4=月osa=,c0sa 式中0，=号为横装面上的正应力. 总应力P。是矢量，可将它沿截面的法向和切向分解为两个分量： 正应力。和剪应力t。 。它们为 Pa cosa=o cos2a ta=P.sin a=o cosasn a=sin 2a (c)这就是拉（压）杆斜截面上的正应力計算公式。其中α自杆轴转至 斜截面的外法线，以逆时针为正，顺时针为负。正应力及剪应力的符 号规则同前所述。使用公式时注意连同符号代入运算。 由式(c)可知： 1.o。和t。都是α的函数。即同一点处的应力随过该点的斜截面 的方向不同而改变。 2.当a=0°时，0。=0。，它是0。中的最大值，即杆内任一点处 的最大正应力发生在杆的横截面上。 3。当公=4伊时，，受，它是，中的最大值，即杆内任一点 处的最大剪应力发生在45“斜截面上，其值等于该点处最大正应力的 半。 4.当a=90°时，0。=0，t。=0,即在杆的纵向截面上无应力存 在。 通过以上分析，我们已经清楚地了解了拉（压）杆内任一点处各 个不同方向截面上的应力情况。 我们把通过一点的所有不同方向截面上应力情况的总和称为该点 处的应力状态。由式（©）可知，在所研究的拉（压）杆中，一点处的 应力状态由其横截面上的正应力。即可完全确定，这样的应力状态就 称为单向应力状态
cos cos = = = 0 A P A N p 式中 A P 0 = 为横截面上的正应力。 总应力 p 是矢量，可将它沿截面的法向和切向分解为两个分量： 正应力 和剪应力 。它们为 = = = = = sin 2 2 sin cos sin cos cos 0 0 2 0 p p （c）这就是拉(压)杆斜截面上的正应力計算公式。其中 自杆轴转至 斜截面的外法线，以逆时针为正，顺时针为负。正应力及剪应力的符 号规则同前所述。使用公式时注意连同符号代入运算。 由式（c）可知： 1． 和 都是 的函数。即同一点处的应力随过该点的斜截面 的方向不同而改变。 2．当 = 0 0 时， = 0 ，它是 中的最大值，即杆内任一点处 的最大正应力发生在杆的横截面上。 3．当 = 450 时， = 2 0 ，它是 中的最大值，即杆内任一点 处的最大剪应力发生在 450 斜截面上，其值等于该点处最大正应力的一 半。 4．当 = 900 时， = 0， = 0，即在杆的纵向截面上无应力存 在。 通过以上分析，我们已经清楚地了解了拉（压）杆内任一点处各 个不同方向截面上的应力情况。 我们把通过一点的所有不同方向截面上应力情况的总和称为该点 处的应力状态。由式（c）可知，在所研究的拉（压）杆中，一点处的 应力状态由其横截面上的正应力 0 即可完全确定，这样的应力状态就 称为单向应力状态
2.4拉（压）杆的变形·虎克定律 “、拉（压）杆的变形 1.纵向变形 拉（压）杆的原长为L,受力变形后其长度变为L,则杆的绝对 伸长为 △L=L1-L 绝对线变形△L的大小与原长度有关。为了更好地说明杆件变形 的程度，引进相对线变形 E=AL B B -x -△x -△x+△62 式中￡一相对线变形，是一个无量纲的量，表示单位长度的纵向变 形（当沿杆长度均匀变形时），常称为纵向线应变，简称为线应变。当 6为正时，对应于拉伸，称为拉应变：当￡为负时，对应于压缩，称 为压应变。 当沿杆长度为非均匀变形时， 6,=mA 2.横向变形 拉（压）杆在纵向变形的同时产生横向变形。设杆的原有横向尺 寸为d,受力变形后变为d山，故其横向变形为 △d=-d 在均匀变形情况下，其相应的横向线应变为 6'=Ad d 由于压杆的△d与其△L的符号向反，故横向线应变￡'与纵向线应变E
