武汉大学信息与计算科学系：《数值分析》第八章 一阶常微分方程初值问题的数值方法（8-1）单步法

对于改进的 Euler方法 v=yi+lf(,yi)+f( yi)+hf(xi, yi +f(x,y1),(x1,y)+O() y+f(x1,y)+=[f2(x,y)+f(x,y1)(x,y +O(h)

1 2 2 3 [ ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( )] ( , ) [ ( , ) ( , ) ( , )] 2 ( ). i i i i i i x i i i i y i i i i i x i i i i y i i h y y f x y f x y hf x y hf x y f x y O h h y hf x y f x y f x y f x y O h + = + + + + + = + + + + 对于改进的Euler方法

整体截断误差 对于数值方法 y2y+hp(x1,y2,h)(2) 其整体截断误差为 E1=y(x1)-yn1=y(x1)-[Dy+1(x2y,h)

整体截断误差 1 1 1 1 1 ( , , ),(2) ( ) ( ) [ ( , , )]. i i i i i i i i i i i y y h x y h E y x y y x y h x y h   + + + + + + = − = − + 对于数值方法 = 其整体截断误差为

Th若数值方法(2)的局部截断误差e1=O(h) (即l1|≤Mh),且丑L>0使得 叭(x,yb)-0(x,=,b)≤L|y-2Vy,=∈R 则(2)的整体截断误差满足 L(b-a) Mh i+1 El+

1 1 1 1 ( ) ( ) 1 0 . ( ) 0 ( , , ) ( , , ) , , . [ 1]. p i p i p L b a L b a i Th e O h e Mh L x y h x z h L y z y z R Mh E e E e L   + + + + − − + =    −  −    + − 若数值方法(2)的局部截断误差 截断误差满足 (即 ),且 使得 则(2)的整体

证∷y(x1)=y(x)+h0(x2,y(x,),h)+e1 与(2)相减得到 i+1 i+1 i+1 =y(x1)-y+hy(x1,y(x),h)-(x,y2h)+e1+1 E|≤(1+hD)E|+MWh ≤(1+hL)E1|+[(1+hL)+1MhP ≤(1+hL)|E0+(1+bL)+…+1MW 定理显然得证

1 1, 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( , ( ), ) ( ) ( ) [ ( , ( ), ) ( , , )] . (1 ) (1 ) [(1 ) 1] (1 ) [(1 ) 1] , i i i i i i i i i i i i i i i p i i p i N N p y x y x h x y x h e E y x y y x y h x y x h x y h e E hL E Mh hL E hL Mh hL E hL Mh    + + + + + + + + + − − + = + + = − = − + − +   + +  + + + +   + + + + + 定理显然得证. 证: 与(2)相减得到

812一阶常微分方程初值问题的 Runge-Kut法 考虑一阶常微分方程初值问题 y=f(x,y), a<x<b, y(a)=yo

8.1.2 一阶常微分方程初值问题的 Runge-Kutta方法 考虑一阶常微分方程初值问题 0 ( , ), , ( ) , y f x y a x b y a y   =     =