代数系统的引入 1)I+与I上的“+运算可构成一个代数系统<I+, 2)R上的“+”、“×”运算可构成一个代数系统<R, +,X>; 3)P(S)及P(S)上的“∩”、“∪”、“一”运算 可构成一个代数系统<P(S),∩,U,一>,称之 为集合代数; 个含有n个命题变元的命题的集合A与A上的 “∧”、“∨”、“-”可构成一个代数系统 <A,∧,∨,η>,称之为命题代数。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 代数系统的引入 1) I+与I+上的“+”运算可构成一个代数系统<I+， +>； 2) R上的“+” 、 “×”运算可构成一个代数系统<R， +，×>； 3) P(S)及P(S)上的“∩” 、 “∪” 、 “―”运算 可构成一个代数系统<P(S),∩,∪,―>，称之 为集合代数； 4) 一个含有n个命题变元的命题的集合A与A上的 “∧” 、 “∨” 、 “ ┐ ”可构成一个代数系统 <A，∧，∨，┐>，称之为命题代数
5-2运算及其性质 定义设“*”是集合A上的二元运算,<A,* 是一个代数系统,对a,b,c∈A, 1)若a*b∈A,则称运算“*”是集合A上是封闭的。 2)若a*b=b*a,则称运算“*”是集合A上的可交换 的或称运算“*”在A上满足交换律。 3)若(a*b)*C=a*(b米c),则称运算“*”是集合A上 的可结合的或称运算“米”在A上满足结合律 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 5-2运算及其性质 定义 设“*”是集合A上的二元运算，<A,*> 是一个代数系统，对a,b,cA， 1) 若a*b A ，则称运算“*”是集合A上是封闭的。 2) 若a*b＝b*a，则称运算“*”是集合A上的可交换 的或称运算“*”在A上满足交换律。 3) 若(a*b)*c＝a*(b*c)，则称运算“*”是集合A上 的可结合的或称运算“*”在A上满足结合律
运算及其性质 定律设“*”、“0”是集合A上的两个二元运算, 对va,b,c∈A 1)若ao(a*b)=aa*(aob)=a,则称运算“米” 与“o”在A上满足吸收律 2)若ao(b*C)=(aob)*(aoc),则称运算“o”对 “*”在A上满足左分配律(或第一分配律) 3)若(b*c)oa=(boa)*(coa),则称运算“o”对 “米”在A上满足右分配律(或第二分配律)。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 运算及其性质 定律 设“*” 、 “о”是集合A上的两个二元运算， 对a,b,cA 1) 若aо(a*b)＝a a*(aоb)＝a，则称运算“*” 与“о”在A上满足吸收律。 2) 若aо(b*c)＝(aоb)*(aоc)，则称运算“о”对 “*”在A上满足左分配律(或第一分配律)； 3) 若(b*c)оa＝(bоa)*(cоa)，则称运算“о”对 “*”在A上满足右分配律(或第二分配律)
运算及其性质 义设“*”是集合A上的二元运算,若彐a∈A,有: a*a=a,则称a为A上的幂等元。若A中的一切元素 都是幂等元,则称运算“*”在A上满足幂等律。 例:设有代数系统<P(S),∩,U>,对X∈P(S),都 有:X∩x=X,X∪X=X,所以,“∩”,“∪”在 P(S)上满足幂等律 例:设有代数系统<R,+,×>,对0,1∈R,有:0+0 0,1×1=1,所以,R中仅有0,1分别是关于 “+”,“×”的幂等元;“+”,“×”在R上不满足幂 等律。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 运算及其性质 定义 设“*”是集合A上的二元运算，若aA，有： a*a＝a，则称a为A上的幂等元。若A中的一切元素 都是幂等元，则称运算“*”在A上满足幂等律。 例：设有代数系统<P(S)，∩，∪>，对XP(S)，都 有：X∩X＝X，X∪X＝X，所以，“∩” ， “∪”在 P(S)上满足幂等律。 例：设有代数系统<R，+，×>，对0，1R，有：0+0 ＝0，1×1＝1，所以，R中仅有0，1分别是关于 “+” ， “×”的幂等元；“+” ， “×”在R上不满足幂 等律
运算及其性质 定义设“*”是集合A上的二元运算,若彐e∈A,使 得对a∈A,都有: 1)*e=a,则称e为运算“米”关于A的右幺元,又 记为en; 2)e*a=a,则称e为运算“*”关于A的左幺元,又 记为e1 3)a*e=ea=a,则称e为运算“米”关于A的幺元; Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 运算及其性质 定义 设“*”是集合A上的二元运算，若eA，使 得对aA，都有： 1) a*e＝a，则称e为运算“*”关于A的右幺元，又 记为er； 2) e*a＝a，则称e为运算“*”关于A的左幺元，又 记为el。 3) a*e＝e*a＝a，则称e为运算“*”关于A的幺元；