今天第1年第2年第3年第n年023115.76元100×（1+0.05）元110.25元100元105元图3.1终值时间轴从时间轴中我们可以看出，今天账户中的100元存款相当于1年后的105元、2年后的110.25元、3年后的115.76元或n年后的100×（1+5%）。由此可以推导出终值的计算公式，即(3-8)S= Px(I+i)"这个时间轴还意味着，我们可以从未来的收益倒算现在的价值。例如，3年后的115.76元，即100×（1+i）相当于今天的100元，即115.76100 =(1+ 0.05)3上面所计算的是未来收入在今天的价值，这个过程被称为对未来的贴现，总结上述计算过程可以得到现值的计算公式，即S(3-9)P=(1+i)"例如：某一家庭预计10年后孩子上大学的费用需要80000元，若现在存款利率为5%那么父母现在需要为孩子存多少钱？80000P=49018元(1 + 5%)l0案例1.你究竞赢得了多少钱2.债券的估值模型3.选择投资项目的应用三、到期收益率到期收益率，是指来自于某种信用工具未来收入的现值总和与其今天的价值相等时的利率水平。（1）普通贷款的到期收益率例如，一笔面额为100元的1年期贷款，要求一年后偿还100元本金外加10元利息，求到期收益率。利用到期收益率的概念，让贷款未来偿付额的现值等于其今天的价值，这笔贷款的到期收益率计算如下：100100+101+i1101+i=100i=10%一般地，一笔普通贷款的数额为Q元期限为Ⅱ年，双方约定的年利率为r，由于到期时放贷人获得的一次性本息和为Q×（1+r）"，i表示到期收益率，则有Q×（1+r）"/（1+i）"=Q，因此对于普通贷款而言，放贷者的到期收益率等于普通贷款的单利。（2）固定支付贷款的到期收益率计算固定支付贷款的到期收益率，应使贷款今天的价值等于所有未来支付的现值之和。例如，一笔面额为10万元的抵押贷款，期限为25年，每年偿付12600元。计算这笔贷款的到期收益率，应使这笔贷款今天的价值（10万元）等于未来每年偿付项的现值之和
0 1 2 3 n 今天 第1年 第2年 第3年 第n年 100元 105元 110.25元 115.76元 100×（1+0.05）元 n 图 3.1 终值时间轴 从时间轴中我们可以看出，今天账户中的 100 元存款相当于 1 年后的 105 元、2 年后 的 110.25 元、3 年后的 115.76 元或 n 年后的 100×（1+5%) n。由此可以推导出终值的计算 公式，即 n S P 1 i （3-8） 这个时间轴还意味着，我们可以从未来的收益倒算现在的价值。例如，3 年后的 115.76 元，即 100×（1+i) 3相当于今天的 100 元，即 3 1 0.05 115.76 100 上面所计算的是未来收入在今天的价值，这个过程被称为对未来的贴现，总结上述计 算过程可以得到现值的计算公式，即 n i S P 1 （3-9） 例如:某一家庭预计 10 年后孩子上大学的费用需要 80000 元，若现在存款利率为 5%， 那么父母现在需要为孩子存多少钱？ 49018元 (1 5%) 80000 10 P 案例 1.你究竟赢得了多少钱 2.债券的估值模型 3.选择投资项目的应用 三、到期收益率 到期收益率，是指来自于某种信用工具未来收入的现值总和与其今天的价值相等时的 利率水平。 （1） 普通贷款的到期收益率 例如，一笔面额为 100 元的 1 年期贷款，要求一年后偿还 100 元本金外加 10 元利息， 求到期收益率。 利用到期收益率的概念，让贷款未来偿付额的现值等于其今天的价值，这笔贷款的到 期收益率计算如下： 10% 100 110 1 1 100 10 100 i i i 一般地，一笔普通贷款的数额为 Q 元期限为 n 年，双方约定的年利率为 r，由于到期时 放贷人获得的一次性本息和为 Q×（1+r） n，i 表示到期收益率,则有 Q×（1+r） n/（1+i） n =Q ,因此对于普通贷款而言，放贷者的到期收益率等于普通贷款的单利。 （2） 固定支付贷款的到期收益率 计算固定支付贷款的到期收益率，应使贷款今天的价值等于所有未来支付的现值之和。 例如，一笔面额为 10 万元的抵押贷款，期限为 25 年，每年偿付 12600 元。计算这笔 贷款的到期收益率，应使这笔贷款今天的价值（10 万元）等于未来每年偿付项的现值之和
