西安石油大学：《高等代数 Advanced Algebra》精品课程教学资源（习题及答案）第二章 矩阵代数

习题2.1 1.设mn是不同的正整数,A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,下列运算式中有定义的有 哪几个? A+B, AB, BA, AB, A-BT 答只有AB和A-B有定义 2.计算 ①1-231-2 ②1-231 570八23 570八2 ③0231 (2 ⑤023)3-23 ⑥0101-23 ⑦(x1x2x3)a21a2a a3a2a3人x3 171 解①1-231-2|=714 570人23 431Y3 570 802381|=0) 246 ⑤0233-23|=03181) 70

习题 2.1 1. 设 m,n 是不同的正整数，A 是 m×n 矩阵，B 是 n×m 矩阵，下列运算式中有定义的有 哪几个？ A+B，AB，BA，AB T，A-B T 答 只有 AB 和 A-B T有定义． 2. 计算 ①               2 3 1 2 3 1 5 7 0 1 2 3 4 3 1 ②              2 1 3 5 7 0 1 2 3 4 3 1 ③        2 1 3 1 2 3 ④ 1 2 3 2 1 3       ⑤         1 7 0 3 2 3 4 1 5 1 2 3 ⑥               a b c 1 2 3 2 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 5 ⑦              3 2 1 31 32 33 21 22 23 11 12 13 1 2 3 x x x a a a a a a a a a x x x 解①               2 3 1 2 3 1 5 7 0 1 2 3 4 3 1 =       22  9 7 14 17 1 ②              2 1 3 5 7 0 1 2 3 4 3 1 =       22 7 17 ③        2 1 3 1 2 3 = 11 ④ 1 2 3 2 1 3       =       2 4 6 1 2 3 3 6 9 ⑤         1 7 0 3 2 3 4 1 5 1 2 3 = 13 18 11

105-210(5a-21+5b5c ⑥0101-23 00 1 a b c b ⑦ a1r1 +a1x,+a13xx3+a2rx2x +a22x2ta23x2x3 + a3rx3x, +a32x3x2 + a33 设A 计算: ①(A+B)(A-B) ②A2-B2 ③(AB) ④AB 解①(A+B)(-B= 3(932) 26人00)(04 2Y12)(1010 8 ②A2-B2= 3-(1313 - 4111(49 1210 ③(AB) ④AB 13)(13 23八03)(211 4.求所有的与A= 可交换的矩阵 解设矩阵B与A可交换,则B必是2×2矩阵,设Bq0,令AB=BA,即 d a+c b+d 从而有 cc+d a+c=a b+d=a+b 由此得 d=c+d

⑥               a b c 1 2 3 2 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 5 =          a b c a b c 1 2 3 5 2 1 5 5 ⑦              3 2 1 31 32 33 21 22 23 11 12 13 1 2 3 x x x a a a a a a a a a x x x = 2 23 2 3 31 3 1 32 3 2 33 3 2 12 1 2 13 1 3 21 2 1 22 2 2 11 1 a x  a x x  a x x  a x x  a x  a x x  a x x  a x x  a x 3. 设 A=       1 3 1 2 ，B=       1 3 1 0 ，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2 ③ (AB) T ④ A TB T 解 ① (A+B)(A-B)=                                                        0 4 0 4 0 0 0 2 2 6 2 2 1 3 1 0 1 3 1 2 1 3 1 0 1 3 1 2 ② A 2-B 2=                                           0 2 2 8 4 9 1 0 4 11 3 8 1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 2 1 3 1 2 ③ (AB) T =                                 6 9 3 4 4 9 3 6 1 3 1 0 1 3 1 2 T T ④ A TB T =                                2 11 1 4 0 3 1 1 2 3 1 1 1 3 1 0 1 3 1 2 T T 4. 求所有的与 A=       0 1 1 1 可交换的矩阵． 解 设矩阵 B 与 A 可交换，则 B 必是 2×2 矩阵，设 B=       c d a b ，令 AB=BA，即                         0 1 1 1 0 1 1 1 c d a b c d a b 从而有                 c c d a a b c d a c b d 由此得              d c d c c b d a b a c a

