例6:求f(t)= cos ot的Z变换 解∷F(s)=F(s) s-+0 s+Jo s-Jo 而 的原函数为ea,其Z变换为 S士0 1-e干ox-1 F(z) e oT jar--I 1-cos- (x-co们 1-(2 cosT+z -2zcoS@T+I 零点一般没有对应关系 26
26 例6：求 f (t ) = cosωt的Z变换 解： j T 1 j t 2 2 1 e z 1 e s jω 1 s jω 1 s jω 1 2 1 s ω s F(s ) F(s ) - - - + + = + = = 而 的原函数为 ，其Z变换为 z 2z cosω T 1 z(z-cosωT) 1 ( 2 cosωT)z z 1- cosωTz 1 e z 1 1 e z 1 2 1 F(z ) 1 2 2 1 j T 1 j T 1 - + = - + = - + - = - - - - - - 零点一般没有对应关系
乙变换的基本性质 1.线性定理 Z/1f1(t)+a2.2(t)=a1F1(x)+a2F2(x) a1,a2为常数 2.延迟定理 设t<0时,f(t)=0,Zf(t川/=F(z)则有 Z/∫(t-kT=z-F(z)式中k、T均为常量. 证:Z/(-kT川=∑fnT-km =f(-kT)z+∫(T-kT)z1+…+f(0)z-k+f(T)zk+… z∑∫(m=zF(z) 27
27 Ｚ变换的基本性质 Z [a f (t ) a f ( t )] a F (z ) a F (z ) 1 1 + 2 2 = 1 1 + 2 2 １. 线性定理 设t 0时，f (t ) = 0，Z[ f (t )] = F(z) 则有 Z[ f (t kT )] z F(z) -k - = z f ( nT )z z F(z ) f ( 0 )z f (T )z 0 f ( kT )z f (T kT )z Z [ f (t kT )] f ( nT kT )z n k n 0 k 0 1 k ( k 1 ) n n 0 - - = - - - - + - = = = = - + - + + + + - = - 2. 延迟定理 式中k、T均为常量. 证： a1 , a2 为常数
f(t) f(t-kT KT 延迟定理的直观表示 注:连续系统的迟后环节ek在离散系统中只 是zk,属于有理式,便于分析。因此,对于有 迟后环节的系统,按离散时间系统进行分析和设 计通常较连续时间系统更方便
28 注：连续系统的迟后环节 e -kTs 在离散系统中只 是 z -k，属于有理式，便于分析。因此，对于有 迟后环节的系统，按离散时间系统进行分析和设 计通常较连续时间系统更方便。 0 kT t f(t) f(t-kT) 延迟定理的直观表示
3.超前定理 Z/f(tk=F(x)-4∑fm)zn n=0 如果f0)=fT)=…=/k-1m/=0,则有 Zlf(t+kT)=Z F(z) f(t+kT f(t) 第一个表达式对应蓝色实线 的乙变换;zF(z)对应全部蓝 色线的Z变换,所以只有当 kT 0 kT 应线部分=0时才有第二个表 超前定理的直观解释达式
29 - = - + = - k 1 n 0 k k n Z[ f (t k T )] z F(z ) z f ( nT )z 3. 超前定理 Z[ f (t kT )] z F(z) k + = 如果 f (0 ) = f (T ) == f [( k - 1 )T ] = 0 ，则有 第一个表达式对应蓝色实线 的Z变换；z kF(z)对应全部蓝 色线的Z变换，所以只有当 虚线部分=0时才有第二个表 达式 0 kT t f(t) f(t+kT) 超前定理的直观解释 -kT
4.终值定理 设ft)的Z变换为F(z),且F(2)在z平面不含有单位圆上 及圆外的的极点(除z=1外),则ft)的终值为 lim f(t)=lim f(nt)=lim(1-iF(z)=lim( -DF(z) t→0 n→0 z→1 z→1 F(z)允许的极点分布区域 例:单位阶跃信号的Z变换为 F(z)= ∴lim∫(t)=lim(1-x)F(z)=1 t→0 Z平面 注:终值定理主要用于F(z)有极点1这种情况,其他情 况直接就可判断
30 lim f ( t ) lim f ( nT ) lim( 1 z )F( z ) lim( z 1 )F( z ) z 1 1 t n z 1 = = - = - → - → → → 4. 终值定理 设 f(t) 的Z变换为F(z)，且F(z) 在z平面不含有单位圆上 及圆外的的极点（除 z＝１外），则 f(t) 的终值为 z 1 z 1 z 1 F(z ) Z 1 - = - = - 例：单位阶跃信号的 变换为 lim f (t ) lim( 1 z )F( z ) 1 1 t z 1 = - = - → → 0 j Z平面 1 F(z)允许的极点分布区域 注：终值定理主要用于F(z)有极点1这种情况，其他情 况直接就可判断