述同一个实际系统.这种描述可以由一个名义系统(即摄动为零) 和一个摄动模式所组成,也可以用一个基于集合包含关系的方程来刻画,例如,微分包 含.鲁棒稳定性就是一个系统族的稳定性,随着控制系统面临任务的复杂、环境的多变、 大量不确定因素的存在,研究系统的鲁棒稳定性就日益成为必需.最初当E.J. Davison 引入“ Robust”这个词时,还是针对微小摄动而言的,而今 Robust这个概念已经变为 针对那些非徵小的有界摄动 微积分的产生已经经历了300年,人们习惯于用无穷小分析来处理问题.对于大范 围变化下鲁棒稳定性的研究,也只有在出现了新的契机以后才蓬勃发展起来 鲁棒稳定性分析一开始采用了 Lyapunov函数方法,利用二次 Lyapunov函数建立 了关于系统族二次稳定的概念并得到了一批结果.特别是当系统满足匹配条件时结果相 当丰富,这种方法原则上可以应用于非线性时变系统,但由于其本质上是一种充分性方 法而且对系统蔟要求具有公共的 Lyapunov函数,难于满足,结果也就偏于保守.在相 对热丁不足10年便进入停滞不前的状态,尽管仍然有与之相近的各种提法的大量论文 出现,但由于 Lyapunov方法本身还有些关键问题,例如针对系统或系统族什么是最适 合的 Lyapunov函数,和针对系统族是否可同时利用不同的 Lyapunov函数等一系列问 题未有圆满答案,实际上只停留在呼唤突破之中 激励鲁棒性研究的另一个方而是H。控制讨论的深入,H控制的原始提法是设 计控制器以使系统内稳定且由干扰到输出的传递函数对应的H范数为最小,这是一个 典型的受约束最优控制问题.正如“人无完人,金无足赤”一样,按照最优要求设计的控 制器常难免脆弱并且代价太大.工程实际常常要求人们以一种次优控制来实现控制器 当H范数以最大奇异值的方式表现后,H∞次优化问题就同加性、乘性两种非结构 性摄动模式的系统鲁棒镇定联系在一起,这种联系赋予了H。控制新的含义,即它也是 一种鲁棒控制问题.在H∞控制理论的发展过程中,一开始它以算子空间中逼近的方式 解决间题,这在计算上比较困难、后来发现H。控制求解依赖于两↑ Riccati方程的求 解而使其增添了新的活力,加之H。∞控制本身的提法非常适合控制回路这种结构特征, 方法的可行与工程上的合理就使H∞控制成为现代鲁棒控制的核心问题之
作为鲁棒稳定或鲁棒控制的另一个主要领域—参数不确定方法,当归功于俄国 人V.L. Kharitonov的贡献,他关于一个区间多项式族是 Hurwitz稳定的充分必要条 件是该族四个端点多项式为 Hurwitz稳定的结论,先是给人们带来了诧异,随后则启示 人们寻求类似的结果并将其用于粹制.以后出现的棱边定理、菱形族定理、边界定理 值集或值映射方法等为鲁棒稳定性的分析提供了有效的T具.但这些还基本上限于当系 统多项式系数只是不确定参数的仿射函数的情况,对于多仿射与非线性情形,问题则困 难得多,完美的便于应用的结果依然吸引着研究者的巨大兴趣 控制系统的复杂性与不确定性常要求讨论同时具有上述两种不确定性的问题.与此 同时人们也乐于把H。控制方法与参数不确定方法结合起来处理系统的鲁棒镇定和带品 质要求的棒镇定. 运筹学是控制理论的近亲,其方法常常在控制理论研究中起到别开生面的作用.当 今大量的鲁棒控制问题已经借助于线性、凸与非线性规划方法求解. Karmarkar方法 在运筹学中大获成功的事例,促使人们把这一方法用于控制特别是鲁棒控制,这样控制 中的问题转化为线性矩阵不等式(LMI)求解,使LMI的作用更加明显,而鲁棒挖制的 些新分支,例如积分二次约束(IQC)与鲁棒增益规划(RGP)也都可借助LMI来进 行研究.关于LMI的求解已有现成的算法和软件,但是在理论上LMI的可解性问题还 远没有解决,特别是控制系统中的许多分析与综合问题经常可转化为若千个LMI与 个非凸的矩阵秩约束条件下的可行性问题,该问题的可解性研究是一个具有挑战性的研 究课题.