西安石油大学：《高等代数 Advanced Algebra》精品课程教学资源（习题及答案）第五章 整数与多项式

习题4.1 1.如果31+41+ka|=6,求k,a,b 0 解将左边向量相加,与右边对应分量比较得 6+4-2k=4 6 解方程组得,k=3,a=-1/3,b=3 2.证明:如果 k bbb b k2 a22+k, b a1a12a3)(k)(a1k+a12k2+a12k 证前一式的左边a21a2a2k2a21k1+a2k2+a2k k八(a3k+a2k2+a3k2 1 比较前一式的右边,后一式得证 1.B能不能由{x1,a2,a3,a4线性表出? 2 235203225 ②a1=2|,a23,a=1,a=1|,p=1 2 证①β能由{a,a2,a3,a4}线性表出的充分必要条件是存在数x,x2,x3,x使

习题 4.1 1.如果 3       0 1 2 +4      1 1 1 +k       b a 2 =       5 6 4 ，求 k,a,b． 解 将左边向量相加，与右边对应分量比较得               0 4 5 3 4 6 6 4 2 4 kb ka k 解方程组得，k=3,a=-1/3,b=3． 2.证明：如果       31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a       3 2 1 k k k =       3 2 1 b b b 则       31 21 11 1 a a a k +       32 22 12 2 a a a k +       33 23 13 3 a a a k =       3 2 1 b b b 证 前一式的左边=       31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a       3 2 1 k k k =             31 1 32 2 33 3 21 1 22 2 23 3 11 1 12 2 13 3 a k a k a k a k a k a k a k a k a k =       31 21 11 1 a a a k +       32 22 12 2 a a a k +       33 23 13 3 a a a k 比较前一式的右边，后一式得证． 1.β能不能由{α1, α2, α3, α4}线性表出？ ① α1=       2 5 3 2 ，α2=         1 1 2 1 ，α3=        1 1 2 1 ，α4=        3 2 3 1 ，β=       4 1 2 1 ② α1=       5 2 2 3 0 ，α2=       5 2 3 2 2 ，α3=       2 2 1 1 3 ，α4=        0 1 1 1 1 ，β=       2 1 1 1 1 证 ① β能由{α1, α2, α3, α4}线性表出的充分必要条件是存在数 x1, x2, x3, x4使 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β

上式相当于一个线性方程组,其增广矩阵 21 3-22-320-7/27/2-9/21/2 12 0-3/23/2-1/2-7/2 0-77-91 0-77 700020/7-52/7 0-22-43)(000-10/719/7 7 00020-52000-1019 000-1019)(000 对应线性方程组无解,所以β不能由(a1,a2,a3,4线性表出 ②对应线性方程组的增广矩阵为 321-110-5/2-1/2-5/2-1/2 B=23111→0-12 2221102 2 55202)(0-5/2-1/2-5/2-1/2 23111 20 20 00-115 0-115 02211 006-31 0000 00 00000 0000 对应的线性方程组有解,所以B能由{a1,a2a3,a4}线性表出 2证明:{ε,E2}与 等价 证首先显然 0( 能由{ε,e2}线性表出;又因 1)2_,即(e,e能由 线性表出.所以{εe1,ε2}与 4.设U=Span(a1,2,…,a),a∈F,i=1,2,…,,W是一个子空间.证明:如果a∈W,j=1,2,…;s

上式相当于一个线性方程组，其增广矩阵 B=              2 1 1 3 4 5 1 1 2 1 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 →               0 2 2 4 3 0 3/ 2 3/ 2 1/ 2 7 / 2 0 7 / 2 7 / 2 9/ 2 1/ 2 2 1 1 1 1 →               0 2 2 4 3 0 3 3 1 7 0 7 7 9 1 2 1 1 1 1 →            0 0 0 10 / 7 19 / 7 0 0 0 20 / 7 52 / 7 0 7 7 9 1 2 1 1 1 1            0 0 0 10 19 0 0 0 20 52 0 7 7 9 1 2 1 1 1 1 →            0 0 0 0 14 0 0 0 10 19 0 7 7 9 1 2 1 1 1 1 对应线性方程组无解，所以β不能由{α1, α2, α3, α4}线性表出． ②对应线性方程组的增广矩阵为 B=         5 5 2 0 2 2 2 2 1 1 2 3 1 1 1 3 2 1 1 1 0 2 3 1 1 →                 0 5/ 2 1/ 2 5/ 2 1/ 2 0 2 2 1 1 0 1 2 2 0 0 5/ 2 1/ 2 5/ 2 1/ 2 2 3 1 1 1 →             0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 0 5 1 5 1 0 1 2 2 0 2 3 1 1 1 →            0 0 0 0 0 0 0 6 3 1 0 0 11 5 1 0 1 2 2 0 2 3 1 1 1 →            0 0 0 0 0 0 0 0 3 5 0 0 11 5 1 0 1 2 2 0 2 3 1 1 1 对应的线性方程组有解，所以β能由{α1, α2, α3, α4}线性表出． 2.证明：{ε1,ε2}与                         1 1 , 1 2 , 1 1 等价． 证 首先显然                         1 1 , 1 2 , 1 1 能由{ε1,ε2}线性表出；又因ε1=       1 1 2 1 +      1 1 2 1 ， ε2=       1 1 2 1 -      1 1 2 1 ，即{ε1,ε2}能由                         1 1 , 1 2 , 1 1 线性表出．所以{ε1,ε2}与                         1 1 , 1 2 , 1 1 等价． 4 *.设 U=Span(α1，α2，…，αs), αi∈F n，i=1,2,…,s，W 是一个子空间．证明：如果αj∈W，j=1,2,…,s

