第四章根轨迹法 41根轨迹法的基本概念 42绘制根轨迹的基本条件和规则 43特殊根轨迹 44用根轨迹法分析系统性能
第四章 根轨迹法 ◼ 4.1 根轨迹法的基本概念 ◼ 4.2绘制根轨迹的基本条件和规则 ◼ 4.3 特殊根轨迹 ◼ 4.4 用根轨迹法分析系统性能
41根轨迹法的基本概念 概述:闭环系统的动态性能与闭环极点在s 平面上的位置密切相关,系统的闭环极 点也就是特征方程式的根。当系统的某 一个或某些参量变化时,特征方程的根 在s平面上运动的轨迹称为根轨迹。 根轨迹法:直接由开环传递函数求取闭环 特征根的方法
4.1 根轨迹法的基本概念 概述: 闭环系统的动态性能与闭环极点在s 平面上的位置密切相关，系统的闭环极 点也就是特征方程式的根。当系统的某 一个或某些参量变化时，特征方程的根 在s平面上运动的轨迹称为根轨迹。 根轨迹法: 直接由开环传递函数求取闭环 特征根的方法
例二阶系统 K R(S C(s) s(0.5+1) K1=2 K 2K K1=0 G(s K1=0 s(05+1)s(S+2)s(s+2) C(S) K1=2 R +2s+K △(S)=2+2s+k1=0→52=-1±l-k 0, 2K,=2时, =时,S=-1,S2=-1K1=∞时,s=-1+j0,s2=-1-j
例 二阶系统 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0.5 1 2 2 K K K G s s s s s s s = = = + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 C s K s R s s s K = = + + ( ) 2 1 1,2 1 = + + = = − − s s s K s K 2 0 1 1 1 1 2 1 1 2 0 0 2 1 1 1 K s s K s s = = = − = = − = − 时， ， 时， ， 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 K s j s j K s j s j = = − + = − − = = − + = − − 时， ， 时，
分析: 1.K1变化时,根轨迹均位于左半s平 K 面,系统恒稳定 2根轨迹有两条,起点S=0,S2=-2 K1=2 3.0<K1<1时,闭环特征根为不相等 K1=0|k1=1 的负实根,呈过阻尼状态 K1=0 1°°4.K1=1时,闭环特征根为一对重根, K1=2 为临界阻尼状态 5.K11时,闭环特征根为共轭复根, KI 为欠阻尼状态,响应为衰减振荡 6.开环增益K可由根轨迹上对应的K1值求得。 K1为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹
6. 开环增益K可由根轨迹上对应的 K1值求得。 K1为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹.. 分析: 1. K1变化时,根轨迹均位于左半s平 面,系统恒稳定. 1 2 2.根轨迹有两条, 起点 s s = = − 0, 2 3. 0<K1 <1时,闭环特征根为不相等 的负实根,呈过阻尼状态. 4. K1=1时,闭环特征根为一对重根, 为临界阻尼状态. 5. K1>1时,闭环特征根为共轭复根, 为欠阻尼状态，响应为衰减振荡
42绘制根轨迹的基本条件和规则 421根轨迹方程: 描述闭环特征根随参数变化关系的闭环特征方程 设系统开环传递函数为 KI(-=) G(S)H(S=-N (s-p 其中k称为根轨迹增益 三/是开环零点;P是开环极点
4.2.1 根轨迹方程： 描述闭环特征根随参数变化关系的闭环特征方程 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m j j n i i K s z G s H s s p = = − = − 其中 K 称为根轨迹增益 设系统开环传递函数为 j z 是开环零点； pi 是开环极点。 4.2绘制根轨迹的基本条件和规则