Eue方法 a=x0<x1<x2<…<x1<xN=b, b-a x;=xo+ jh, h 2.,N. =y(x) yH=y+hf(x,y1)=Q,…,N
一 . Euler方法 0 0 1 ( ), ( , ), 0,1, , 1 i i i i y y x y y hf x y i N + = = + = − 0 1 2 1 0 , , , 1,2, , . N N j a x x x x x b b a x x jh h j N N = = − − = + = =
局部截断误差 对于数值方法 1+1=y+hp(x,y,h), 局部截断误差定义为: ei+1=y(x+1)-[y(x)+hp(x,y(x),h)
局部截断误差 1 1 ( , , ), ( ) [ ( ) ( , ( ), )] i i i i i i i i y y h x y h y x y x h x y x h + + = + i+1 = − + 对于数值方法 局部截断误差定义为: e
Eue方法的局部截断误差 y(x+1)=y(x)+hy(x)+h2y"(), X<:<x i+15 y(id=y()+hf(i,y (xi))+o(h) 1+ O(h2)
Euler方法的局部截断误差 2 1 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ), 2 , ( ) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i y x y x hy x h y x x y x y x hf x y x O h e O h + + + + = + + = + + =
二.改进的Eue方法 因为y(x1)=y(x)+「"f(x,y(x)dh x h ≈[f(x1,y(x)+f(x1+1,y(x1+1)] +1=y+h f(, y) 得到{y+=y+[f(x,y)+f(x 2 i+15i+1 i=0.1∴N-1
二.改进的Euler方法 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ( )) [ ( , ( )) ( , ( ))] 2 ( , ), [ ( , ) ( , ), 2 0,1, , 1 i i x i i x i i i i i i i i i i i i i i y x y x f x y x dx h f x y x f x y x y y hf x y h y y f x y f x y i N + + + + + + + + = + + = + = + + = − 因为 得到
改进的 Euler方法的局部截断误差 f(r,y) y=f+fy=f+f f y(x)=y(x)+bf(x1,y(x)+。[(x,y(x) +f(,,y(,)f(x,,y(x))+o(h)
改进的Euler方法的局部截断误差 2 1 3 ( , ) ( ) ( ) ( , ( )) [ ( , ( )) 2 ( , ( )) ( , ( ))] ( ) x y x y i i i i x i i y i i i i y f x y y f f y f f f h y x y x hf x y x f x y x f x y x f x y x O h + = = + = + = + + + +