7.2 Boltzmann 统计 1、定位体系的微态数和最概然分布 2、Boltzmann公式的讨论：非定位体系的最概然分布 3、Boltzmann公式的其它形式 4、熵和亥氏自由能的表达式
7.2 Boltzmann 统计 1、定位体系的微态数和最概然分布 2、Boltzmann公式的讨论：非定位体系的最概然分布 3、Boltzmann公式的其它形式 4、熵和亥氏自由能的表达式
1、定位体系的微态数和最概然分布 (1)定位体系的微态数： 一个由N个可区分的独立粒子组成的宏观 体系，在量子化的能级上可以有多种不同的分配 方式。设其中的一种分配方式为： 能级： 一种分配方式： N,N2,.,N
1、定位体系的微态数和最概然分布 一个由 N 个可区分的独立粒子组成的宏观 体系，在量子化的能级上可以有多种不同的分配 方式。设其中的一种分配方式为： 1 2 1 2 i N N Ni 能级： ， ， ， 一种分配方式： ， ， ， （1）定位体系的微态数：
1、定位体系的微态数和最概然分布 这种分配的微态数为： g=C.Cx. N! (N-N)! N!(N-N)!N2!(N-N-N2)! N! N! (1) N I NN! 无论哪种分配都必 分配方式有很多，总的微态数为： 须满足如下两个条件： -84 (2) ∑N,=N (3) ∑Ne,=U (4)
1、定位体系的微态数和最概然分布 这种分配的微态数为： 1 2 ! ! ( ! 1) ! ! i i N N N N N = = 1 2 1 N N i N N N = C C − 1 1 1 2 1 2 ! ( )! !( )! !( )! N N N N N N N N N N − = − − − 分配方式有很多,总的微态数为： ! ! (2) i i i i i N N = = 无论哪种分配都必 须满足如下两个条件： (3) (4) i i i i i N N N U = =
1、定位体系的微态数和最概然分布 （2)定位体系的最概然分布： 每种分配的2值各不相同，但其中有一项最 大值2x,在粒子数足够多的宏观体系中，可 以近似用②，来代表所有的微观数，这就是最 概然分布。 问题在于如何在两个限制条件下，找出一种 合适的分布N,才能使2有极大值，在数学上 就是求(1)式的条件极值的问题。即： N Π 求极值，使∑N,=N,∑Ne,=U
每种分配的 值各不相同，但其中有一项最 大值 ，在粒子数足够多的宏观体系中，可 以近似用 来代表所有的微观数，这就是最 概然分布。 maxmax i , ! i i i i i i i i i N N N N U N = = = 求极值，使 问题在于如何在两个限制条件下，找出一种 合适的分布 ，才能使 有极大值，在数学上 就是求(1)式的条件极值的问题。即： Ni （2）定位体系的最概然分布： 1、定位体系的微态数和最概然分布
1、定位体系的最概然分布 首先用Stiring公式(398页)将阶乘展开，再用 Lagrange乘因子法，求得最概然的分布为： Na =eatBer 式中和B是Lagrange乘因子法中引进的待定因子。 W 用数学方法可求得： e B=-E 或aw=lnN-ln∑e 所以最概然分布公式为： e/kr N! N;=N
首先用Stiring公式（398页）将阶乘展开，再用 Lagrange乘因子法，求得最概然的分布为： 式中 和 是Lagrange乘因子法中引进的待定因子。 i N e i + = ln ln i i N e 或 = − 用数学方法可求得： i i N e e = 1 - kT = / * / i i kT i kT i e N N e − − = max * !i i N! N = 所以最概然分布公式为： 1、定位体系的最概然分布