2.4 拉（压）杆的变形·虎克定律 一、拉（压）杆的变形 1．纵向变形 拉（压）杆的原长为 L，受力变形后其长度变为 L1，则杆的绝对 伸长为 P P L1 L d1 d ΔL = L1-L 绝对线变形ΔL 的大小与原长度有关。为了更好地说明杆件变形 的程度，引进相对线变形 L L = + A B B' 式中 ──相对线变形，是一个无量纲的量，表示单位长度的纵向变 形（当沿杆长度均匀变形时），常称为纵向线应变，简称为线应变。当 为正时，对应于拉伸，称为拉应变；当 为负时，对应于压缩，称 为压应变。 当沿杆长度为非均匀变形时， dx d x x x x x = = →0 lim 2．横向变形 拉（压）杆在纵向变形的同时产生横向变形。设杆的原有横向尺 寸为 d，受力变形后变为 d1，故其横向变形为 Δd = d1 - d 在均匀变形情况下，其相应的横向线应变为 d d = 由于压杆的Δd 与其ΔL 的符号向反，故横向线应变 与纵向线应变
的正负号相反。 二、虎克定律 对工程中常用的材料，经大量的实验表明，当杆内的应力不超过 材料的某一极限（比例极限）时，力与变形之间存在以下关系 AL PL A 引进比例常数E,则 PL NL AL-EAEA ()式中的比例常数E称为弹性模量，它表示材料在拉伸或压缩时抵 抗弹性变形的能力，其量纲为[力]/[长度]，单位为帕。E的数值随材 料而异，是通过实验测定的。 EA称为杆的抗拉（抗压）刚度，对于长度相等且受力相同的拉（压 杆，其抗拉（压）刚度越大，则杆件的变形越小。 以。=N/A和s=△LL代入(a)式，则得 (b)式()与式(b)是虎克定律的两种不同的表达方式。前者是为 杆的，只适用于受轴向外力的杆件。后者是针对杆中一点的，而拉（压） 杆中任一点的应力状态是单向应力状态，所以，凡是单向应力状态 式(b)均适用。 实验结果还表明，当拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限 时， 周 或改写为 E'=-g 式中负号表示'与ε的正负号恒相反。称为横向变形系数或泊松比， 是一个无量纲的量，其数值随材料而异，也是通过实验测定的。 2.5拉（压）杆内的应变能 一、应变能 弹性体在受力后要发生变形，同时弹性体内将积蓄能量。这种因 弹性变形而积蓄在弹性体内的能量，称为“弹性应变能”或简称为“应 变能”。略去其它微小的能量损耗不计，可以证明应变能在数值上等于 外力对弹性体所作的功。 U=W
的正负号相反。 二、虎克定律 对工程中常用的材料，经大量的实验表明，当杆内的应力不超过 材料的某一极限（比例极限）时，力与变形之间存在以下关系: A PL L 引 进 比 例 常 数 E ， 则 EA NL EA PL L = = （a）式中的比例常数 E 称为弹性模量，它表示材料在拉伸或压缩时抵 抗弹性变形的能力，其量纲为[力]/[长度] 2，单位为帕。E 的数值随材 料而异，是通过实验测定的。 EA 称为杆的抗拉（抗压）刚度，对于长度相等且受力相同的拉（压） 杆，其抗拉（压）刚度越大，则杆件的变形越小。 以 = N A 和 = L L 代入（a）式，则得 E = （b）式（a）与式（b）是虎克定律的两种不同的表达方式。前者是对 杆的，只适用于受轴向外力的杆件。后者是针对杆中一点的，而拉（压） 杆中任一点的应力状态是单向应力状态，所以，凡是单向应力状态， 式（b）均适用。 实验结果还表明，当拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限 时， ＝ 或改写为 = − 式中负号表示 与 的正负号恒相反。 称为横向变形系数或泊松比， 是一个无量纲的量，其数值随材料而异，也是通过实验测定的。 2.5 拉（压）杆内的应变能 一、应变能 弹性体在受力后要发生变形，同时弹性体内将积蓄能量。这种因 弹性变形而积蓄在弹性体内的能量，称为“弹性应变能”或简称为“应 变能”。略去其它微小的能量损耗不计，可以证明应变能在数值上等于 外力对弹性体所作的功。 U = W
