中北大学高等代数考研大纲 多项式 考试内容:数域;一元多项式;整除:最大公因式;重因式;多项式函数; 复系数与实系数多项式的因式分解 考试要求 1掌握数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域。 2正确理解数域P上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概 念。掌握多项式的运算及运算律。 3正确理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质。 4正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。能 用辗转相除法求两个多项式的最大公因式 5正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。 6正确理解和掌握k重因式的定义。 7掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质。正确理解多项式与多 项式函数的关系。 8理解代数基本定理。熟练掌握复(实)系数多项式分解定理及标准分解式。 行列式 考试内容:排列;n级行列式的定义;n级行列式的性质;行列式的计算;行 列式按一行(列)展开;克兰姆法则 考试要求
1 中北大学高等代数考研大纲 一、 多项式 考试内容：数域； 一元多项式； 整除； 最大公因式； 重因式； 多项式函数； 复系数与实系数多项式的因式分解 考试要求： 1 掌握数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域。 2 正确理解数域 P 上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概 念。掌握多项式的运算及运算律。 3 正确理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质。 4 正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。能 用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。 5 正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。 6 正确理解和掌握 k 重因式的定义。 7 掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质。正确理解多项式与多 项式函数的关系。 8 理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。 二、 行列式 考试内容：排列 ； n 级行列式的定义；n 级行列式的性质； 行列式的计算； 行 列式按一行（列）展开； 克兰姆法则 考试要求：
l理解并掌握排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的 关系 2深刻理解和掌握n级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式 3熟练掌握行列式的基本性质 4正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念,能利用行列式性质计 算一些简单行列式。 5正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行(列)展 开的公式。掌握“化三角形法”,“递推降阶法”,“数学归纳法”等计算行列 式的技巧 6熟练掌握克莱姆( Cramer)法则 线性方程组 考试内容:消元法;n维向量组;线性相关性;矩阵的秩;线性方程组有 解判别定理线性方程组解的结构 考试要求: Ⅰ正确理解和掌握一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵,线性方程组的初等变 换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解 2理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算。 3正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量 组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义,会求 向量组的一个极大无关组。 4深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系 5熟练掌握线性方程组的有解判別定理。理解和掌握线性方程组的公式解
2 1 理解并掌握排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的 关系。 2 深刻理解和掌握 n 级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式。 3 熟练掌握行列式的基本性质。 4 正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计 算一些简单行列式。 5 正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展 开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列 式的技巧。 6 熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。 三、 线性方程组 考试内容：消元法； n 维向量组； 线性相关性； 矩阵的秩； 线性方程组有 解判别定理线性方程组解的结构 考试要求： 1 正确理解和掌握一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变 换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。 2 理解和掌握 n 维向量及两个 n 维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算。 3 正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量 组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，会求 向量组的一个极大无关组。 4 深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。 5 熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解
6正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系,解空间的维数与概念。熟练掌握 基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解的全部解 四、矩阵 考试内容:矩阵的概念;矩阵的运算:矩阵乘积的行列式与秩;矩阵的逆;矩 阵得分块;初等矩阵;分块矩阵的初等变换 考试要求: 1掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律 2掌握矩阵乘积的行列式定理,矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。 3正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念,掌握一个n阶方阵可 逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。 4理解分块矩阵的意义,掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。 5正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系,熟练掌握 个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件;会用初等变换的方法求一个方阵 的逆矩阵 6理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系,会求分块矩阵的逆 五、二次型 考试内容:二次型的矩阵表示;标准形;唯一性:正定二次型 考试要求 1正确理解二次形和非退化线性替换的概念;掌握二次型的矩阵表示及二次型 与对称矩阵的一一对应关系;掌握矩阵的合同概念及性质。 2理解二次型的标准形,掌握化二次型为标准型的方法(配方法、初等变换法)