即126001260012600100000=1+i(1+i)2(1+i)25i=12%更一般地，对于任何固定支付贷款，到期收益率的计算公式为：FPFPFPFP(3-10)LV-T1++（1+)+（1+i)(1+i)"(3)息票债券（又称为附息债券）的到期收益率息票债券（couponbond）是指在到期日之前每年向债券持有人支付定额的利息（息票利息），到期时再偿还事先规定的最终金额（债券面值）。例如，10年期面值为1000元的息票债券，每年需要向债券持有人支付100元的息票利息，到期日时再向持有人偿还1000元的面值。求息票债券到期收益率。息票利率等于100/1000=10%。息票债券到期收益率的计算方法就是要使该笔息票债券的所有未来支付的现值总和等于其今天的价值。根据息票债券的含义，息票债券的现值相当于所有息票利息支付额的现值总和再加上最终支付的债券面值的现值。1001001001001000P:1+i(1+i)(1+0)(1+i)"(1+i)"更一般地，对于任何息票债券，到期收益率的计算公式为：CCCFC(3-11)P=1+i(1+i)22(1+i)(1+i)(1+i)"例如某投资者以96.53元的价格买入了面值为100元，息票利率为5%，期限为10年的息票债券。那么，该投资者买入的这张息票债券到期收益率的算式为：96.53=5/(1+i)+5/(1+i)+5/(1+i)*+..+5/(1+i)"+ 100/(1+i)"0根据上述计算公式，如果一笔息票债券C、F、n是事先已知的，那么债券价格与到期收益率之间存在一定的关系，例如，一笔面额为1000元，息票利率为10%，期限为10年的息票债券的到期收益率如表3.1所示。从中，我们可以发现三个有价值的信息：（1）如果息票债券的价格等于其面值，到期收益就等于息票利率。（2）息票债券的价格与到期收益率是负向相关的。也就是说，当到期收益率上升时，债券价格下跌；反之，当到期收益率下降时，债券价格上升。（3）当债券价格低于其面值时，到期收益率要高于息票利率：而当债券价格高于面值时，到期收益率则低于息票利率。表3.1面值为1000元、息票利率为10%、期限10年的债券的到期收益率债券价格到期收益率（%）12007.1311008.48100010.0090011.7580013. 81息票债券的特例为统一公债（consol）或永续债券（perpetuity），这是一种没有到期日，不必偿还本金，永远只需要支付固定的息票利息的永久性债券。在拿破仑战争时期，英国财政部发行了最早的统一公债，时至今日仍有交易
即 12% 1 12600 1 12600 1 12600 100000 2 25 i i i i 更一般地，对于任何固定支付贷款，到期收益率的计算公式为： n i FP i FP i FP i FP LV 1 1 1 1 2 3 （3-10） （3） 息票债券（又称为附息债券）的到期收益率 息票债券（coupon bond）是指在到期日之前每年向债券持有人支付定额的利息（息票 利息），到期时再偿还事先规定的最终金额（债券面值）。 例如，10 年期面值为 1000 元的息票债券，每年需要向债券持有人支付 100 元的息票利 息，到期日时再向持有人偿还 1000 元的面值。求息票债券到期收益率。 息票利率等于 100/1000=10%。息票债券到期收益率的计算方法就是要使该笔息票债券 的所有未来支付的现值总和等于其今天的价值。