解得,c=0,a=d,b为任意数.即与A可交换的矩阵B可写成B= 5.设A,B是n×n矩阵,并且A是对称矩阵,证明:BIAB也是对称矩阵 证已知A是对称矩阵,即A=A,从而(BAB)=BA(B1)=BAB,所以BAB也是对称 矩阵 6.设A ,求A2,A3,…,Ak 解心 0)b0)(b20 b人ab丿(2abb A(2mbb2人ab)(3ab2b3 0b0 b 0 7.设B是2×2矩阵.由B2=02x2能推出B=0吗?试举反例.(提示:参见上题.) 解不能.例如令a0,当a≠0时,B≠0,但B0x 8.设A,B是n×n矩阵,证明:(A+2BA-5B)=A2-3AB-10B2的充分必要条件是A与B可 交换 证充分性:若A与B可交换,即AB=BA,则 (A+2B)(A-5B=A2-5AB+2BA-10B2=A2-5AB+2AB-10B2=A2-3AB-1OB 必要性:若(A+2B(A-5B)=A2-3AB-10B2 BJ A2-5AB+2BA-10B2=A-3AB-10B 比较两边相同的项得-2AB+2BA=0 9.设A,B是n×n对称矩阵,证明:AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换 证因A,B是n×n对称矩阵,即A=A,BI=B. 必要性:若AB是对称矩阵,则(AB)=AB,有因(AB)T=BIA=BA,从而AB=BA,即A 与B可交换 充分性:若A与B可交换,由必要性证明过程反图推,知AB是对称矩阵 习题22 1.设A,B,C是矩阵,且满足AB=AC,证明:如果A是可逆的,则B=C 证已知AB=AC,两边左乘矩阵A,有A(AB)=A(AC),根据结合律得(AA)B=(AA)C, 从而有EB=EC,故B=C 2.设P是可逆矩阵,证明:线性方程组AX=B与线性方程组PAX=Pβ同解 证设X是AX=B的任一解解,即有AX0=B成立,两边左乘矩阵P,得PAX①=Pβ,说

解得，c=0，a=d，b 为任意数．即与 A 可交换的矩阵 B 可写成 B=       a a b 0 ． 5. 设 A，B 是 n×n 矩阵，并且 A 是对称矩阵，证明：B TAB 也是对称矩阵． 证 已知 A 是对称矩阵，即 AT=A，从而 (B TAB)T=B TAT (B T ) T=B TAB，所以 B TAB 也是对称 矩阵． 6. 设 A=       a b b 0 ，求 A2，A3，…，Ak． 解 A2=                   2 2 2 0 0 0 ab b b a b b a b b A3=                   2 3 3 2 2 3 0 0 2 0 ab b b a b b ab b b … Ak=                        k k k k k k kab b b a b b k ab b b 2 1 1 1 0 0 ( 1) 0 7.设 B 是 2×2 矩阵．由 B 2=02×2能推出 B=0 吗？试举反例．（提示：参见上题．） 解 不能．例如令 B=       0 0 0 a ，当 a≠0 时，B≠0，但 B 2=02×2． 8. 设 A，B 是 n×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A2-3AB-10B 2的充分必要条件是 A 与 B 可 交换． 证 充分性：若 A 与 B 可交换，即 AB=BA，则 (A+2B)(A-5B)=A2-5AB+2BA-10B2= A2-5AB+2AB-10B2= A2-3AB-10B2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A2-3AB-10B 2 即 A2-5AB+2BA-10B 2= A2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA 9. 设 A，B 是 n×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是 A 与 B 可交换． 证 因 A，B 是 n×n 对称矩阵，即 AT=A，BT=B． 必要性：若 AB 是对称矩阵，则(AB)T=AB，有因 (AB)T =B TAT=BA，从而 AB= BA，即 A 与 B 可交换． 充分性：若 A 与 B 可交换，由必要性证明过程反图推，知 AB 是对称矩阵． 习题 2.2 1.设 A，B，C 是矩阵，且满足 AB=AC，证明：如果 A 是可逆的，则 B=C． 证 已知 AB=AC，两边左乘矩阵 A -1，有 A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C， 从而有 EB=EC，故 B=C． 2.设 P 是可逆矩阵，证明：线性方程组 AX=β与线性方程组 PAX=Pβ同解． 证 设 X (1)是 AX=β的任一解解，即有 AX (1)=β成立，两边左乘矩阵 P，得 PAX (1)=Pβ，说

