章节题目 第八节多元函数的极值及其求法 多元函数极值的概念、必要条件及充分条件 多元函数的最值 内|条件极值的求法 容提要 极值的必要条件及充分条件 极值与最值的求法 重点分析 用拉格朗日乘数法求解条件极值 拉格朗日乘数法所得方程组的求法 难点分析 习题布置 P202、6、8、10 备注
1 章 节 题 目 第八节 多元函数的极值及其求法 内 容 提 要 多元函数极值的概念、必要条件及充分条件 多元函数的最值 条件极值的求法 重 点 分 析 极值的必要条件及充分条件 极值与最值的求法 难 点 分 析 用拉格朗日乘数法求解条件极值 拉格朗日乘数法所得方程组的求法 习 题 布 置 P70 2、6、8、10 备 注
教学内容 问题的提出 实例:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价1元,外地牌子每瓶进价1.2 元,店主估计,如果本地牌子的每瓶卖ⅹ元,外地牌子的每瓶卖y元,则每天 可卖出70-5x+4y瓶本地牌子的果汁,80+6x-7y瓶外地牌子的果汁问:店主每天 以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益? 每天的收益为f(x,y)=(x-1)(70-5x+4y)+(y-1.2)80+6x-7y 求最大收益即为求二元函数的最大值 二、多元函数的极值和最值 观察二元函数z=-的图形 1、二元函数极值的定义:设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某邻域内有定义,对 于该邻域内异于(x,y)的点(x,y):若满足不等式∫(x,y)<f(x0,y),则称 函数在(x,y)有极大值;若满足不等式∫(x,y)>f(x0,y0),则称函数在(x0,y0) 有极小值 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 例1、函数Z=3x2+4y2在(0,0)处有极小值 例2、函数Z=√x2+y2在(0,0)处有极大值 例3、函数Z=xy在(0,0)处无极值 2、多元函数取得极值的条件 定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y)具有偏导数,且在点(x0,y)处 有极值,则它在该点的偏导数必然为零:f2(x0,%)=0,f(x,y)=0 证不妨设二=f(x,y)在点(x,y)处有极大值,则对于(x0,y)的某邻域内任意 2
2 教 学 内 容 一、问题的提出 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价 1 元，外地牌子每瓶进价 1.2 元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的每瓶卖 y 元，则每天 可卖出 70-5x+4y 瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y 瓶外地牌子的果汁问：店主每天 以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为 f (x, y) = (x −1)(70 −5x + 4y) + ( y −1.2)(80 + 6x − 7y) 求最大收益即为求二元函数的最大值. 二、多元函数的极值和最值 观察二元函数 x 2 y 2 的图形 e xy z + = − 1、二元函数极值的定义：设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内有定义，对 于该邻域内异于 ( , ) 0 0 x y 的点 (x, y) ：若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称 函数在 ( , ) 0 0 x y 有极大值；若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数在 ( , ) 0 0 x y 有极小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 例 1、函数 Z=3x2+4y2 在（0，0）处有极小值 例 2、函数 Z=- 2 2 x + y 在（0，0）处有极大值 例 3、函数 Z=xy 在（0，0）处无极值 2、多元函数取得极值的条件 定理 1（必要条件）设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 具有偏导数，且在点 ( , ) 0 0 x y 处 有极值，则它在该点的偏导数必然为零： f x (x0 , y0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ) = 0 . 证 不妨设 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处有极大值,则对于 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内任意
(x,y)≠(xy)都有f(x,y)<f(x02y) 故当y=y0,x≠x时,有f(x,y)<f(x0,y), 说明一元函数f(x,y)在x=x处有极大值 必有 ∫2(x0,%)=0 类似地可证f(x0,y)=0 推广如果三元函数u=f(x,y,z)在点P(x0,y2=0)具有偏导数,则它在 P(x0,y,=0)有极值的必要条件为 f(x0,y,-0)=0,J(x0,y0,-0)=0,f(x0,y,-)=0 仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点. 注意:驻点 极值点 例如,点(0,0)是函数二=xy的驻点,但不是极值点 问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 定理2(充分条件)设函数二=∫(x,y)在点(xy)的某邻域内连续,有一阶及 二阶连续偏导数,又∫(x0,y)=0,f(x0,y)=0,令f(x02y)=A, f(ro, yo)=B, (o, yo)=C 则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下 (1)AC-B2>0时具有极值,当A<0时有极大值,当A>0时有极小值 (2)AC-B2<0时没有极值 (3)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论 例4求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0确定的函数z=f(x,y)的极值 解将方程两边分别对x,y求偏导 2x+2z·′-2-4-′=0 2y+2x1+2-4=0 由函数取极值的必要条件知,驻点为P(1,-1)