根据息票债券的含义，息票债券的现值相 当于所有息票利息支付额的现值总和再加上最终支付的债券面值的现值。 n n i i i i i P 1 1000 1 100 1 100 1 100 1 100 2 3 更一般地，对于任何息票债券，到期收益率的计算公式为： n n i F i C i C i C i C P 1 1 1 1 1 2 3 （3-11） 例如某投资者以 96.53 元的价格买入了面值为 100 元，息票利率为 5％，期限为 10 年 的息票债券。那么，该投资者买入的这张息票债券到期收益率的算式为： 96.53=5/(1+i)+5/(1+i) 2+ 5/(1+i) 3+··· +5/(1+i) 10+ 100/(1+i) 10 根据上述计算公式，如果一笔息票债券 C、F、n 是事先已知的，那么债券价格与到 期收益率之间存在一定的关系，例如，一笔面额为 1000 元，息票利率为 10%，期限为 10 年的息票债券的到期收益率如表 3.1 所示。 从中，我们可以发现三个有价值的信息： （1）如果息票债券的价格等于其面值，到期收益就等于息票利率。 （2）息票债券的价格与到期收益率是负向相关的。也就是说，当到期收益率上升时， 债券价格下跌；反之，当到期收益率下降时，债券价格上升。 （3）当债券价格低于其面值时，到期收益率要高于息票利率；而当债券价格高于面值 时，到期收益率则低于息票利率。 表 3.1 面值为 1000 元、息票利率为 10%、期限 10 年的债券的到期收益率 债券价格 到期收益率（%） 1200 7.13 1100 8.48 1000 10.00 900 11.75 800 13.81 息票债券的特例为统一公债(consol )或永续债券(perpetuity)，这是一种没有到期日， 不必偿还本金，永远只需要支付固定的息票利息的永久性债券。在拿破仑战争时期，英国 财政部发行了最早的统一公债，时至今日仍有交易
统一公债的价格P计算公式简化如下：PS(3-12)式中：P一一统一公债的价格：C一一年息票利息；i一一统一公债的到期收益率。将此公式变换成：IS(3-13)p即统一公债的到期收益率。例如，债券的价格为2000元，永久性的每年支付100元利息，它的到期收益率为100/2000=5%公式（3-13）不仅可以计算永续债券的到期收益率，而且可以近似地计算息票债券的到期收益率。如果息票债券还有很长时间到期（警如说20年或者更长），就与永久支付息票利息的永续债券十分相像，那么公式(3-13)中的i就近似等于长期债券的到期收益率。所以，i，即年息票利息除以证券价格，也被称为当期收益率（currentyield)，经常被用来作为长期债券利率的近似值。（4）贴现发行债券贴现发行债券（discountbond)又称为零息债券（zero-couponbond)，这种债券的购买价格低于其面值（贴现发行），到期时按照面值偿付。与息票债券不同的是，贴现发行债券没有任何利息，发行人到期按照面值偿付。一般的，贴现发行债券的计算公式为：F(3-14)P=(1+i)"比如，某公司发行的贴现发行债券的面值是100元，期限为4年，如果这种债券的销售价格为75元，那么根据上述公式计算得：100i=7.46%75 =(1 +i)如果上述债券的期限为1年，则有：75=100(1+i)7=10075=33.3%75更一般地，对于任何1年期贴现发行债券，其到期收益率都可以写成：F-P(3-15)i=P2.利率与回报率的区别许多人都认为，知道了债券的利率，就能知道买进债券的全部收益了。例如，某投资者购买了票面利率为10%的长期债券，他认为自已获利了，但当债券利率上升时，他就会大吃一惊，债券利率上升并没有使得他获利，我们稍后可以看到（见表3.2），如果投资者这时卖出债券，他就亏本了！准确地讲，回报率（returnrate），才是衡量一个人在一个特定的时间段持有某种债券或其他有价证券所获取的收益的指标。对任何有价证券而言，回报率都是持有人的利息收入与有价证券价值变动的总和占购