AL -△L 应变能U的单位为焦耳，符号为J,1J=1Nm。 在荷载P的作用下，杆伸长了△L,这也是荷载作用点的位移。由 于在弹性变形范围内，P与△L成线性关系，因此，P力对此位移所作 的功可由图中的三角形面积来计算。即 W-TP-AL 积蓄在杆内的应变能为 U-TP-AL-IN.AL-L-N 二、比 单位体积内的应变能，称为比能，用u表示 PAL - 1 u= 2E 比能的单位用Jm表示。 以上计算拉杆内应变能的各公式也适用于压杆。而上式则普遍适 用于所有的单向应力状态。 这里必须指出，应变能的概念只适用于弹性变形，而不适用于塑 性变形，即不能从拉伸图直线阶段的三角形面积推广到拉伸图的全部 面积。但是，拉伸图的全部面积可以代表拉（压）杆的破坏功，这个 面积越大，则使拉（压）杆破坏所需的功就越大，因而这一拉（压） 杆抵抗冲击的能力就越强。 2.6材料在拉伸和压缩时的力学性能 一、材料的拉伸和压缩试验 1.拉伸试件 L=10d或L=5d (圆 形截面)
O P L L P 应变能 U 的单位为焦耳，符号为 J，1J = 1N·m。 在荷载 P 的作用下，杆伸长了ΔL，这也是荷载作用点的位移。由 于在弹性变形范围内，P 与ΔL 成线性关系，因此，P 力对此位移所作 的功可由图中的三角形面积来计算。即 W = P L 2 1 积蓄在杆内的应变能为 2 2 2 2 2 1 2 1 L L EA EA N L U = P L = N L = = 二、比能 单位体积内的应变能，称为比能，用 u 表示 E E AL P L V U u 2 2 1 2 2 1 1 2 2 = = = = = 比能的单位用 J/m3 表示。 以上计算拉杆内应变能的各公式也适用于压杆。而上式则普遍适 用于所有的单向应力状态。 这里必须指出，应变能的概念只适用于弹性变形，而不适用于塑 性变形，即不能从拉伸图直线阶段的三角形面积推广到拉伸图的全部 面积。但是，拉伸图的全部面积可以代表拉（压）杆的破坏功，这个 面积越大，则使拉（压）杆破坏所需的功就越大，因而这一拉（压） 杆抵抗冲击的能力就越强。 2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 一、材料的拉伸和压缩试验 1．拉伸试件 L = 10d 或 L = 5d （圆 形截面）
L=11.3A或L=5.65√A (矩形 截面) 式中A为矩形截面的面积。 2.压缩试件 L/d或L/b规定为1~3. 3.主要设备 一是加力、测力的机器，通常采用万能试验机，也可用拉力机或 压力机：一是测量变形的仪器，通常采用的有杠杆变形仪、镜式引伸 仪、电阻应变仪等。 4.试验条件：常温、静载 二、低碳钢试件的拉伸图及其力学性能 低碳钢是工程上使用广泛、用量最大的一种钢材，它的力学性能 有较大的代表性，所以我们首先来讨论这种材料。 1.拉伸图 一般万能试验机上备有自动绘图设备，可以绘出试件在试验过程 中工作段的伸长和荷载间的关系曲线，此曲线通常以横坐标代表试 工作段的伸长量△L,而以纵坐标代表万能试验机上的荷载P,习惯上 称为试件的拉伸图。 由图可见，低碳纲在整个拉伸试验过程中，其工作段的伸长量与 荷载间的关系大致可分为以下四个阶段
L =11.3 A 或 L = 5.65 A （矩形 截面） 式中 A 为矩形截面的面积。 2．压缩试件 L/d 或 L/b 规定为 1~3。 d L L b b 3．主要设备 一是加力、测力的机器，通常采用万能试验机，也可用拉力机或 压力机；一是测量变形的仪器，通常采用的有杠杆变形仪、镜式引伸 仪、电阻应变仪等。 4．试验条件：常温、静载。 二、低碳钢试件的拉伸图及其力学性能 低碳钢是工程上使用广泛、用量最大的一种钢材，它的力学性能 有较大的代表性，所以我们首先来讨论这种材料。 1． 拉伸图 一般万能试验机上备有自动绘图设备，可以绘出试件在试验过程 中工作段的伸长和荷载间的关系曲线，此曲线通常以横坐标代表试件 工作段的伸长量ΔL，而以纵坐标代表万能试验机上的荷载 P，习惯上 称为试件的拉伸图。 由图可见，低碳纲在整个拉伸试验过程中，其工作段的伸长量与 荷载间的关系大致可分为以下四个阶段