(3)变形体的虚功原理 原理的表述: 任何一个处于平衡状态的变形体,当 发生任意一个虚位移时,变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功bW,恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和δW。也即恒有如下虚功方程成立 8W=6
原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立 δWe =δWi （3）变形体的虚功原理
任何一个处于平衡状态的变形体,当发生任意一个虚 位移时,变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δW恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和5W1 变形体虚功原理的证明: b 1.利用变形连续性条件计算 2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和W 所有微段的外力虚功之和W 微段外力分体系外力 微段位移分刚体位移ab→>ab 为两部分相互作用力 为两部分变形位移ab"→ab 微段外力功体系外力功dW微段外力功在刚体位移上的功dW 分为两部分(相互作用力功dWn分为两部分在变形位移上的功H 微段外力功dW=dW+dWn 微段外力功dW=dW+dW 所有微段的外力功之和 所有微段的外力功之和 W=dW+dWn=dW。=5W W=dW=8w 故有bW=6W成立
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。 变形体虚功原理的证明: q(x) 1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力分 为两部分 体系外力 相互作用力 微段外力功 分为两部分 体系外力功dWe 相互作用力功dWn 微段外力功 dW= dWe+dWn 所有微段的外力功之和: W=∫dWe +∫dWn =∫dWe =δWe 2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力功 分为两部分 在刚体位移上的功dWg 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和: W=∫dWi =δWi a b a b 微段位移分 为两部分 刚体位移 变形位移 ab→a b a b→a b 故有δWe =δWi成立。 a b a b b
几个问题: 形体,当发生任意一个虚 平上R凸电h 1.虚功原理里存在两个状态 力状态必须满足平衡条件;位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题。 bbb 1,2.原理的证明表明原理适用于任何(线性和非线性)的 变形体,适用于任何结构。 微板外刀体系外刀 面取们移分「Ⅻ休行移aD→>ab 为3.原理可有两种应用: 微实际待分析的平衡力状态,虚设的协调位移状态,hJW 分 将平衡问题化为几何问题来求解。 dw? 微实际待分析的协调位移状态,虚设的平衡力状态, 所有将位移分析化为平衡问题来求解。 W=dw+dw= dW=ow 诉dv;=o 故有bW=6W成立
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。 变形体虚功原理的证明: q(x) 1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力分 为两部分 体系外力 相互作用力 微段外力功 分为两部分 体系外力功dWe 相互作用力功dWn 微段外力功 dW= dWe+dWn 所有微段的外力功之和: W=∫dWe +∫dWn =∫dWe =δWe 2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力功 分为两部分 在刚体位移上的功dWg 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和: W=∫dWi =δWi a b a b 微段位移分 为两部分 刚体位移 变形位移 ab→a b a b→a b 故有δWe =δWi成立。 a b a b b 几个问题: 1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题。 2. 原理的证明表明:原理适用于任何(线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构。 3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 将位移分析化为平衡问题来求解
(4)变形体虚功方程的展开式 δW;的计算: 214+M 微段外力:N N+dM QA。Q+ao 微段变形可看成由如下几部分组成 50: ds 微段拉伸 Sad s xoyd微段剪切 微段弯曲 对于直杆体系,由于变形互不耦连,有: 6W1=∑[Ne+Q6y+ Molds δWe=Ne+Q8+M6ds
δWi 的计算: δWi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds 微段外力: 微段变形可看成由如下几部分组成: （4）变形体虚功方程的展开式 M M +dM N N +dN Q Q + dQ q ds ds 微段剪切 微段拉伸 ds ds 微段弯曲 对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: δWe =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
四、虚功原理的两种应用 1)虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。 例求A端的支座反力( eaction at supportt直线 B ··· 1 4 ●)● X a 待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态 解:去掉端约束并代以反力X,构造相应的虚位移状态 (1)对静定结构,这里实际用的是刚体虚位移原理,实质上是 实际受力状态的平衡方程 M=O B (2)虚位移与实际力状态无关故可设△x=1 (3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题
四、虚功原理的两种应用 1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。 例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 解：去掉A端约束并代以反力X，构造相应的虚位移状态. A B a C (a) b P X (b) P X C (c) 直线 待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态 由外力虚功总和为零，即： X X + PC = 0 将 X / C = a / b 代入得: X = −bP/ a 通常取 X = 1 = x 单位位移法(Unit-Displacement Method) (1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡方程 (2)虚位移与实际力状态无关,故可设 (3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题MB = 0 x = 1