乙变换的求法 1.级数求和法 极点幅值=1→信号不 例1:求f(t)=1()的Z变换 发散也不收敛 F(z)=z{lt)=1+z-+z2+ 例2:求f(t)=et,t0的Z变换 F(x)= →f(nT) z+1 F(z)=>e-an z-m=1+e-aTz-+e-2az-2+ z∝>0时极点幅值<1中信号收敛 1-e-axz-eaα<0时极点幅值>1→信号发散 特例:若∫(nT)=a",则F(z) 1 a=e 4-a a>1时信号发散;|l<1时信号收敛;|a|=1时信号恒值或 等幅振荡(不发散也不收敛)
21 例1：求 f(t) = 1(t) 的 Z 变换 １. 级数求和法 Z变换的求法 z 1 z 1 z 1 F(z ) 1 - = - = - = = + - - + - - + = - - T 1 2 T 2 n 0 nT n F(z ) e z 1 e z e z T 1 T z e z 1 e z 1 F(z ) - - - - = - = F(z) = Z1(t )= 1+ z -1 + z -2 + 例2：求 f(t) = e-αt ，t≥0 的 Z 变换 极点幅值=1 信号不 发散也不收敛 α>0时,极点幅值<1 信号收敛 α<0时,极点幅值>1 信号发散 z a z 1 a z 1 f ( nT ) a , F( z ) 1 n - = - = = 特例：若 则 - |a|>1时,信号发散；|a|<1时,信号收敛；|a|=1时,信号恒值或 等幅振荡（不发散也不收敛） （a = e -T ） ? 1 f ( nT ) z z F(z) + =
例3:求ft)=sin(ot)的Z变换 Sinats e/ar e Jat ,运用例2的结果得 z sinaT F(x)=2-2zc0m7+ T 0 极点为p12=csoT± jinan 2 极点在乙平面的位置 相异极点的幅值=1→信号不发散也不收敛 22
22 z 2z cos T 1 zsin T F(z ) 2 - + = 例3：求 f(t) = sin(ωt) 的 Z 变换 ，运用例2的结果得 2 j e e sin t jt jt - - = 极点为 p1,2 = cosT jsinT 相异极点的幅值=1 信号不发散也不收敛 T 1 p 2 p 0 j 极点在Z平面的位置 1
例4:求f(t)= e-at sin(ot的z变换 a-jo )t (a+jo )t oT e sin ot 运用例2的结果得 P ze u sin gT 极点在Z平面的位置 2ze-a cost+e 2al C<0 极点为p12=em( COs OT± sinai) T α>0时极点幅值<1→信号收敛 α<0时极点幅值>1→信号发散 a=0时相异极点的幅值=1→等幅振荡极点在平面的位置 >0 23
23 例4：求 f(t) = e-αt sin(ωt)的 Z 变换 运用例 的结果得 ， 2 2 j e e e sin t ( j )t ( j )t t - - - + - - = 2 T 2 T T z 2ze cos T e ze sin T F( z ) - - - - + = p e (cos T jsin T ) T 1,2 = 极点为 - α>0时,极点幅值<1 信号收敛 α<0时,极点幅值>1 信号发散 α=0时,相异极点的幅值=1 等幅振荡 T 1 p 2 p 0 j 极点在Z平面的位置 1 ( 0 ) T 1 p 2 p 0 j 极点在Z平面的位置 1 ( 0 )
例4的特例:f(nT)=a"sin(Bn),a为正实数 T a=e B=aT PI za Sun F(x)= B z-2za cos B+a 极点为 pn,2=m(coB±jsin B) P 极点在Z平面的位置 a<1时极点幅值<1→信号收敛 a>1时极点幅值>1→信号发散 a=1时互异极点幅值=1→等幅振荡 24
24 a<1时,极点幅值<1 信号收敛 a>1时,极点幅值>1 信号发散 a=1时,互异极点幅值=1 等幅振荡 p a(cos jsin ) z 2zacos a za sin F(z ) 1,2 2 2 = - + = 极点为 ， 1 p 2 p 0 j 极点在Z平面的位置 1 × × a （ ） 例 的特例： 为正实数 a e , T f ( nT ) a sin( n), a T n = = = - 4
2.部分分式法 例5:已知连续函数的拉氏变换为 s(s+a) 求Z变换 解:F(s)= f(t1)=1-em F(=ZIf(t)/ aT-I eZ (1-e-a)z (I-e-z (1-z)(1-eaz)(z-1)(z-e-a7) 注意极点的对应关系 25
25 2. 部分分式法 例5：已知连续函数的拉氏变换为 解： ( z 1 )(z e ) ( 1 e )z ( 1 z )( 1 e z ) ( 1 e )z 1 e z 1 1 z 1 F(z ) Z [ f ( t )] a T a T 1 a T 1 a T 1 1 a T 1 - - - - - - - - - - - - - = - - - = - - - = = at f (t ) 1 e - = - s a 1 s 1 F(s) + = - s( s a ) a F( s ) + = 求Z变换 注意极点的对应关系