3 (x, y) ( , ) 0 0 x y 都有 f (x, y) ( , ) 0 0 f x y , 故当 0 y = y ， 0 x x 时，有 f (x, y0 ) ( , ) 0 0 f x y , 说明一元函数 ( , ) 0 f x y 在 0 x = x 处有极大值, 必有 f x (x0 , y0 ) = 0 ; 类似地可证 f y (x0 , y0 ) = 0 . 推 广 如果 三 元函 数 u = f (x, y,z) 在 点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 具 有 偏 导 数， 则 它 在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条件为 f x (x0 , y0 ,z0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f z (x0 , y0 ,z0 ) = 0 . 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 注意：驻点 极值点 例如, 点 (0,0) 是函数 z = xy 的驻点，但不是极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理 2（充分条件） 设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续，有一阶及 二阶连续偏导数，又 f x (x0 , y0 ) = 0 , f y (x0 , y0 ) = 0 ，令 f xx (x0 , y0 ) = A ， f xy (x0 , y0 ) = B ， f yy (x0 , y0 ) = C ， 则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 2 AC − B 时具有极值， 当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值； （2） 0 2 AC − B 时没有极值； （3） 0 2 AC − B = 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论． 例 4 求由方程 x y z 2x 2y 2 2 2 + + − + −4z −10 = 0 确定的函数 z = f (x, y) 的极值 解 将方程两边分别对 x, y 求偏导 + + − = + − − = 2 2 2 4 0 2 2 2 4 0 y y x x y z z z x z z z 由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P(1,−1)
将上方程组再分别对x,y求偏导数 1 l=0,C==”lp 故B2-AC=-1 <0(二≠2),函数在P有极 将P(1,-1)代入原方程,有1=-2,=2=6 当三1=-2时,A=元>0, 所以二=f(1,-1)=-2为极小值; 当2=6时,A1 所以z=f(1,-1)=6为极大值 求函数=f(x,y)极值的一般步骤: 第一步解方程组f2(x,y)=0,f,(x,y)=0求出实数解,得驻点 第二步对于每一个驻点(x,y),求出二阶偏导数的值A、B、C 第三步定出AC-B2的符号,再判定是否是极值 3、多元函数的最值 与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值 求最值的一般方法: 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互 比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值 例5求二元函数z=f(x,y)=xy(4-x-y)在直线x+y=6,x轴和y轴 所围成的闭区域D上的最大值与最小值 解如图 先求函数在D内的驻点, x+y=6 D
4 将上方程组再分别对 x, y 求偏导数, , 2 1 , | 0, | 2 1 | z B z C z z A zxx P xy P yy P − = = = = − = = 故 0 ( 2) (2 ) 1 2 2 − − = − z z B AC ,函数在 P 有极值. 将 P(1,−1) 代入原方程, 有 z1 = −2, z2 = 6, 当 z1 = −2 时， 0 4 1 A = , 所以 z = f (1,−1) = −2 为极小值； 当 z2 = 6 时， 0 4 1 A = − , 所以 z = f (1,−1) = 6 为极大值. 求函数 z = f (x, y) 极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f (x, y) = 0, x f y (x, y) = 0 求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( , ) 0 0 x y ，求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第三步 定出 2 AC − B 的符号，再判定是否是极值. 3、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值. 求最值的一般方法： 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互 比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 例 5 求二元函数 ( , ) (4 ) 2 z = f x y = x y − x − y 在直线 x + y = 6 ， x 轴和 y 轴 所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值. 解 如图, 先求函数在 D 内的驻点， x y o x + y = 6 D
50 解方程组 f(x,y)=2xy(4-x-y)-x2y=0 f(x,y)=x2(4-x-y)-x2y=0 得区域D内唯一驻点(2,1),且f(2,1)=4 再求f(x,y)在D边界上的最值 在边界x=0和y=0上f(x,y)=0, 在边界x+y=6上,即y=6-x 于是f(x,y)=x2(6-x)(-2) 由f=4x(x-6)+2x2=0, 得x=0,x2=4→y=6-x|1=4=2,f(42)=-64 比较后可知f(21)=4为最大值, f(4,2)=-64为最小值 例 的最大值和最小值 解由二=(x+y2+1)-2x(x+y=0,=,=(x2+y2+1)2 (x2+y2+1)-2y(x+y) 0. (x2+y2+1)
5 解方程组 = − − − = = − − − = ( , ) (4 ) 0 ( , ) 2 (4 ) 0 2 2 2 f x y x x y x y f x y x y x y x y y x 得区域 D 内唯一驻点 (2,1) ,且 f (2,1) = 4, 再求 f (x, y) 在 D 边界上的最值 在边界 x = 0 和 y = 0 上 f (x, y) = 0 , 在边界 x + y = 6 上，即 y = 6 − x 于是 ( , ) (6 )( 2) 2 f x y = x − x − , 由 4 ( 6) 2 0 2 f x = x x − + x = , 得 x1 = 0, x2 = 4 6 | 2, y = − x x=4= f (4,2) = −64, 比较后可知 f (2,1) = 4 为最大值, f (4,2) = −64 为最小值. 例 6 求 1 2 2 + + + = x y x y z 的最大值和最小值. 解 由 0, ( 1) ( 1) 2 ( ) 2 2 2 2 2 = + + + + − + = x y x y x x y zx 0, ( 1) ( 1) 2 ( ) 2 2 2 2 2 = + + + + − + = x y x y y x y z y D