西安石油大学：《高等代数 Advanced Algebra》精品课程教学资源（习题及答案）第十一章 欧几里得空间

习题11.1解答 1设Ⅴ是一个欧几里得空间,{a,2,…,an}是Ⅴ的一个基.证明:如果β∈V,(a,β= 证将β表示为 阝=ka+k2a2+.+knn 则(B,β=(k1+k2a2+…+knan,B)=(ka1,)+(k2a2,B)+.+( kan,B)=0 所以β=0 5-1 2在R2中,规定内积(a,B)=βBa,其中B 13)则R关于此内积是一个欧几里得 空间.设ξ ①求(,n),|l叫以及<,n>.②写出(2,n)n的 Schwarz不 2 等式的具体形式 解①(,n)=Bn=(12) 63 lnl=√(7,n)g= l|lV,5)2 <E n>= arccos (s ma=arccos ②根据(;m)2≤√5,5)√m,n),(,n)的 Schwarz不等式的具体形式为 ,2 人2 13人-1 3证明:2(a,B)=1|a+B|2-||2-|la|1(这说明,如果两个内积所定义的长度相同,则这 两个内积相等) 证右边=|a+B|12|112-a|1=(a+B,a+B)-(B.B)-(a,a) (a,a)+(β,B)+2(a,)-(β.B)-(,a)=2(a,B)=左边 4.证明:(1)(极化公式)4(a,B)=|la+|1-1|a-B (2)(平行四边形公式)||a+p2+|lB|1=2|l2+2|||12 证(1)右边=(a+B,a+B)-(aB,a-B =(a,a)+(B,B)+2(a,)-(a,a)-(B,B)+2(a,) 4(aβ)=左边

习题 11.1 解答 1.设 V 是一个欧几里得空间，{α1，α2，...，αn}是 V 的一个基．证明：如果β∈V，(αj, β)=0， j=1,2,...,n，则β=0． 证 将β表示为 β=k1α1+k2α2+...+knαn 则(β, β)=(k1α1+k2α2+...+knαn, β)=(k1α1, β)+ (k2α2, β)+...+(knαn, β)=0 所以β=0． 2.在 R 2中，规定内积 (α, β)= β TBα，其中 B=        1 3 5 1 ，则 R 2关于此内积是一个欧几里得 空间．设ξ=       2 1 ，η=      1 4 ．①求(ξ，η)B，||η||以及<ξ，η>．②写出(ξ，η)B的 Schwarz 不 等式的具体形式． 解 ①(ξ，η)B=ξ TBη= 1 2        1 3 5 1      1 4 = 3 5      1 4 =7 ||η||=                  1 4 1 3 5 1 ( , ) 4 1   B = 91 ||ξ||=                 2 1 1 3 5 1 ( , ) 1,2   B = 13 13 91 7 arccos ( , )  ,  arccos        B ②根据  B B B ,  (, ) (,) ， (ξ，η)B的 Schwarz 不等式的具体形式为 1 2        1 3 5 1      1 4 ≤              2 1 1 3 5 1 (1,2)               1 4 1 3 5 1 (4, 1) 3.证明：2(α, β)=||α+β|| 2-||β|| 2-||α|| 2（这说明，如果两个内积所定义的长度相同，则这 两个内积相等）． 证 右边=||α+β|| 2-||β|| 2-||α|| 2=(α+β, α+β)-(β,β)-(α, α) =(α, α)+(β, β)+2(α,β)-(β,β)-(α, α)= 2(α,β)=左边 4.证明：(1)(极化公式) 4(α, β)=||α+β|| 2-||α-β|| 2 （2）（平行四边形公式）||α+β|| 2+||α-β|| 2=2||α|| 2+2||β|| 2 证 （1）右边=(α+β, α+β)-(α-β, α-β) =(α, α)+(β, β)+2(α,β)-(α, α)-(β,β)+2(α,β) = 4(α,β)=左边