统一公债的价格 P 计算公式简化如下： i C P （3-12） 式中：P——统一公债的价格； C——年息票利息； i——统一公债的到期收益率。 将此公式变换成： p C i （3-13） 即统一公债的到期收益率。 例如，债券的价格为 2000 元，永久性的每年支付 100 元利息，它的到期收益率为 100/2000=5% 公式(3-13)不仅可以计算永续债券的到期收益率，而且可以近似地计算息票债券的到 期收益率。如果息票债券还有很长时间到期(譬如说 20 年或者更长)，就与永久支付息票利 息的永续债券十分相像，那么公式(3-13)中的 i 就近似等于长期债券的到期收益率。所以， i，即年息票利息除以证券价格，也被称为当期收益率(current yield)，经常被用来作为 长期债券利率的近似值。 （4） 贴现发行债券 贴现发行债券(discount bond)又称为零息债券(zero-coupon bond)，这种债券的购买 价格低于其面值（贴现发行），到期时按照面值偿付。与息票债券不同的是，贴现发行债券 没有任何利息，发行人到期按照面值偿付。 一般的，贴现发行债券的计算公式为： n i F P 1 （3-14） 比如，某公司发行的贴现发行债券的面值是 100 元，期限为 4 年，如果这种债券的销 售价格为 75 元，那么根据上述公式计算得： 4 1 100 75 i i 7.46% 如果上述债券的期限为 1 年，则有： 33.3% 75 100 75 1 100 75 i i 更一般地，对于任何 1 年期贴现发行债券，其到期收益率都可以写成： P F P i （3-15） 2.利率与回报率的区别 许多人都认为，知道了债券的利率，就能知道买进债券的全部收益了。例如，某投资 者购买了票面利率为 10％的长期债券，他认为自己获利了，但当债券利率上升时，他就会 大吃一惊，债券利率上升并没有使得他获利，我们稍后可以看到（见表 3.2），如果投资者 这时卖出债券，他就亏本了!准确地讲，回报率(return rate)，才是衡量一个人在一个特 定的时间段持有某种债券或其他有价证券所获取的收益的指标。 对任何有价证券而言，回报率都是持有人的利息收入与有价证券价值变动的总和占购
买价格的比率。例如，面值为1000元、息票利率为10%、购买价格为1000元、持有1年后以1200元出售的息票债券，所有者在这1年中所收到的息票利息为100元，价值变动为200元（1200元一1000元）。加总这两项，并将其表示为购买价格1000元的比率，我们可以得到这种债券1年持有期的回报率为：100+200300=30%10001000表3.1表明，这种债券的到期收益率只有10%，这说明债券的回报率并不一定等于债券的到期收益率。因此，理解利率与回报率之间的区别十分重要。按到期收益率计算的债券利率，实际上反映的是债券的全部未来收益的贴现率，是债券的满期收益率，只与债券的起初买进价格有关，而与整个期间内的市场价格变化无关。因此，到期收益率是债券的内部报酬率，即由债券本身内在确定的收益率不受市场价格因素的影响。实际上，能够准确的衡量在一定时期内投资人持有债券或其他有价证券究竞能够得到多少收益的指标是回报率，这是一种外部报酬率概念。一般地，从时间t到时间t+1，持有一种债券的回报率可以表示为R-C+Pa-P(3-16)P,将公式（3-16）分解为两个部分，即R=C+Pu-PPP第一项为当期收益率ic：-.第二项是资本利得率(rateofcapitalgain)，即债券价格相对于最初购买价格的变动：PaI- P,1=gP其中，g为资本利得率。公式（3-16）可以重新表述为(3-17)R=i,+g（3-17）表明债券的回报率等于当期收益率i。与资本利得率g之和。当利率上升，意味着债券的资本利得率为负（P<P)，即发生了资本损失，如果这种损失足够大，意味着出现了负的回报率，即债券变得不具有投资价值。