3 6 正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系,解空间的维数与概念。熟练掌握 基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解的全部解。 四、 矩阵 考试内容：矩阵的概念； 矩阵的运算； 矩阵乘积的行列式与秩； 矩阵的逆； 矩 阵得分块； 初等矩阵； 分块矩阵的初等变换 考试要求： 1 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。 2 掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。 3 正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个 n 阶方阵可 逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。 4 理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。 5 正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握 一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵 的逆矩阵。 6 理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。 五、 二次型 考试内容: 二次型的矩阵表示；标准形； 唯一性； 正定二次型 考试要求： 1 正确理解二次形和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型 与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。 2 理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准型的方法（配方法、初等变换法）
3正确理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性;掌握惯性定理。 4正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念:熟练掌握正 定二次型及半正定二次型的等价条件。 六、线性空间 考试内容:线性空间的定义与简单性质;维数,基与坐标;基变换与坐标变换; 线性子空间;子空间的交与和;子空间的直和 考试要求: 正确理解和掌握线性空间的定义及性质;会判断一个代数系统是否是线性空 间 2理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念;正确理解和掌握n 维线性空间及的概念及性质 3正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系 4正确理解线性子空间的定义及判别定理;掌握向量组生成子空间的定义及等价 条件。 5掌握子空间的交与和的定义及性质:熟练掌握维数公式。 6深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。 七、线性变换 考试内容:线性变换的定义;线性变换的运算;线性变换的矩阵;特征值与 特征向量:对角矩阵;线性变换的值域与核;不变子空间:若当标准形 考试要求: 1理解和掌握线性变换的定义及性质
4 3 正确理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性；掌握惯性定理。 4 正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；熟练掌握正 定二次型及半正定二次型的等价条件。 六、 线性空间 考试内容：线性空间的定义与简单性质；维数，基与坐标； 基变换与坐标变换； 线性子空间；子空间的交与和；子空间的直和 考试要求： 1 正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否是线性空 间。 2 理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；正确理解和掌握 n 维线性空间及的概念及性质。 3 正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。 4 正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价 条件。 5 掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。 6 深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。 七、 线性变换 考试内容：线性变换的定义； 线性变换的运算； 线性变换的矩阵； 特征值与 特征向量； 对角矩阵； 线性变换的值域与核；不变子空间； 若当标准形 考试要求： 1 理解和掌握线性变换的定义及性质
2掌握线性变换的运算及运算规律,理解线性变换的多项式。 3深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系:掌握矩阵相似的概念和线性变换在不 同基下的矩阵相似等性质。 4理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质;会求一个 矩阵的特征值和特征向量:掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿 凯莱定理。 5掌握n维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件。 6掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念;深刻理解和掌握线性变换的值域 与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。 7掌握不变子空间的定义;会判定一个子空间是否是A-子空间;深刻理解不变 子空间与线性变换矩阵化简之间的关系;掌握将空间Ⅴ按特征值分解成不变子空 间的直和表达式 八、A一矩阵 考试内容:λ一矩阵;矩阵在初等变换下的标准形不变因子;不变因子;矩阵 相似的条件;初等因子 考试要求:若当标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。 九、欧几里得空间 考试内容:定义与基本概念;标准正交基;正交变换;子空间:对称矩阵的 标准形 考试要求 1深刻理解欧氏空间的定义及性质:掌握向量的长度,两个向量的夹角、正交及 度量矩阵等概念和基本性质,掌握各种概念之间的联系和区别
5 2 掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。 3 深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在不 同基下的矩阵相似等性质。 4 理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质；会求一个 矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿 -凯莱定理。 5 掌握n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件。 6 掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变换的值域 与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。 7 掌握不变子空间的定义；会判定一个子空间是否是 A-子空间；深刻理解不变 子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；掌握将空间 V 按特征值分解成不变子空 间的直和表达式。 八、 －矩阵 考试内容： 矩阵；矩阵在初等变换下的标准形不变因子； 不变因子； 矩阵 相似的条件；初等因子 考试要求： 若当标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。 九、 欧几里得空间 考试内容：定义与基本概念； 标准正交基； 正交变换； 子空间； 对称矩阵的 标准形 考试要求： 1 深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角、正交及 度量矩阵等概念和基本性质，掌握各种概念之间的联系和区别