(2)左边=(+B,a+B)+(a-B,a-B)=(a,a)+(B,B)+2(a,B)+(a,a)+(B,B)-2(a,B) 2|la|2+2||p|12 设A∈ Mat(R).证明:①齐次线性方程组AAX=0与AX=0同解.②rank(AA)=rank(A) 证①若X是AX=0的解,代入AAX=0中显然成立;反之,若X是AAX=0的解,两边左 乘X得 XAAX=O 即(AX,AX)=(AX)(AX)=0 所以AX=0 ②齐次线性方程组AAX=0与AX=0同解,解空间的维数相同,所以系数矩阵的秩相同, 即rank(AA)=rank(A) 8.设V是一个欧几里得空间,(Ⅱ):{a,a2,…,an},(Ⅲ:{1,β2,…,βn}是V的两个 基.设V的内积(,)在基(Ⅱ)、(Ⅲ下的度量矩阵分别是B,H,由基(I)到基(Ⅲ)的过渡矩 阵是C.证明:H=CBC 提示:利用分块矩阵.设C的第j列为C,则CBC的第i行第j列是CBC3,而G3是在基(Ⅱ 下的坐标 证由已知有(B1,B2,…,m)=(a,a2,…,au)C,设C的第j列为C,则C3是β在基(Ⅲ) 下的坐标 (B,)=(a,a2,…,am)C,(a1,a2,…,an)C3)=CBC1 BC的第i行第j列是CBC,所以H=CBC 9.设V是一个欧几里得空间.证明:存在V的一个基(Ⅲ),使得V的内积(,)在(Ⅲ)下 的度量矩阵是En(提示:任意取V的一个基(Ⅱ):{a1,a2,…,an},设在基(Ⅱ)下的度 量矩阵是B,B是正定的.利用第六章6.5.2’的结论,证明存在可逆矩阵C,使得B=CC.再 令(β,β,…,n)=(a1,a2,…,an)C,取(Ⅲ):1B1,B2,…,β}) 证任意取V的一个基(Ⅲ):{a1,a2,…,an},设在基(Ⅱ)下的度量矩阵是B,B是 正定的.利用第六章6.5.2’的结论知存在可逆矩阵C,使得B=CC.从而 (C )BC=E 再令(B,B2,…,Bn)=(a,a2,…,a)C,则(B1,B2,…,Bn}是V的一个基,取基(Ⅲ):{B1, β2,…,βn},设(,)在基(Ⅲ)下的度量矩阵为H,则根据第8题得 习题11.2解答 1.设1= 2122 4}设ws四mp,p,B,求 解记矩阵A(21-2-2,则W是齐次线性方程组AX=0的解空间 1-1-4-3

（2）左边=(α+β, α+β)+(α-β, α-β)=(α, α)+(β, β)+2(α,β)+(α, α)+(β,β)-2(α,β) =2||α|| 2+2||β|| 2 5.设 A∈Matn×n(R)．证明：①齐次线性方程组 A TAX=0 与 AX=0 同解．②rank(A TA)=rank(A)． 证 ①若 X 是 AX=0 的解，代入 A TAX=0 中显然成立；反之，若 X 是 A TAX=0 的解，两边左 乘 X T得 X TA TAX=0 即 (AX,AX)=(AX) T(AX)=0 所以 AX=0 ②齐次线性方程组 A TAX=0 与 AX=0 同解，解空间的维数相同，所以系数矩阵的秩相同， 即 rank(A TA)=rank(A)． 8.设 V 是一个欧几里得空间，(Ⅱ):{α1，α2，...，αn}，(Ⅲ)：{β1，β2，...，βn}是 V 的两个 基．设 V 的内积(,)在基(Ⅱ)、(Ⅲ)下的度量矩阵分别是 B，H，由基(Ⅱ)到基(Ⅲ)的过渡矩 阵是 C．证明：H=C TBC． 提示：利用分块矩阵．设 C 的第 j 列为 Cj,则 C TBC 的第 i 行第 j 列是 Ci TBCj，而 Cj是βj在基(Ⅱ) 下的坐标． 证 由已知有(β1，β2，...，βn)=(α1，α2，...，αn)C, 设 C 的第 j 列为 Cj,则 Cj是βj在基(Ⅱ) 下的坐标． (βi,βj)=((α1，α2，...，αn)Ci ,(α1，α2，...，αn)Cj)=Ci TBCj C TBC 的第 i 行第 j 列是 Ci TBCj，所以 H=C TBC． 9. 设 V 是一个欧几里得空间．证明：存在 V 的一个基（Ⅲ），使得 V 的内积(,)在（Ⅲ）下 的度量矩阵是 En（提示：任意取 V 的一个基（Ⅱ）：{α1，α2，...，αn}，设在基（Ⅱ）下的度 量矩阵是 B，B 是正定的．利用第六章 6.5.2’的结论，证明存在可逆矩阵 C，使得 B=C TC．再 令(β1，β2，...，βn)=(α1，α2，...，αn)C,取（Ⅲ）：{β1，β2，...，βn}）． 证 任意取 V 的一个基（Ⅱ）：{α1，α2，...，αn}，设在基（Ⅱ）下的度量矩阵是 B，B 是 正定的．利用第六章 6.5.2’的结论知存在可逆矩阵 C，使得 B=C TC．从而 (C -1) TBC -1=E 再令(β1，β2，...，βn)=(α1，α2，...，αn)C -1,则{β1，β2，...，βn}是 V 的一个基，取基（Ⅲ）：{β1， β2，...，βn}，设（，）在基（Ⅲ）下的度量矩阵为 H，则根据第 8 题得 H=(C -1) TBC -1=E 习题 11.2 解答 1.设β1=       1 2 2 1 ，β2=        2 2 1 2 ，β3=          3 4 1 1 ，设 W=Span(β1，β2，β3)．求 W ┴． 解 记矩阵 A=            1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 ,则 W ┴是齐次线性方程组 AX=0 的解空间．