则UcW(这个结论表明:由a1,a2,,a生成的子空间是包含{a1,a2,,a)}的F的 最小子空间) 证对于任意a∈U,存在数k,k2,…,k,使a=ka1+k2a2+.+ka,由于W是一个子 空间,对数乘满足封闭性,且∈W,所以k∈W,j=1,2,…s;由W对加法满足封闭性, 从而ka1+ka2∈W,(ka1+k2a2)+ka3∈W,…,(ka1+ka2+.+k-a-1)+ka∈W.所 习题43 1.下述说法对吗? ①如果有F中的数k,k2…,k,使ka+k2a2+…+ka=0,则向量组(a1,a2,….,a}线性相 关 ②如果有F中不全为零的数k1,k2,…,k,使k1a1+k2a2+…+ka≠0,则向量组{a1,a2,a 线性无关 解①说法不对.例如对于向量E1=0,E2=1,取kk=0,有ke+ke=0,而e,e2 0 (0 是线性无关的 ②说法不对,例如对于向量a1=0,a2=0,取不为零的数k=k=1,有kE+k 0 ≠0,而a1,a2是线性相关的 2.下列向量线性相关,还是线性无关?为什么? 0 0 4 31-101-7 解①令H(a12a2a3) 250 05-4 4 3)(0211 02 01-7 00310031 0025 000

则 UW（这个结论表明：由α1，α2，…，αs生成的子空间是包含{α1，α2，…，αs)}的 F n的 最小子空间）． 证 对于任意α∈U，存在数 k1，k2，…，ks，使α= k1α1+ k2α2+…+ksαs，由于 W 是一个子 空间，对数乘满足封闭性，且αj∈W，所以 kjαj∈W，j=1,2,…,s；由 W 对加法满足封闭性， 从而 k1α1+ k2α2∈W，（k1α1+ k2α2）+k3α3∈W，…，（k1α1+ k2α2+…+ ks-1αs-1）+ksαs∈W ．所 以 UW． 习题 4.3 1.下述说法对吗？ ①如果有 F 中的数 k1, k2,…, ks,使 k1α1+k2α2+…+ksαs=0，则向量组{α1,α2,…,αs}线性相 关． ②如果有 F中不全为零的数 k1, k2,…, ks,使 k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则向量组{α1,α2,…,αs} 线性无关． 解 ①说法不对．例如对于向量        0 0 1 1  ，        0 1 0 2  ，取 k1=k2=0，有 k1ε1+k2ε2=0，而ε1,ε2 是线性无关的． ②说法不对．例如对于向量        0 0 1 1 ，        0 0 2  2 ，取不为零的数 k1=k2=1，有 k1ε1+k2ε2 ≠0，而α1,α2是线性相关的． 2.下列向量线性相关，还是线性无关？为什么？ ①        4 2 1 3 1 ，        2 5 0 1  2 ，        3 0 2 1 3 ②        3 0 1 2 1 ，        4 2 3 1  2 ，        1 2 0 3 3 ，        8 4 2 2  4 解 ①令 H=         4 2 3 2 5 0 1 0 2 3 1 1 ( , , ) 1  2 3 →        4 2 3 2 5 0 3 1 1 1 0 2 →         0 2 11 0 5 4 0 1 7 1 0 2 →        0 0 25 0 0 31 0 1 7 1 0 2 →        0 0 0 0 0 31 0 1 7 1 0 2

对应的齐次线性方程组HX=0只有零解,所以a1,a2,a3线性无关 2132 1-30-2 ②令H=(a12C2,C3 0224 0224 0-53-210-53 0-53-2 0016/516/50011 0-5114)(00-216)(00018 对应的齐次线性方程组HX=0只有零解,所以a1,a2,a3,a1线性无关 3.设向量组(a1,a2,a3}线性无关,下述向量组哪些线性无关? ①0,a2,a3} ②{a2,a1+a3,a2} ③{(a1+2a2a23a3,a2+a3,a1+4a2+a3} ④{a1,4a1-3a2} ⑤{a1+a2,a2+a3,ata1} 答①②③线性相关,④⑤线性无关 4.如果向量组{a1,a2}线性相关,必定有k∈F使a=ka2吗?如果向量组{a,a,…,a}线性无 关,则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出吗? 答如果向量组{a,a2}线性相关,不一定有k∈F使a1=ka2,例如当a1≠0,a2=0时,显然 {a,a2}线性相关,但不存在k∈F使a1=ka2 如果向量组{1,a2,…,a,线性无关,则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出.否 则,利用反证法,假设有一个向量a能由其余向量线性表出,先写成表示形式,然后通过移 项可知与线性无关相矛盾 5.设β∈(a1,a2,…,a,a1),但βg(a1,a2…,a).证明 a-1∈(a1,a,…,a,B) 证因为β∈(a,a2…,a,a-),所以存在数k,k,…,k,k使 其中必有k。≠0,否则β可由a1,a2,…,a线性表出,这与Bg(a1,a,…,a)想矛盾.将上 式移项后两边乘以得 B 即a∈(a1,a,…,a,B) 习题4.4

