设<A*>是一个代数系统,且集合A中元素 个数大于1,则如果该系统存在幺元和零 元,则幺元不等于零元。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 设<A,*>是一个代数系统，且集合A中元素 个数大于1，则如果该系统存在幺元和零 元，则幺元不等于零元
运算及其性质 定义设“*”是集合A上的二元运算,e是<A,*的 幺元,对a∈A,若彐b∈A,使得: a*b=e,则称b为a关于运算“*”右逆元, b*a=e,则称b为a关于运算“*”左逆元, a*b=b*a=e,称b为a关于运算“*”的逆元,a也称 为可逆的,记为a-1(同样,a也为b关于运算“米”的 逆元,b也称为可逆的,记为b1); Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 运算及其性质 定义 设“*”是集合A上的二元运算，e是<A,*>的 幺元，对aA，若bA，使得： ▪ a*b＝e， 则称b为a关于运算“*”右逆元， ▪ b*a＝e， 则称b为a关于运算“*”左逆元， ▪ a*b＝b*a＝e，称b为a关于运算“*”的逆元，a也称 为可逆的，记为a -1(同样，a也为b关于运算“*”的 逆元，b也称为可逆的，记为b -1)；
运算及其性质 1)设有代数系统<R,+>,“0是该代数系统的幺元。对 va∈R,都彐a=-a,使得:a+a1=a+(-a)=a-1+a= (-a)+a=0, 所以“-a”是“a”的逆元; 2)设有代数系统<R,×>,“1”是该代数系统的么元。对 Va∈R且a≠0,都彐a=1/a,使得:a×a-1=a×(1/a) a1×a=(1/a)×a=0,所以“1/a”是“a”的逆元,而a =0无乘法逆元。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 运算及其性质 例： 1) 设有代数系统<R,+>， “0”是该代数系统的幺元。对 aR，都a＝−a，使得：a+a-1＝a+(−a)＝a -1+a＝ (−a)+a＝0， 所以“−a ”是“a ”的逆元； 2) 设有代数系统<R,×>， “1”是该代数系统的幺元。对 aR且a0，都a＝1/a，使得：a×a -1＝a×(1/a)＝ a -1×a＝(1/a)×a＝0，所以“1/a”是“a ”的逆元，而a ＝0无乘法逆元
5.2运算及其性质 定理:设代数系统<A*>这里如果*是定 个在A上的一个二元运算,且A中存在 幺元,且每一个元素都有左逆元,如果* 是可结合的运算,则该代数系统中每个 元素的左逆元是其右逆元,且每个元素 的逆元是唯一的。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 5.2 运算及其性质 定理：设代数系统<A,*>,这里如果*是定 一个在A上的一个二元运算，且A中存在 幺元，且每一个元素都有左逆元，如果* 是可结合的运算，则该代数系统中每个 元素的左逆元是其右逆元，且每个元素 的逆元是唯一的
从运算表中看代数系统的性质 运算*具有封闭性,当且仅当运算表中每 个元素都属于A。 运算*具有交换性,则当且仅当运算表关 于住对角线元素是对称的。 运算*具有等幂性,当且仅当运算表中主 对角线上的每一个元素都和它所在的行 (列)的首元素相同 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 从运算表中看代数系统的性质 运算*具有封闭性，当且仅当运算表中每 个元素都属于A。 运算*具有交换性，则当且仅当运算表关 于住对角线元素是对称的。 运算*具有等幂性，当且仅当运算表中主 对角线上的每一个元素都和它所在的行 （列）的首元素相同