猪論实数 §1.有理数域 1.前言讀者对于有理数及其性質,从中学的教材内便很熟悉 了。在那时,初等数学的要求,已趋向于必需扩大数的傾域。的确,在 有理数中旬使是正整数(自然数)的根,例如2,也常常井不存在。就 是說,#沒有这样的有理数q式史P及自然数)其不友態簑 于2 为了征明,試假定其反面:設有分数,其不方(2)=2我 們可以假設是既豹分数郎P和q是沒有公約数的。因p2=292,故 P为偶数:p=2r(7一整数),于是q为奇数。用P的式子代入,得: q2=2r2,由此推得q为偶数。所得的矛盾便誑明了我們的命題 同时,若我們仅停留在有理数的范图内,那末在几何学上便已显然 知道,并非一切的穀段都能有一个長度。例如考察边長为罩位長度的 正方形,其对角機就不可熊有有理長度q,因若不然,依里达哥拉定 理,这長度的方应等于2,而我們已看到这是不可能的。 在本緒論内,我們要做这样一件工作:在有理数域中添上新的数 无理数,以扩大有理数域的范園。同时,我們要証明,对有理数施 行算术运算及用等号、不等号精合它們等普通性質,在扩大的傾城內仍 然是实的。为着要对扩大后的数域来驗証上逑性質,需选出为数最 少的基本性質,使其余的一切性質都能作为形式逊輯的精果而从之推 出:所要驗誑的便仅限于这些基本性質了。 因此,我們列举有理数城的下列一些基本性質。同时我們将用一 博士家园论坛流星 一兀
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精論实数 些例子来証明,它們的另些众所周知的性質是怎样从基本性質推导 出来的。我們这里所說的“数”,总是指的有迎数,用字母a,b…等来表 示它們 2.有理数城的順序首先釀我們約定:所謂相等的数就是同一数 的各种不同形式。換啻之,相等(=)的概念郎指“恒等”。因此,我們 不再列举相等的数的性質 有理数域的顺序得自“大于>)的概念,与之有关的是第一斜性 質 I1°每一对数a与b之間必有且仅有下列关系之一 >b, a<b 12《>b及b推得a>以>的停遞性 13若《則必能求得一数c使 a>,且e>b④ (稠密性)。 “小于<)的概念作为派生的而引入。說a<b,当且仅当b>a 时。显而易見,由a<b及b<9,即得<<的傅遞性)。突則,由假 設,不等式a<b及b<c,相当于不等式b>a及c>b;由此推得c>a I),或a<c 在对有理数施行算术运算时所要牵涉到的“大于”这一概念的其他 性,将在以后随时指出之。 3.有理数的加法及减法第二粗性質是关于加法的,郎关于求两 数之和的运算的。对于每一对数话及b,存在着一个(唯一的)数,被称 为及b的和記成a+b)。这概念具有下列的性質: II1°a+b=b+a加法的交换性) I2(a+b)+c=a+(b+c)(加法的精食性 ①在这条件下也說成:数c位于数与b之同;显然,这样的数有无限个之多。 博士家园论坛流星
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§1,有理数城 8 这个数比較特殊,它具有下列特性: Ⅱ3°a+0=c; 此外, I4对每数a存在着(与它对称的)数一使a+(-“)=0 在这些性質的基础上,首先解决加法的逆运算即减法的周題。通 常称使e+b=a④的数c为数a及b的差,假若如此,便發生这样的数 的存在及其唯一性的問題 設c=4+(-b),則得LIL2°,1°,4°,3°1: e+b=[n+(-b)]+b=a+[(-b)+b]→a+[b+(-b)]=a+0=, 因此,这c满足于差的定义 反之,合c'为数a及b的差,則有c+b=a。在这等式两边各加 (一b),井变換其左边[I2°,4°,30]: (c+b)+(-b)=c+[b+(-6)]=c+0=c 秸果得c'=a+(一b)=c 这样,就誑明了数a及b的差的存在及罩值性;把它說成a-b 由差的單個性可以推得一系列的推論。首先,由Ⅱ3°推得 0=a一a,因而得出精論:除去数0以外,具有相似于Ⅱ3°的性質的数 不存在。其女,由此推得与所耠数对称的数的唯一性:-a=0-a。 因为由a+(一a)=0可推得(-a)+=0I,所以a=-(-a), 郎数α及一a为互相对称的数。我們再来証明对称数滿足下蓮性質: a+b)=(-a)+(-b 为此,只須証明 (a+b)+[(-a)+(-b=0, 而这由I1°,2°,4°3,便可推得。 最后,再引进联系>与加号的一个性質。 5°以a>推得m+b+C。 ①依I1定义姜的这个等式可写成:b十《= 博士家园论坛流星
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精論实数 它使我們得以在不等式的两边各加上一个等量;用它又可明两 不等式 b和 是相当的。其次,由a>b推得-a<一b。实則,由a>b引致a→b>0; 但a-b=c+(-b)=(-b)+a=(一b)+[-(一0]=(-b)一(一a), 因此这不等式可改写成:(一6)-(-a)>0,由此一b>-a或一a<-b。 特別是,由a>0推得一a<0,由a<0推得一a>0若=0,則在 两个互相对称的数a及一中必有一个(且仅一个)将大于0;它即称 为数a或数一a的粞对值,成 需的触对值就定为零:10=0 根据性質Ⅱ5°,可以逐項地合并不等式:由a>b及c>d推得 a+c>b十d。实因,由a>b推得a+c>b+;伤此,由c>推得 e+b>d+b,或[I1°j+以>b+以然后由I2°,最后郎得a+c>b+d。 4.有理数的乘法及除法第三租性質是关于乘法的,郎关于求两 数之乘积的运算的。对于每一对数a及b存在着一个(唯一的)数,被 称为及b的乘积(肥成a6或ab)。这概念具有下列性貿: mI°ab=ba(乘法的交換性); 2(ab)=a(b(乘法的精食性 壹这个数比較持殊,它具有下列特性: III3°Gl口; 此外, m4°独于每异于9的数2必有数a(共倒数)使 关于除法的問題,作为乘法的逆运算,亦可根据乘法的性贺来解 决,正如前面根据加法的件質来解决关于减法的間題一样。倒数在这 里的作用正如对称数在那里的作用一样。 如果一数c滿足关系 博士家园论坛流星
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§1.有惠教城 b=a① 其中b常預先假定异于0),則c称为a及b的商。 合·〓古,就可以滿足这定义。因[II2°,1°,4,3°3: c·b= 6=a. 6 反之,若数c滿足数a及b的商的定义,于是cb=a則在这等式 两边乘以b,并变換左边[I2,4°,3°: (),b-(·÷)=1= 就得到d=a 这样就証明了数a及設b0)的商的存在及單值性;把它記成 a:b或 b 由商的罩值性可知,除了I以外,再沒有什么数能具有类似于 I3°的性質。由此,如前所邐,推得倒数(看成1及a的商)的唯 性;此外,容易証明数a及是互为倒数 下列性質与算术的基本运算——加法及乘法双方都有关系: II5°(a+b)c=a+b(乘法关于和的分配性。 由此很易导出关于乘法关于差的分配性: (a-b)·c=a-b. 依差的定义,这可以值接由下式推出 (a-b)+bc=[(a-b)+6]c=a0 再应用性質Ⅲ6°,可証 b0=0b=0 实因Cm3。 a+0=0,(a+0)b=a·6+0b=ab, ①II定义商的这个等式也可写成:b。=a 博士家园论坛流星
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