材料力学教案第34讲教学方案能量法（川）基本内1.图乘法。容教1.掌握单位载荷法与图乘法之间的关系。学目2掌握图乘法的基本原理与推导过程的掌握图乘法的应用条件。34.能够熟练地应用图乘法计算指定截面的位移。5．了解并掌握图乘法的计算与应用技巧：重点掌握单位载荷法与图乘法之间的关系。1.重点2重点掌握图乘法的基本原理与应用条件。难3.要求熟练掌握图乘法的计算方法与计算技巧。点难点是如何正确理解虚功原理。4.5．在解决问题时，有时图乘法非常简单，有时却很麻烦。本次教学计划学时：2学时。教学安排课堂讨论：1．单位载荷法与莫尔积分之间的关系2.虚位移与虚功的基本概念。3.如何理解莫尔积分的另一种推导方法。4.莫尔积分与图乘法的应用条件有什么区别？
材 料 力 学 教 案 第 34 讲 教学方案 —— 能量法（Ⅲ） 基 本 内 容 1. 图乘法。 教 学 目 的 1. 掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。 2. 掌握图乘法的基本原理与推导过程。 3. 掌握图乘法的应用条件。 4. 能够熟练地应用图乘法计算指定截面的位移。 5． 了解并掌握图乘法的计算与应用技巧 。 重 点 、 难 点 1. 重点掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。 2. 重点掌握图乘法的基本原理与应用条件。 3. 要求熟练掌握图乘法的计算方法与计算技巧。 4. 难点是如何正确理解虚功原理。 5． 在解决问题时，有时图乘法非常简单，有时却很麻烦。 教 学 安 排 本次教学计划学时：2 学时。 课堂讨论： 1. 单位载荷法与莫尔积分之间的关系。 2. 虚位移与虚功的基本概念。 3. 如何理解莫尔积分的另一种推导方法。 4．莫尔积分与图乘法的应用条件有什么区别？
讲第+
第 三 十 四 讲
1才料力学教$13-7单位载荷法、莫尔al积分laA单位裁荷法：用于求结构上某一点某方向上位移的方法。如要求图11-18刚架A点a-a方向的位移△，可将该系统（图11-18a）真实位移作为虚位，而将单位力（广义力）作用于同一结构上A点a-a方向的结构作为一个平衡力系（图11-18b)，(b)窗 11-18 单位载荷法则应用虚功原理有：1.= [N(x)d()+[M(x)d0 +[,2(x)da(13-23)其中，N(x)，M(x)，O(x)是单位力系统的内力，而d(△I)，d 、dΛ是原系统的变形，现在被看作是虚变形△是原系统上A点沿a-a方向的真实位移。对于以拉压杆件，则只保留（13-23）式的第一项：(13-24)= [N(x)d()若杆的内力N(x)=常数，则上式改为：A=N[=N对于有n根杆组成的桁架，则有：A-ZNA,(13-25)i=l对于杆以弯曲为主，则可忽略轴力与剪力的影响，有：A=JM(x)do(13-26)仿照上述推导，如要求受扭杆某一截面的扭转角△，则以单位扭矩作用于该截面，并引起扭矩T(x)，以原结构引起微段两端截面相对扭转角dp为虚位移，则：A= [T(x)dp(13-27)以上诸式中。如求出的△为正，则表示原结构位移与所加单位力方向一致。若结构材料是线弹性的，则有：
材 料 力 学 教 案 §13-7 单位载荷法、莫尔 积分 单位载荷法：用于求结构上某一点某 方向上位移的方法。如要求图 11-18 刚架 A 点 a-a 方向的位移△，可将该系统（图 11-18a）真实位移作为虚位移，而将单位 力（广义力）作用于同一结构上 A 点 a-a 方向的结构作为一个平衡力系（图11-18b）, 则应用虚功原理有： = + + l l l 1 N(x)d( l) M(x)d Q(x)d （13-23） 其中， N(x)， M (x) ，Q(x) 是单位力系统的内力，而 d(△l)，dθ、dλ是原系统的变形， 现在被看作是虚变形；△是原系统上 A 点沿 a-a 方向的真实位移。 对于以拉压杆件，则只保留（13-23）式的第一项： = l N(x)d( l) （13-24） 若杆的内力 N(x) =常数，则上式改为： N d l N l l = = 对于有 n 根杆组成的桁架，则有： = = n i i Ni l 1 （13-25） 对于杆以弯曲为主，则可忽略轴力与剪力的影响，有： = l M(x)d （13-26） 仿照上述推导，如要求受扭杆某一截面的扭转角△，则以单位扭矩作用于该截面，并引起扭 矩 T (x) ，以原结构引起微段两端截面相对扭转角 d 为虚位移，则： = l T(x)d （13-27） 以上诸式中。如求出的△为正，则表示原结构位移与所加单位力方向一致。 若结构材料是线弹性的，则有：
