四、已知函数y=e-bex+x-1,其中a,b为任意常 数,试求函数所满足的微分方程 上页
四、已知函数 = − + − 1 − y ae be x x x ,其中a , b为任意常 数,试求函数所满足的微分方程
练习题答案 1、3;2、2;3、1;4、2. 二 2 2 广三、yy+2x=0 四、y"-y=1-x. 上页
练习题答案 一、1、3； 2、2； 3、1； 4、2. 二、 . 2 1, 1 2 C = C = 三、yy + 2x = 0. 四、y − y = 1− x
庄一可分离变量的微分方程 g(y)h=∫(x)d可分离变量的微分方程 生例如=2xyy=2 解法设函数g(y)和∫(x)是连续的, 工工工 g(y)dy=l f(x)dx 分离变量法 设函数G()和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函 数,G(y)=F(x)+C为微分方程的解 王页下
一、可分离变量的微分方程 g( y)dy = f (x)dx 可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4 y dy = x dx − 解法 设函数g( y)和 f (x)是连续的, g( y)dy = f (x)dx 设函数G( y)和F(x)是依次为g( y)和f (x) 的原函 数, G( y) = F(x) + C 为微分方程的解. 分离变量法
二、典型例题 例求解微分方程=2x的通解 解分离变量=2xx, 两端积∫2x Iny=x +Cl y=cex为所求通解 上页
例1 求解微分方程 2xy的通解. dx dy = 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 , = xdx y dy 1 2 ln y = x + C . 2 y = ce x 为所求通解 二、典型例题
生例2求方程(y)y+8()x=0通解 解令Ⅱ=,则Ⅶ=xd+ydx, ∫(u)ydhx+g()x t-ydx≥0, lf(u)-(uld+g(udu=0, dx g(u) x ulf(u-g(u)l du=0, 通解为lmx|+ g(u) nf()-8/d"=C. 上页
例2 求方程 f (xy) ydx + g(xy)xdy = 0 通解. 令u = xy, 则du = xdy + ydx, ( ) ( ) = 0, − + x du ydx f u ydx g u x [ ( ) − ( )] dx + g(u)du = 0, x u f u g u 0, [ ( ) ( )] ( ) = − + du u f u g u g u x dx . [ ( ) ( )] ( ) ln | | du C u f u g u g u x = − + 通解为 解