对应的齐次线性方程组 HX=0 只有零解，所以α1，α2，α3线性无关． ②令 H=           3 4 1 8 0 2 2 4 1 3 0 2 2 1 3 2 ( , , , ) 1  2 3  4 →         3 4 1 8 0 2 2 4 2 1 3 2 1 3 0 2 →            0 5 1 14 0 2 2 4 0 5 3 2 1 3 0 2 →            0 0 2 16 0 0 16 / 5 16 / 5 0 5 3 2 1 3 0 2 →           0 0 0 18 0 0 1 1 0 5 3 2 1 3 0 2 对应的齐次线性方程组 HX=0 只有零解，所以α1，α2，α3，α4线性无关． 3.设向量组{α1,α2,α3}线性无关，下述向量组哪些线性无关？ ①{0,α2,α3} ②{α2,α1+α3,α2} ③{α1+2α2,α2-3α3,α2+α3,α1+4α2+α3} ④{α1,4α1-3α2} ⑤{α1+α2,α2+α3,α3+α1} 答 ①②③线性相关，④⑤线性无关． 4.如果向量组{α1,α2}线性相关，必定有 k∈F 使α1=kα2吗？如果向量组{α1, α1,…，αs}线性无 关，则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出吗？ 答 如果向量组{α1,α2}线性相关，不一定有 k∈F 使α1=kα2，例如当α1≠0，α2=0 时，显然 {α1,α2}线性相关，但不存在 k∈F 使α1=kα2． 如果向量组{α1, α2,…，αs}线性无关，则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出．否 则，利用反证法，假设有一个向量αi能由其余向量线性表出，先写成表示形式，然后通过移 项可知与线性无关相矛盾． 5 *.设β∈(α1, α2,…，αs, αs+1),但β(α1, α2,…，αs)．证明： αs+1∈(α1, α2,…，αs,β) 证 因为β∈(α1, α2,…，αs, αs+1),所以存在数 k1,k2,…,ks,ks+1使 β=k1α1+k2α2+…+ksαs+ks+1αs+1 其中必有 ks+1≠0，否则β可由α1, α2,…，αs线性表出，这与β(α1, α2,…，αs)想矛盾．将上 式移项后两边乘以 1 1 s k 得      1 1 2 1 2 1 1 1 1 1            s s s s s s s k k k k k k k  即αs+1∈(α1, α2,…，αs,β) 习题 4.4

0 1证明{a1=1a2=1a3=1}是F的一个基 0)(0 证设有数k,k,k,使k1+k21+k1=0 得k=k=0,所以a,a2a线性无关.又对F中任一向量b,令 0 k1|+k21+k1|=b 解上述线性方程组,得k=,k=(+=20/2.k=0b)/2,即b能由a,a线性表出 总之,a1,a2,a3是F的一个基 2设2-51/证明:{,则}是{a,a3a}的一个极大线性无关组 证设有数k1,k2使ka1+ka2=0即 得k=k2=0,所以{a1,a2线性无关 又,线性方程组 的系数矩阵

1.证明                                1 1 0 , 1 1 0 , 1 1 1 1 2 3 是 F 3的一个基． 证 设有数 k1,k2,k3,使       1 1 1 1 k +       1 1 0 2 k +      1 1 0 3 k =       0 0 0 得 k1=k2=k3=0，所以α1, α2,α3线性无关．又对 F 3中任一向量       c b a ，令       1 1 1 1 k +       1 1 0 2 k +      1 1 0 3 k =       c b a 解上述线性方程组，得 k1=a,k2=(b+c-2a)/2,k3=(b-c)/2，即       c b a 能由α1, α2,α3线性表出． 总之，α1, α2,α3是 F 3的一个基． 2.设α1=         1 2 3 1 ，α2=       4 5 9 2 ，α3=       0 1 1 2 ．证明：{α1, α2}是{α1, α2,α3}的一个极大线性无关组． 证 设有数 k1,k2使 k1α1+k2α2=0 即         1 2 3 1 1 k +       4 5 9 2 2 k =0 得 k1=k2=0，所以{α1, α2}线性无关． 又，线性方程组         1 2 3 1 1 +       4 5 9 2 2 +       0 1 1 2 3 =0 的系数矩阵