讲AArALBAACh图11-19求两点相对移位d(dv))d-d-ddo=EIdx(dx)dx2N,.4l, =(EA),do=TdrGI,则式（13-25）、（13-26）、（13-27）分别化为4=[M(n)M(x)dr(13-28)EIA=ZNN(13-29)台(EA),4=[7(07()dt(13-30)GI,这些式子统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分，显然只适用于线弹性结构。当需要求两点的相对位移时，如图11-19a所示截面A与B的相对位移△,+△B，则只要在A，B两点的联线方向上加一对方向相反的单位力（图11-19b)，然后用单位载荷法计算，即可求得相对位移，因为这时的△=1·△+1-AB，即是A，B两点的相对位移。同理，如需要求两截面相对转角，只要在两截面上加方向相反的一对单位力偶矩即可。莫尔积分还可用另一方法导出：如欲求梁上C点在载荷Pi，P，作用下的位移△（图11-20a），可在C点假想先只有单位力Po=1作用（图11-20b)，由应变能公式（13-12）（对线弹性材料）得Po作用的应变能：PLP2PoTi金人图11-20莫尔积分另一推导方法
第 三 十 四 讲 dx dx dv dx d d = dx EI M x dx dx d v ( ) 2 2 = = i i i i EA N l l ( ) = dx GI T x d ( ) = 则式（13-25）、（13-26）、（13-27）分别化为 = l EI M (x)M (x)dx （13-28） i n i i i i l EA N N = = 1 ( ) （13-29） = l GI T x T x dx ( ) ( ) （13-30） 这些式子统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分，显然只适用于线弹性结构。 当需要求两点的相对位移时，如图 11-19a 所示截面 A 与 B 的相对位移△A+△B，则只要 在 A，B 两点的联线方向上加一对方向相反的单位力（图 11-19b），然后用单位载荷法计算， 即可求得相对位移，因为这时的 =1A +1B ，即是 A，B 两点的相对位移。同理，如 需要求两截面相对转角，只要在两截面上加方向相反的一对单位力偶矩即可。 莫尔积分还可用另一方法导出：如欲求梁上 C 点在载荷 P1，P2，.作用下的位移△（图 11-20a），可在 C 点假想先只有单位力 P0=1 作用（图 11-20b），由应变能公式（13-12）（对 线弹性材料）得 P0 作用的应变能：
材料力学教案U=M(a)adr(13-31)2EIM°(x)dx此后将P，P2，作用于梁（图11-20c)，由于Pi，P2，作用的变形能为U=2EI这时，梁的总变形能为：U, =U+U+1-A其中1.△是因为已作用在梁上的单位力在P，P，…作用后引起的位移△上所做的功。如果将P，Pa，与Po=1共同作用（图11-20c)，则梁内弯矩为M(x)+M(x)，此时应变能为：U.- i()+Mla2EI此两最后状态的应变能相等，故有：lM() + M(ol daU+U+1·A-2EI比较以上诸式，不难得到：4=J M(wM(na(13-32)此即（13-28)。例题13-8图11-21简单桁架，两杆截面积为A，材料应力图11-21简单桁架应变关系为：=C。试求结点B的垂直位移△v解：由结点B的平衡条件可解得BD杆的应力α1、应变8,及伸长N,分别为：p2P219g.=,N, =,61CA'siacosa""CA'sin'a”Asinαcosα同样可求得BE杆的应力2，应变6,及伸长N,分别为p?cos?αP?Icos"αPcosαa92,N,8""CA"sin'aAsin α"C"A’ sin"α
材 料 力 学 教 案 ( ) = EI M x dx U 2 ( ) 2 （13-31） 此后将 P1，P2，.作用于梁（图 11-20c），由于 P1，P2，.作用的变形能为 = l EI M x dx U 2 ( ) 2 。 这时，梁的总变形能为： U1 = U +U +1 其中 1 是因为已作用在梁上的单位力在 P1，P2，.作用后引起的位移△上所做的功。 如果将 P1，P2，.与 P0=1 共同作用（图 11-20c），则梁内弯矩为 M (x) + M (x) ，此时 应变能为： dx EI M x M x U l + = 2 ( ) ( ) 2 1 此两最后状态的应变能相等，故有： U +U +1 dx EI M x M x l + = 2 ( ) ( ) 2 比较以上诸式，不难得到： = l EI M (x)M (x)dx （13-32） 此即（13-28）。 例题 13-8 图 11-21 简单桁架，两杆截面积为 A，材料应力— 应变关系为： 2 1 = C 。试求结点 B 的垂直位移△V。 解：由结点 B 的平衡条件可解得 BD 杆的应力 1 、应变 1 及 伸长 1 l 分别为： sin 1 A P = , 2 2 2 2 2 2 1 1 C A sin P C = = , cos sin cos 2 2 2 2 1 1 C A l P l l = = 同样可求得 BE 杆的应力 2 ，应变 2 及伸长 2 l 分别为： sin cos 2 A P = , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos C A P C = = , 2 2 2 2 2 2 sin cos C A P l l =