明X"也是PAX=PB的解 反之,设X是PAX=PB的任一解,即有PAX°=PB成立,两边左乘矩阵P,得P(PAX)= P(Pβ),根据结合律得(PP)AX=(PP)β,从而有AX=β,这说明X也是AX=B的解 综合以上可知,线性方程组AX=B与线性方程组PAX=PB同解 3.设P是n×n可逆矩阵,C是n×m矩阵.证明:矩阵方程PX=C有唯一解. 证令X'=PC,代入PX=C中验证知X是矩阵方程的一个解.反之,设X是矩阵方程PX=C 的任一解,即有PX=C成立,两边左乘P得,X=PC=x,所以矩阵方程PX=C有唯 4.设A是n×n可逆矩阵,且存在一个整数m使得A"=0.证明:(E-A)是可逆的,并且 (E-A)=E+A+…+A 证由于(E-A)(E+A+…+Am)=E+A+…+A-A-A2-…-A"=E-A"=E-0=E 显然交换(E-A)和(E+A+…+A)的次序后相乘结果仍成立,根据逆阵的定义知 (E-A)=E+A+…+A 设P,A都是n×n矩阵,其中P是可逆的,m是正整数.证明:(PAP)PA"P 证(PAP)=(PAP)(PAP)(PAP)…(PAP) =PA(PP)APP)…AP= PAEAE…AP=PAP 6.设A,B都是n×n可逆矩阵,(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的,是否有 (A+B)=A-+B?若不是,试举出反例 解如果A,B都是n×n可逆矩阵,(A+B)不一定是可逆的例如A ,B= 都是可逆的,但A+B= 是不可逆的 如果(A+B)是可逆的,也不能说(A+B)=A2+B.例如A 可逆,A+B=/20 1/20 可逆,且(A+B) 01/2 但AB=/10 然(A+B)≠A+B 7∵.设A,B都是n×n矩阵,满足ABA=A,β是n×1矩阵.证明:当且仅当ABB=B时,线 性方程组AX=B有解. 证当ABB=B时,记X=BB,即X是AX=B的一个解. 反之,若线性方程组AX=B有解,设X是它的一个解,即有AX=B,两边左乘(AB)得 (ABA)X =AB B 用已知条件ABA=A代到上式左边得 AX=AB B 由于X是AX=B的一个解,即AX=B,所以ABB=B 习题2.3 1.用行和列的初等变换将矩阵A化成 的形式

