派动和波 中7.13简谐振动的描述 国3.简谐振动的描述 科 学(3)复数法 技利用三角函数与复数的关系,简谐振动也可用复数表示 x=Ac (Ot+0) 术 大或 x=aeo 学其中: A=Ae po 杨是复数,称复振幅,它已包含了初位相。但要注意,有 维意义的是(71式的实部。 纮
7.1.3 简谐振动的描述 3. 简谐振动的描述 (3) 复数法 利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数表示 ( ) +0 = i t x Aei t x A e 或 = 0 i 其中： A = Ae 是复数，称复振幅，它已包含了初位相。但要注意，有 意义的是(7.1.15)式的实部。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 7.1.4谐振子的能量 中国科学技术大 国M下面计算简谐振动的能量。振子的坐标和速度为: dx x=AcoS(@t+o) v=-=-Aosin(@ t+o) dt 其中2=k/m 动能: Ek=mv=mosin(@t+o)=kA.-[1-cos 2(@t+Po) 学圆势能 杨V=22)=2e2 +cos2(@t+o) 维机械能: 纮 E=mv+kx2=tn[sin(ot+o)+cos(ot+oo)l=kA 2 2 此式表示简谐振动的机械能是守恒的
7.1.4 谐振子的能量 下面计算简谐振动的能量。振子的坐标和速度为： cos( ) = +0 x A t sin( ) = = − +0 A t dt dx v 其中 k / m 2 = 动能： [1 cos 2( )] 2 1 2 1 sin ( ) 2 2 1 0 2 0 2 2 2 2 = = m t + = k A • − t + A E mv k 势能： [1 cos 2( )] 2 1 2 1 cos ( ) 2 1 2 1 0 2 0 2 2 2 V = k x = k A t + = k A • + t + 机械能： 2 0 2 0 2 2 2 2 2 1 [sin ( ) cos ( )] 2 2 1 2 1 t t k A k A E = mv + k x = + + + = 此式表示简谐振动的机械能是守恒的。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 中国 7.1.4谐振子的能量 由(7117)、(71.18)式可见动能和势能的变化频率都 科)周是原振子振动频率的两倍。不难求出,一个周期内动能、 学國势能的时间平均值都等于总能量的二分之一。 <E> E dt -kA T02 [-cos2(@t+Podt 技术大学杨维 =-E <V>= dt T Jo2 k2·[1+cos2(t+q0)d 2 E
7.1.4 谐振子的能量 由(7.1.17)、(7.1.18)式可见动能和势能的变化频率都 是原振子振动频率的两倍。不难求出，一个周期内动能、 势能的时间平均值都等于总能量的二分之一。 k A t dt T E dt T E T k T k [1 cos 2( )] 2 1 2 1 1 1 0 2 0 0 = = • − + E 2 1 = k A t dt T Vdt T V T T [1 cos 2( )] 2 1 2 1 1 1 0 2 0 0 = = • + + E 2 1 = 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 71.5振动的合成与分解 简谐振动是最简单、最基本的振动,任何 中国科学技术大学杨维 个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的 学圃合成。 1.方向、频率相同,初位相不同的两个简谐 振动的合成 2.方向相同,频率不同的两个简谐振动的合 成 3.方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合 成(二维振动) 4.方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合 成,利萨如图形 5.振动的分解、谐波分析( Fourier分析)
7.1.5 振动的合成与分解 简谐振动是最简单、最基本的振动，任何 一个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的 合成。 1. 方向、频率相同，初位相不同的两个简谐 振动的合成 2. 方向相同，频率不同的两个简谐振动的合 成 3. 方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合 成（二维振动） 4. 方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合 成，利萨如图形 5. 振动的分解、谐波分析（Fourier分析） 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
派动和波 方向、频率相同,初位相不同 的两个简谐振动的合成 设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动, 中国科学技术大学杨维 每个振动的位移与时间关系可表为 x,=A cos(@t+,) x2=42cs(O1+(2) 利用振幅矢量法,由图7.8不 难看出,合运动仍是同频率的简 谐振动,即 x=x+x2=AcoS(@t+o) 图7.8振动合成的 振幅矢量图 LA +A2+2A1A2cos(02-9 tan 0=A sin i t A2 sin p2 A, COS P,+ A, cos 2
1. 方向、频率相同，初位相不同 的两个简谐振动的合 成 设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动， 每个振动的位移与时间关系可表为 = + = + cos( ) cos( ) 2 2 2 1 1 1 x A t x A t 利用振幅矢量法，由图7.8不 难看出，合运动仍是同频率的简 谐振动，即 cos( ) x = x1 + x2 = A t + + + = = + + − 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 cos cos sin sin tan 2 cos( ) A A A A A A A A A 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