分类3:线性与非线性微分方程 y'+P(x)y=o(x), x(y)=2yy'+x=0; 王分类4单个微分方程与微分方程组 「p=3y-23, dx d d r<y- Z, 上页
分类3: 线性与非线性微分方程. y + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0; 2 x y − yy + x = 分类4: 单个微分方程与微分方程组. = − = − 2 , 3 2 , y z dx dz y z dx dy
生三、主要问题 求方程的解 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之 王设=qx在区间/上有n阶导数, 工工工 F(x,p(x),p'(x),…,((x)=0. 微分方程的解的分类: (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同. 上页
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x x x x = n 微分方程的解的分类： 三、主要问题-----求方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同
例y'=y,通解y= ce y"+y=0,通解y=c1sinx+c2cosx; (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象:微分方程的积分曲线 通解的图象:积分曲线族 初始条件:用来确定任意常数的条件 上页
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例 y = y, ; x 通解 y = ce y + y = 0, sin cos ; 通解 y = c1 x + c2 x 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件
初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题 一阶: y=∫(x,y) VeX =yo 过定点的积分曲线; 「y”=f(x,y,y') 二阶 x=c J 05x=x 0 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 上页
过定点的积分曲线; = = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶: = = = = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题
例3验证:函数x=c1cos+c2sinM是微分 方程+k2x=0的解.并求满足初始条件 d 0 =A,=0的特解 dt t=0 解 -kCi sin kt+kC, cos kt, 工工工 dt d=x__kiC cos kt-k c2 sin ht t 2 将2和x的表达式代入原方程, dt 上页
例 3 验证:函数x c cos kt c sinkt = 1 + 2 是微分 方程 0 2 2 2 + k x = dt d x 的解. 并求满足初始条件 , 0 0 0 = = = = t t dt dx x A 的特解. 解 sin cos , kC1 kt kC2 kt dt dx = − + cos sin , 2 2 1 2 2 2 k C kt k C kt dt d x = − − , 2 2 将 和x的表达式代入原方程 dt d x