ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 主 被可见,周期信号的频谱是对应的非周期信号频 师 王阀谱的样本;而非周期信号的频谱是对应的周期信 鸿 霞森 副教 号频谱的包络。 教授 授 二.傅立叶变换的收敛 既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶 级数表示出发,讨论周期趋于无穷大时的极限得 来的,傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级 数的收敛相一致
可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号频 谱的样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信 号频谱的包络。 既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶 级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得 来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级 数的收敛相一致。 二. 傅立叶变换的收敛
考交通大学 网络教育资源建设工程 信与暴纽 毒也有相应的两组条件: 教 2 1.若∫)dh<则X(i)存在。 王阎 鸿 設森这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在 副教 教授 授 2. Dirichlet条件 绝对可积条件∫x()h<∞ b.在任何有限区间内,x有有限个极值点, 且极值有限。 c在任何有限区间内,x(1)只有有限个第一类间 断点
这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。 2. Dirichlet 条件 x t dt ( ) − a. 绝对可积条件 1. 若 2 x t dt ( ) − 则 X j ( ) 存在。 也有相应的两组条件： b. 在任何有限区间内， 只有有限个极值点， 且极值有限。 x t( ) c. 在任何有限区间内， 只有有限个第一类间 断点。 x t( )
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信号与系红 应该指出:这些条件只是傅立叶变换存在的充分条 师 王阎 件。 露这两组条件并不等价。例如:S甚平方可积的, 副教 但是并不绝对可积。 和周期信号的情况一样,当x的傅立叶变换存在 时,其傅立叶变换在的连续处收敛于信号本身 在间断点处收敛于左右极限的平均值,在间断点附 近会产生Gbbs现象
应该指出:这些条件只是傅立叶变换存在的充分条 件。 x t( ) 和周期信号的情况一样，当 x t 的傅立叶变换存在 ( ) 时，其傅立叶变换在 的连续处收敛于信号本身， 在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附 近会产生Gibbs 现象。 sin t t 这两组条件并不等价。例如： 是平方可积的， 但是并不绝对可积
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信 与系统 誹三.常用信号的傅立叶变换: x(t) 教 师 (),a>0 王阎 鸿 霞森 X(o) dt 副教 教授 atJ@ 授 X(jo) XX(O=-tg 2 C+0 4X(j0) ‖X(o) 1/a …m/2 丌/4 C a元元 /2 ao a
三.常用信号的傅立叶变换： 1. ( ) ( ), 0 at x t e u t a − = 0 1 ( ) at j t X j e e dt a j − − = = + 2 2 1 X j ( ) a = + -1 X j ( ) tg a = −x t( ) t 0 1 −a 0 a 1/ a X j ( ) 1 2a /2 − /2 −a a X j ( ) /4 − /4
ep 考交通大学 网络教育资源建设工程 信号与系红 主 锇2.x(1)=e,a>0 师 王阎 d t+| e 鸿 o)」 霞森 0 副教 2a 0 教授 授 Jo a+Je 对此例有|X(10)=X()4X(Jo)=0 结论:实偶信号的傅立叶 X() 变换是实偶函数。此时可以 C 用一幅图表示信号的频谱
2. ( ) , 0 a t x t e a − = 结论：实偶信号的傅立叶 变换是实偶函数。此时可以 用一幅图表示信号的频谱。 对此例有 X j X j ( ) ( ) = X j ( ) 0 = 2 X j ( ) a 1 a −a a x t( ) t 1 0 0 0 2 2 ( ) 1 1 2 at j t at j t X j e e dt e e dt a a j a j a − − − − = + = + = − + +