从鲁棒性的观念出发,建立在各种不等式基础上的分析与设计不仅具有意义 而且是一个新的研究方向 在对系统鲁棒性的研究中最具核心地位的乃是鲁棒稳定性问题,所幸的是在稳定性 的经典研究和鲁棒性的近期研究中,人们清楚地发现了这两者在理论、概念、方法上近于 致的现象.由于稳定性与鲁棒性都处理系统摄动的影响,因而在控制理论的架构中两 者是最能亲和而成为一体的.从前100年发展的历史可以清楚地看到其中的天然联系 4.本书内容的考虑与安排 近100年稳定性的研究和近20年鲁棒性的研究,为我们提供了成千上万的文献 文献量大,增加了选材的困难,但同时也迫使我们从这众多的文献中寻找出基本的主干 型成果,为读者创造一个基础.当然也希望在掌握了这种主干材料之后,有可能长出新 芽和出现新的生长点,或长成新的枝叶,为发展该理论提供方便 由于系统的稳定性与鲁棒性所讨论的问题有明确的物埋或工程背景,而其理论结论 又常以严谨的数学方式表达,工程或物理的直观往往是人们解决问题中的思想雏形,虽 富于启迪,但常不完善,这种粗线条的想法同严蜜的数学论证并不经常是吻合的,为了避 免误解,我们在对结论给出严格的数学阐述的同时将给出一些例子以消除由于直觉不完 善所可能引发的误解,以便对数学命题成立的条件能有更深的认识.由于本书取材力求 是主干型的内容,因而对主要结论将给出严格的证明,这无非是希望造成一个条件以使 读者不必再查阅其它文献就可有一个较坚实的基础,这对于年轻读者可能会更方便些 基于这个想法,本书的内容安排如下: 第一章是 Lyapunov稳定性理论的基础,主要阐述理论的基本内容及其最重要的发 展,包括时变、周期系统渐近稳定,渐近稳定反问题以及力学系统稳定性等著名结果
线性时不变系统的研究是最基础也是最广为应用的成果.木书将用两章篇幅来闸 述.第二章除一开始讨论系统结构性质外其余部分着重讨论多项式理论,即针对实复系 数多项式根分布来研究稳定性.其中较大的篇幅是关于现今鲁棒分析所要求的多项式族 的會棒稳定性,包括有理函数及有理函数族的严格正实性,第三章从状态空间角度讨论 稳定性问题.包括 Lyapunov方程,二次型最优及与之联系的 Riccati方程和 Hamilton 矩阵,正实矩阵,线性矩阵不等式以及二次稳定等内容 第四章专门讲述线性时变系统,主要阐述线性时变系统的稳定性,结构性质, Gronwall- Bellman方法,并从一般性层次给出线性系统的有关结果以及由此引出的无 源性、有界实结论,最后对目前常用的微分包含理论,针对线性时交系统作了必要介绍 最后两章是有关控制系统稳定性、鲁棒性的阐述第五章围绕绝对稳定性展开,充 分考虑了频域不等式和S过程,讨论的范围已不囿于绝对稳定性而涉及到其它一些总体 性质.第六章则是鲁棒稳定性的一些最重要的基硎,既包括参数不确定性的结果,也包 括互质分解上的结论.最后讲述二次最优与H。控制的有关理论基础 本书的前身是北京大学出版社1992年出版的《稳定性理论》,那时作者就刻意在 传统稳定性理论上加强控制并引进鲁棒性.这一努力见到了成效,但近10多年的发展特 别是鲁棒性研究的蓬勃发展,迫使作者在原书的基础上做大规模的变动,并将其改名为 《稳定性与鲁棒性的理论基础》出版.H于稳定性、鲁棒性的领域是一个成果浩瀚的领 域,其理论基础必然来自各方的力作,这里要特别提到的是GL995,[PS1996,前 者对H理论的叙述既考虑到理论的完整又兼顾了时变与时不变的两种情形与LQG最 优、滤波及H。控制的多种形式,这刚好符合本书的需要;而后者在绝对稳定性基础上 的展开也使作者获益匪浅,书中关于这两方面的内容主要来自它们本书各节最后均有 文献索引,这既方便读者也是对原著作人的尊重 在本书的完成过程中,得到了自然科学基金项目的持续资助,以及国家攀登项目《复 杂系统控制的基础理论研究》和国家重点研究规划项目《我国电力大系统灾变防治和经 济运行的重大科学问题的研究》的资助,作者在此对国家科技部和自然科学基金委的支 持深表谢意.本书的出版还得到了中国科学院科学出版基金的资助,在此深表感谢 北京大学力学与工程科学系,特别是系统与控制研究中心的同仁为本书的形成创造 了一个良好的学术氛围,正在或曾在该中心学习T作过的一批年轻朋友,工金枝、郁文 生、喻学刚、段志生、曾建平、杨莹、董海荣、朱俊彬等在提供材料、帮助录入、提供算 例等方面给了作者以帮助,特别是王金枝博士,还帮助作者通校了全稿,在此对他们的 帮助,深致谢意 作者十分感谢所有帮助过的同志,希望本书的出版将无愧于这些支持和帮助 由于作者水平有限,挚诚欢迎批评指正 黄琳 2002年4月
