材料力学教案第33讲教学方案能量法（I）基本1. 功的互等定理与位移互等定理。内2.卡氏定理。容教掌握功的互等定理的推导方法及其应用。学目2掌握位移互等定理的推导方法及其应用。的3掌握卡氏第一定理的推导方法及其应用。4.掌握卡氏第二定理的推导方法及其应用。5：了解虚功原理其应用。1.重点掌握功的互等定理的推导方法及其应用点2重点掌握位移互等定理的推导方法及其应用。难3.要求掌握卡氏第二定理的推导方法及其应用。点4.难点之一是如何正确应用卡氏第二定理5，难点之二是在应用卡氏第二定理时，虚载荷法的应用。本次教学计划学时：2学时。教学课堂讨论：安1.功的互等定理与位移互等定理之间的关系。排2．卡氏第一定理与卡氏第二定理有什么关系，在应用上有什么不同？3.虚功原理有什么用途？
材 料 力 学 教 案 第 33 讲 教学方案 —— 能量法（Ⅱ） 基 本 内 容 1. 功的互等定理与位移互等定理。 2. 卡氏定理。 教 学 目 的 1. 掌握功的互等定理的推导方法及其应用。 2. 掌握位移互等定理的推导方法及其应用 。 3. 掌握卡氏第一定理的推导方法及其应用。 4. 掌握卡氏第二定理的推导方法及其应用。 5． 了解虚功原理其应用。 重 点 、 难 点 1. 重点掌握功的互等定理的推导方法及其应用 。 2. 重点掌握位移互等定理的推导方法及其应用 。 3. 要求掌握卡氏第二定理的推导方法及其应用 。 4. 难点之一是如何正确应用卡氏第二定理 。 5． 难点之二是在应用卡氏第二定理时，虚载荷法的应用。 教 学 安 排 本次教学计划学时：2 学时。 课堂讨论： 1. 功的互等定理与位移互等定理之间的关系。 2. 卡氏第一定理与卡氏第二定理有什么关系，在应用上有什 么不同？ 3. 虚功原理有什么用途？
第三十三讲卡氏定理与莫尔积分有什么关系？在应用时各有什么限4.制?
第 三 十 三 讲 4． 卡氏定理与莫尔积分有什么关系？在应用时各有什么限 制？
学教室513-4互等定理1.功互等定理对于线弹性体（此物体可以代表梁，桁架，框架或其它类型结构），第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功，这就是功互等定理。为证明上述定理，考察如图11-11两组力P，Q作用于线弹性物体所做的功，第一组力有mPm86BarQ0.a图 11-11 功互等定理推导 (6)个载荷Pi，P2，…，Pm，第二组力有n个载荷Oi，Q2，，Qn。第一组力P引起相应位移为pr引起第二组力Q作用点及其方向的位移为80。第二组力Q引起相应位移为，引起第一组力P作用点及其方向的位移为8p。若先将第一组力P;（i=1,2,,m）单独作用，这组力引起其作用点沿该组力作用方向位移为8(i=1,2,,m）（称为相应位移，见图11-11（a))，其所做的功为：1POp+POp2+..+P.opm随后作用上第二组力（=1,2,,n）（图11-11（b)，此时Q在其相应位移8上做功应为10,0+0,00 -O,oon与此同时，因为P,力已存在，且已达到终值，其值不变为常力，P在9,产生P:作用点、P方向上的位移8,做功为Popr+P,op2 +...+Pmopm故先加P后加Q时做功总和为：Upoppoom00o+.0o2++ooo+Popr +P,op2 +..+P.opm将加载次序反过来，先加力Q后加力P，在相应位移上做功为：
材 料 力 学 教 案 §13-4 互等定理 1．功互等定理 对于线弹性体（此物体可以代表梁，桁架，框架或其它类型结构），第一组力在第二组力引 起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功，这就是功互等定理。 为证明上述定理，考察如图 11-11 两组力 P，Q 作用于线弹性物体所做的功，第一组力有 m 个载荷 P1，P2，.，Pm，第二组力有 n 个载荷 Q1，Q2，.，Qn。第一组力 P 引起相应位移为 Pi ， 引起第二组力 Q 作用点及其方向的位移为 Qi 。