明 X (1)也是 PAX=Pβ的解． 反之，设 X (2)是 PAX=Pβ的任一解，即有 PAX (2)=Pβ成立，两边左乘矩阵 P -1，得 P -1 (PAX (2))= P -1 (Pβ)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有 AX (2)=β，这说明 X (2)也是 AX=β的解． 综合以上可知，线性方程组 AX=β与线性方程组 PAX=Pβ同解． 3.设 P 是 n×n 可逆矩阵，C 是 n×m 矩阵．证明：矩阵方程 PX=C 有唯一解． 证 令 X *=P -1C，代入 PX=C 中验证知 X *是矩阵方程的一个解．反之，设 X (1)是矩阵方程 PX=C 的任一解，即有 PX (1)=C 成立，两边左乘 P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程 PX=C 有唯一解． 4. 设 A 是 n×n 可逆矩阵，且存在一个整数 m 使得 A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且 (E-A) -1=E+A+…+A m-1． 证 由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m=E-A m=E-0=E 显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知 (E-A) -1=E+A+…+A m-1． 5.设 P，A 都是 n×n 矩阵，其中 P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP) m=P -1A mP． 证 (P -1AP) m=(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP) =P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE…AP=P -1A mP 6. 设 A，B 都是 n×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有 (A+B) -1=A -1+B -1？若不是，试举出反例． 解 如果 A，B 都是 n×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如 A=       0 1 1 0 ，B=         0 1 1 0 都是可逆的，但 A+B=       0 0 0 0 是不可逆的． 如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B) -1=A -1+B -1．例如 A=       0 1 1 0 ，B=       0 1 1 0 ，则 A，B 可逆，A+B=       0 2 2 0 可逆，且(A+B) -1=       0 1/ 2 1/ 2 0 ，但 A -1+B -1=       0 1 1 0 +       0 1 1 0 =       0 2 2 0 ．显 然(A+B) -1≠A -1+B -1． 7 *.设 A，B 都是 n×n 矩阵，满足 ABA=A，β是 n×1 矩阵．证明：当且仅当 ABβ=β时，线 性方程组 AX=β有解． 证 当 ABβ=β时，记 X *=Bβ，即 X *是 AX=β的一个解． 反之，若线性方程组 AX=β有解，设 X (1)是它的一个解，即有 AX (1)=β，两边左乘(AB)得 (ABA)X (1)=ABβ 用已知条件 ABA=A 代到上式左边得 AX (1)=ABβ 由于 X (1)是 AX=β的一个解，即 AX (1)=β，所以 ABβ=β． 习题 2.3 1.用行和列的初等变换将矩阵 A 化成       0 0 E 0 的形式：

230 24-20 1210 -1210 20000-40030-41 解 306-11030-4103001 03001)(03001)(000-40 1-1210 0)(10000 030-4110300001000 0004010004000100 00000)(00000丿(00000 2用初等变换判定下列矩阵是否可逆,如可逆,求出它们的逆矩阵 3-45 ①2-1 ②2-31 3-5-1 1-1010 00-2-110|→ 43-1001)(011201 101/21/20 011201|-0103/21/21 00-2-110)(0011/2-1/20 200211)(10011/21/2 0103/21/21-0103/21/21 0011/2-1/20)(0011/2-1/20 1/21/2 所给矩阵可逆,其逆阵为3/21/21 1/2-1/20 3-45100(3-45 100 ②2-31010-0-1/3-7/3-2/310 001)(0-1 6 0172-30-010-518-7 0011-31)(001

A=           0 3 0 0 1 3 0 6 1 1 2 2 4 2 0 1 1 2 1 0 解           0 3 0 0 1 3 0 6 1 1 2 2 4 2 0 1 1 2 1 0 →          0 3 0 0 1 0 3 0 4 1 0 0 0 4 0 1 1 2 1 0 →          0 0 0 4 0 0 3 0 0 1 0 3 0 4 1 1 1 2 1 0 →         0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 4 1 1 1 2 1 0 →       0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 →       0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵： ①           4 3 1 2 1 1 2 1 1 ②           3 5 1 2 3 1 3 4 5 解 ①           4 3 1 0 0 1 2 1 1 0 1 0 2 1 1 1 0 0 →          0 1 1 2 0 1 0 0 2 1 1 0 2 1 1 1 0 0 → →          0 0 2 1 1 0 0 1 1 2 0 1 2 1 1 1 0 0 →         0 0 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1 0 3/ 2 1/ 2 1 2 1 0 1/ 2 1/ 2 0 → →       0 0 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1 0 3/ 2 1/ 2 1 2 0 0 2 1 1 →       0 0 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1 0 3/ 2 1/ 2 1 1 0 0 1 1/ 2 1/ 2 所给矩阵可逆，其逆阵为       1/ 2 1/ 2 0 3/ 2 1/ 2 1 1 1/ 2 1/ 2 ②           3 5 1 0 0 1 2 3 1 0 1 0 3 4 5 1 0 0 →              0 1 6 1 0 1 0 1/ 3 7 / 3 2 / 3 1 0 3 4 5 1 0 0 →          0 0 1 1 3 1 0 1 7 2 3 0 3 4 5 1 0 0 →             0 0 1 1 3 1 0 1 0 5 18 7 3 4 0 4 15 5