目录 前言 第一章 Lyapunov稳定性理论 ◆4·s非·甲甲章非非音;新 11稳定性的基本概念 12 Lyapunov函数 13稳定,输出稳定与部分变元稳定 (14) 1.4不稳定性 (20) 1.5渐近稳定I 16渐近稳定Ⅱ 17周期系统的一致渐近稳定( Krasovsky定理) 33 18时变系统的一致渐近稳定( Matrasov定理) …(37) 19一致渐近稳定的反问题 1.10力学系统稳定性 (49) 1.11其它稳定性问题 …(54) 第二章线性时不变系统I—一多项式理论 (61) 21线性时不变系统的结构性质∴ (61) 22线性时不变系统稳定性的特征 (67) 23 Hurwitz矩阵与 Hurwitz稳定性, 24 Hurwitz稳定的讨论 ……(79 25系数空间中的 Hurwitz区域(奇偶分解)……… 85 2.6相角微分与凸组合 2.7复 Hurwitz多项式 8相角变化与凸方向 (100) 29多项式系数空间中的稳定凸多面体 ∴,(107) 210 Schur多项式与 Schur稳定性., (112) 211边界检验,值集与值映射 212正实性与严格正实性 (125) 213映射定理与多仿射映射 (134 第三章线性时不变系统I——状态空间方法 ,··· 142 31 Lyapunov方程与二次型 Lyapunov函数∴ 32 Lyapunov函数集与公共的 Lyapunov函数 (150) 33一次近似讨论的合理性 34输出稳定性 3.5极点配置与系统镇定, 168 36二次型最优控制 (172) 37 Hamilton矩阵与 Riccati方程 ∴..(178)
3.8正实矩阵与谱分解 (186) 39正实引理 3.10矩阵的稳定半径 .(202 3.11摄动界确定的近似方法 (205) 3.12线性矩阵不等式与线性二次镇定 3.13系统族二次镇定的条件 (218) 3.14渐近稳定与二次型最优 .(223) 第四章线性时变系统 (228) 41线性时变系统的特征 4.2 Lyapunov变换与周期线性系统 4.3线性时变系统零解的指数渐近稳定 44 Gronwall-Bellman不等式及应用 (2 45线性时变系统的可控性与可观测性I (252) 46线性时变系统的可控性与可观测性I 47线性时变系统的镇定I ,(263) 4.8线性时变系统的镇定II……… 49L2上的系统及其稳定性∴ (274) 4.10一般线性系统的尺度,小增益定理 (281) 411无源性,严格正实与有界实 4.12微分包含的一般理论 4.13线性微分包含系统的一致渐近稳定∴∴………… (301) 4114线性微分包含系统渐近稳定的代数条件 第五章控制系统稳定性I—一绝对稳定性及相关问题· ∴..(314 51线性系统的频城稳定性判据 52绝对稳定性 (319) 53S过程的数学理论I频域不等式 (323) 54S过程的数学理论II—频域不等式 ,(329) 55S过程的数学理论II规划亏解问题 (338 56绝对稳定性的频域判据—圆判据 (345) 57 Popov判据 (350) 5.8反馈非线性系统的积分方程描述… (358) 59具可微非线性的情形与两个猜想 (368) 5.10超稳定性 511非线性控制系统的一些总体性质 (377 12平衡点集的稳定性 (384 5.13类摆系统 (392) 514 Lagrange稳定性与 Bakey稳定性…… 第六章控制系统稳定性Ⅱ——一鲁棒控制与鲁棒镇定 ,(404 6.1内稳定与H摄动下鲁棒稳定性 (404)