1221)(1221 因为A=2 1-1-4-3)0-3-6-4)0000 AX=0的一个基础解系为= 所以W=Span(2,2 2.在C[0,2π]中,证明:对任意正整数n,集合 Icos(jx), sin (jx)Ij=1, 2, .. n 是一个正交向量组 证定义C[0,2x]中的内积为在[0,2]上的积分,则有 cos(mx)cos(nx)dr='rI cos(mx+nx)+cos(mx-nx)fx 0(m≠n) 广sn(mmt1m+m)mg-m)p 0(m≠n) 丌(m=n) sin(mx)cos(nx dx=l [sin( mx+mx)+sin(mx-nux)bx=0 所以集合 Icos(jx), sin(jx)Ij=1, 2, .. nh 是一个正交向量组 3用施密特正交化的方法,将B=1 3标准正交化 解正交化得a=B=11 (B2,a1) 1:6 -(Ba)a71、2 0 (a1,a1)(a2,a2)

因为 A=            1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 →             0 3 6 4 0 3 6 4 1 2 2 1 →          0 0 0 0 0 3 6 4 1 2 2 1 AX=0 的一个基础解系为ξ1=       0 1 2 2 ，ξ2=       3 0 4 5 所以 W ┴=Span(ξ1, ξ2)． 2.在 C 0[0,2π]中，证明：对任意正整数 n，集合 {cos(jx),sin(jx)|j=1,2,...,n} 是一个正交向量组． 证 定义 C 0[0,2π]中的内积为在[0,2π]上的积分，则有               ( ) 0 ( ) cos( ) cos( ) 2 1 cos( ) cos( ) 2 0 2 0 m n m n mx nx dx mx nx mx nx dx                   ( ) 0 ( ) cos( ) cos( ) 2 1 sin( )sin( ) 2 0 2 0 m n m n mx nx dx mx nx mx nx dx    sin( ) sin( ) 0 2 1 sin( ) cos( ) 2 0 2 0        mx nx dx mx nx mx nx dx   所以集合 {cos(jx),sin(jx)|j=1,2,...,n} 是一个正交向量组． 3.用施密特正交化的方法，将β1=       1 1 1 ，β2=       3 2 1 ，β3=       9 3 1 标准正交化． 解 正交化得 α1= β1=       1 1 1 α2= β2 1 1 1 2 1 ( , ) ( , )      =       3 2 1        1 1 1 3 6 =       1 0 1 α3= β3 1 1 1 3 1 ( , ) ( , )      2 2 2 3 2 ( , ) ( , )       =       9 3 1        1 1 1 3 13        1 0 1 2 8 =         2 4 22 3 1

单位化得n=ma1 0 4.在C[-1,1中,求Span(,x2)的一个标准正交基 解记(1,β2,β3}={ 正交化得a1=β Lxx 2 0=x 3 (a,a)a/4中、人,[xh (B3,a1)(B3,a2) Lxx 单位化得n:=1 2V2 5.设a1=--2,求一个3×3正交矩阵P,使P的第1列是a1

单位化得 η1= 1 1 1   =       1 1 1 3 1 η2= 2 2 1   =       1 0 1 2 1 η3= 3 3 1   =         1 2 11 3 14 1 4. 在 C 0[-1,1]中，求 Span(1,x,x 2)的一个标准正交基． 解 记{β1，β2，β3}={1,x,x 2} 正交化得 α1= β1=1 α2= β2 1 1 1 2 1 ( , ) ( , )      =x x x dx xdx         1 0 1 1 1 1 1 1 α3= β3 1 1 1 3 1 ( , ) ( , )      2 2 2 3 2 ( , ) ( , )       =x 2 1 1 1 1 1 1 1 2      dx x dx x x dx x dx      1 1 2 1 1 3 1 = x 2 1 1 1 1 1 1 1 2      dx x dx -0= 3 2 1 x  单位化得η1= 1 1 1   = 2 1 η2= 2 2 1   = x 2 3 η3= 3 3 1   =        3 1 8 45 2 x = 2 5 2 1 2 5 2 3 2 x  5.设α1=       2 2 1 3 1 ，求一个 3×3 正交矩阵 P，使 P 的第 1 列是α1．

解方程组(-22)x2 得B2=0,B=1 a2=p2 2/ (B3,a2) 阝3 0 1)(4/5 a2= 令P=(a,n2,n3) 则P是正交矩阵,且α1作为其第一列. 6.求Span(β1,B2,β)的一个标准正交基,其中 0 0 解a== B2,a1) 02- 0 2

解方程组                0 0 0 1 2 2 3 2 1 x x x 得        1 0 2  2 ，        0 1 2  3 ， α2= β2 α3= β3 2 2 2 3 2 ( , ) ( , )       =               1 0 2 5 4 0 1 2 =       4 / 5 1 2 / 5 η2= 2 2 1   =       1 0 2 5 1 η3= 3 3 1   =       4 5 2 3 5 1 令 P=(α1, η2, η3) 则 P 是正交矩阵，且α1作为其第一列． 6.求 Span(β1，β2，β3) 的一个标准正交基，其中 β1=       1 1 0 1 ，β2=       1 0 1 1 ，β3=       0 1 1 1 解α1= β1=       1 1 0 1 α2= β2 1 1 1 2 1 ( , ) ( , )      =       1 0 1 1        1 1 0 1 3 2        1 2 3 1 3 1