第五章代数系统 代数系统的基本概念和基本性质 群论 同态与同构 今环与域 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn ❖ 代数系统的基本概念和基本性质 ❖ 群论 ❖ 同态与同构 ❖ 环与域
5-1代数系统的引入 定义:对于集合A,一个从An→B的映射 称集合A上的一个n元运算。 定义:一个非空集合A连同若干个定义在该 集合的运算f1,f2,…,f所组成的系统 称为一个代数系统,记作<A,f1,f2,… f1>。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 5-1 代数系统的引入 定义:对于集合A，一个从A n→B的映射， 称集合A上的一个n元运算。 定义:一个非空集合A连同若干个定义在该 集合的运算f1,f2,…, fk所组成的系统， 称为一个代数系统，记作<A, f1,f2,…, fk>
定义:设A是一个非空集合,A到B的一个 映射(或函数)f:An→B,若BcA,则称映 射f关于集合A是封闭的(或称A对f是封闭 的)。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 定义:设A是一个非空集合，An到B的一个 映射(或函数) f：An→B，若BA，则称映 射f关于集合A是封闭的(或称A对f是封闭 的)
代数系统的引入 在实数集R上的每个数A≠0影射成它的倒数1/A R上的每个数Y变成[Y。 R上的任意两个数A,B,变成A+B或AXB。 R上的任意三个数X,Y,Z,变成R中的一个数,即进 行:IFⅩ THEN Y ELSE Z 上述运算都是集合R上封闭的运算。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 代数系统的引入 例： • 在实数集R上的每个数A≠0影射成它的倒数1/A。 • R上的每个数Y变成[Y]。 • R上的任意两个数A，B，变成A+B或A×B。 • R上的任意三个数X，Y，Z，变成R中的一个数，即进 行：IF X THEN Y ELSE Z。 上述运算都是集合R上封闭的运算
代数系统的引入 1)在正整数集I上,定义减法运算,则不封闭 2)如一架自动售货机,能接受一角和二角五分硬币,而 所对应的商品是橘子水、冰淇淋,当人们投入上述硬 币的任何两枚时,自动售货机供应出相应的商品 角 二角五 角 橘子水 可口可乐 二角五可口可乐 冰淇淋 此时,集合A中的元素经自动售货机变成B上的元素。 3)I上的元素A的倒数1/A不属于I 上述这些运算都不是封闭的。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 代数系统的引入 1) 在正整数集I+上，定义减法运算，则不封闭。 2) 如一架自动售货机，能接受一角和二角五分硬币，而 所对应的商品是橘子水、冰淇淋，当人们投入上述硬 币的任何两枚时，自动售货机供应出相应的商品。 一角 二角五 一角 橘子水 可口可乐 二角五 可口可乐 冰淇淋 此时，集合A中的元素经自动售货机变成B上的元素。 3) I上的元素A的倒数1/A不属于I。 上述这些运算都不是封闭的