第二组力 Q 引起相应位移为 ' Qi ，引起第一组力 P 作用点及其方向的位移为 ' Pi 。若先将第一组力 Pi（i=1,2,.,m）单独作用，这组力引起其作 用点沿该组力作用方向位移为 pi (i=1,2,.,m)（称为相应位移，见图 11-11（a）），其所做的功为： P P P P Pm Pm 2 1 2 1 2 1 1 1 + 2 2 ++ 随后作用上第二组力 Qj（j=1,2,.,n）（图 11-11（b）），此时 Qj 在其相应位移 Qj 上做功应为 Q Q Q Q Qn Qn 2 1 2 1 2 1 1 1 + 2 2 ++ 。 与此同时，因为 Pi 力已存在，且已达到终值，其值不变为常力，Pi 在 Qj 产生 Pi 作用点、Pi 方向上的位移 Pi 做功为 P P P P Pm Pm + ++ 1 1 2 2 故先加 P 后加 Q 时做功总和为： U P P P P Pm P m Q Q Q Q Qn Qn 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 = 1 1 + 2 2 ++ + 1 1 + 2 2 ++ P P P P Pm Pm + + ++ 1 1 2 2 将加载次序反过来，先加力 Q 后加力 P，Qj 在相应位移 ' Qi 上做功为：
第1000+0.00+++0.8om再加P(i=1,2"m)力，P,在其相应位移8，做功为：pom+Pop+P.om同时物体上已作用有の且其值不变，Q,在由于P引起的Q,作用点及方向的位移80,上做功为：Q001 +Q,002 +...+Q,0om对此加载顺序，两组力所做的总功为：Upompom.om0oo.+=0,+Q01+Q2002+...+Q.0由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故必有U=U2，从而得功互等定理的表达式为：(13-18)Pop +P,Sp2+...+P.Sm=Q801 +O,0o2 +...+O0on2.位移豆等定理利用（11-18），并设两组力各只有一个力P、,作用于同一物体，则有：P,8"=0,80若P,=Q,，则有0p=00l若将Q引起P，相应位移写成8，将P引起的相应于Q，的位移写成8，则上式又可写成常用的公式0F8.(13-19)此式即为位移互等定理：Pi作用点沿Pi方向由于Q，而引起Rs的位移8，等于，作用点沿，方向由于Pi引起的位移O i.上述互等定理中的力与位移都应理解为广义的，如果力换成力偶，则相应的位移应是转角位移，其推导不变。X=l例题13-4装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁图11-12静不定采如图11-12，试用互等定理求解
第 三 十 三 讲 ' n Qn ' Q ' Q Q Q Q 2 1 2 1 2 1 1 1+ 2 2++ 再加 Pi (i=1,2,.,m)力，Pi 在其相应位移 Pi 做功为： P P P P Pm Pm 2 1 2 1 2 1 1 1 + 2 2 ++ 同时物体上已作用有 Qj 且其值不变，Qj 在由于 Pi 引起的 Qj 作用点及方向的位移 Qj 上做功为： Q1 Q1 + Q2 Q2 ++ Qn Qn 对此加载顺序，两组力所做的总功为： U P P P P Pm Pm 2 1 2 1 2 1 2 = 1 1 + 2 2 ++ Q Q Q Q Qn Qn + + + + 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故必有 U1=U2，从而得功互等定理的 表达式为： P P P P Pm Pm + ++ 1 1 2 2 =Q1 Q1 + Q2 Q2 ++ Qn Qn （13-18） 2．位移互等定理 利用（11-18），并设两组力各只有一个力 Pi、Qj 作用于同一物体，则有： Pi Pi = Qj Qj 若 Pi = Qj ，则有 P1 = Q1 若将 Q j 引起 Pi 相应位移写成 ij ，将 Pi 引起的相应于 Q j 的位移写成 ji ， 则上式又可写成常 用的公式 ij = ji （13-19） 此式即为位移互等定理：Pi 作用点沿 Pi 方向由于 Q j 而引起 的位移 ij ，等于 Q j 作用点沿 Q j 方向由于 Pi 引起的位移 ji。 上述互等定理中的力与位移都应理解为广义的，如果力 换成力偶，则相应的位移应是转角位移，其推导不变。 例题 13-4 装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁 如图 11-12，试用互等定理求解。 + Q1 Q1 + Q2 Q2 ++ Qn Qn
材料力学教察解：解除支座B，把工件看成悬臂梁，将切削力P及顶针反力RB作为第一组力，设想在同一悬臂梁右端作用单位力X=1，作为第二组力。在X-1作用下悬臂梁上的P及RB作用点的相应位移分别为（图11-12(b)13sd =(31 -a),8, =6EI3EI第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为：Pea (1 -a)-Re13P81 -R82 :3EI6EI第一组力作用下，其右端B实际位移为零，所以第二组力在第一组力引起的位移上所做的功等于零。由功互等定理有：Re13ga-=03EIPa?由此解得：R(31 -a)21$13-5卡氏定理1.卡氏第一定理弹性杆件的应变能U(8)对于杆件上与某一载荷相应的位移8（i=1,2,n）的变化率等于该载荷的值，即：oU=P.(13-20)08,以图11-13简支梁为例，其上作用有载荷P1，P2，，P。（广义力），其相应位移为81，82，…，8n（广义位移）。假定载荷P（i-1,2,,n）同时作用，且由同一比例从零加载到终值Pi（i=1,2,"n)。结构的变形能P,ds,等于载荷作用期间所做的功，通过材料的载荷一位移关系每个力P,可表成为其相应位移8,的函数，通过积分求得的变形能是位移8的函数，即U(8.)如果此时某一位移8,有一增量d,，其余位移保持不变，则此时变形能的增量dU为：au -%u do.BP.BPasA1000图11-13简支梁上的广义与广义位移
材 料 力 学 教 案 解：解除支座 B，把工件看成悬臂梁，将切削力 P 及顶针反力 RB 作为第一组力，设想在同 一悬臂梁右端作用单位力 X=1，作为第二组力。在 X=1 作用下悬臂梁上的 P 及 RB 作用点的相应 位移分别为（图 11-12（b）） (3 ) 6 2 1 l a EI a = − , EI l 3 3 2 = 第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为： EI R l l a EI Pa P R B B 3 (3 ) 6 2 3 1 − 2 = − − 第一组力作用下，其右端 B 实际位移为零，所以第二组力在第一组力引起的位移上所做的 功等于零。由功互等定理有： 0 3 (3 ) 6 2 3 − − = EI R l l a EI Pa B 由此解得： (3 ) 2 2 2 l a l P a RB = − §13-5 卡氏定理 1．卡氏第一定理 弹性杆件的应变能 U( i )对于杆件上与某一载荷相应的位移 i （i=1,2,.,n）的变化率等于 该载荷的值，即： i i P U = （13-20） 以图 11-13 简支梁为例，其上作用有载荷 P1，P2，.，Pn（广义力），其相应位移为δ1，δ 2，.，δn（广义位移）。假定载荷 Pi（i=1,2,.,n）同时作用，且由同一比例从零加载到终值 Pi（i=1,2,.,n）。结构的变形能 Pid i 等于载荷作用期间所做的功，通过材料的载荷—位移关系， 每个力 Pi 可表成为其相应位移 i 的函数，通过积分求得的变形能是位移δ的函数，即 ( ) U i 如果此时某—位移 i 有一增量 i d ，其余位移保持不变，则此时变形能的增量 dU 为: i i d U dU =