因此，我们看到回报率与利率存在着很大的差别，尤其是在债券价格剧烈波动引起较大的资本利得或损失的情况下，两者的差别就更大了。表3.2计算了当债券利率由10%上升到20%时，息票利率为10%的、购买价格和面值相等的不同期限债券一年期的回报率。从表3.2中可以发现几个有用的结论，这些结论适用于所有债券：(1)只有持有期与到期期限一致的债券的回报率才与最初的到期收益率相等。(2）对于到期期限长于持有期的债券而言，利率上升与债券价格负向相关，进而引起投资该债券的资本损失。(3)债券的到期日越远，利率变动引起的债券价格变动的比率就越大，当利率上升时，回报率就越低。(4）即使某一债券最初的利率很高，当利率上升时，其回报率也可能变成负数。通过上面的分析，可以知道，期限越长的债券，其价格波动受利率影响的程度就越大
买价格的比率。例如，面值为 1000 元、息票利率为 10％、购买价格为 1000 元、持有 1 年 后以 1200 元出售的息票债券，所有者在这 1 年中所收到的息票利息为 100 元，价值变动为 200 元(1200 元－1000 元)。加总这两项，并将其表示为购买价格 1000 元的比率，我们可以 得到这种债券 1 年持有期的回报率为： 30% 1000 300 1000 100 200 表 3.1 表明，这种债券的到期收益率只有 10％，这说明债券的回报率并不一定等于债 券的到期收益率。因此，理解利率与回报率之间的区别十分重要。按到期收益率计算的债 券利率，实际上反映的是债券的全部未来收益的贴现率，是债券的满期收益率，只与债券 的起初买进价格有关，而与整个期间内的市场价格变化无关。因此，到期收益率是债券的 内部报酬率，即由债券本身内在确定的收益率不受市场价格因素的影响。实际上，能够准 确的衡量在一定时期内投资人持有债券或其他有价证券究竟能够得到多少收益的指标是回 报率，这是一种外部报酬率概念。 一般地，从时间 t 到时间 t+1，持有一种债券的回报率可以表示为 t t t P C P P R 1 （3-16） 将公式（3-16）分解为两个部分，即 t t t t P P P P C R 1 第一项为当期收益率 ic: c t i P C 第二项是资本利得率(rate of capital gain)，即债券价格相对于最初购买价格的变 动： g P P P t t t 1 其中， g 为资本利得率。公式（3-16）可以重新表述为 R i g c （3-17） （3-17）表明债券的回报率等于当期收益率 ic与资本利得率 g 之和。当利率上升，意 味着债券的资本利得率为负（Pt+1＜Pt），即发生了资本损失，如果这种损失足够大，意味着 出现了负的回报率，即债券变得不具有投资价值。因此，我们看到回报率与利率存在着很 大的差别，尤其是在债券价格剧烈波动引起较大的资本利得或损失的情况下，两者的差别 就更大了。 表 3.2 计算了当债券利率由 10％上升到 20％时，息票利率为 10％的、购买价格和面值 相等的不同期限债券一年期的回报率。从表 3.2 中可以发现几个有用的结论，这些结论适 用于所有债券： （1） 只有持有期与到期期限一致的债券的回报率才与最初的到期收益率相等。 （2） 对于到期期限长于持有期的债券而言，利率上升与债券价格负向相关，进而引 起投资该债券的资本损失。 （3） 债券的到期日越远，利率变动引起的债券价格变动的比率就越大，当利率上升 时，回报率就越低。 （4） 即使某一债券最初的利率很高，当利率上升时，其回报率也可能变成负数。 通过上面的分析，可以知道，期限越长的债券，其价格波动受利率影响的程度就越大
这一结论可以解释债券市场上的一个重要事实：长期债券的价格和回报率的波动性比短期债券大。我们把由于利率变动所引起的资产回报率的风险称之为利率风险。控制利率风险是金融机构的经理和投资者经常需要关注的事情。虽然长期债务工具的利率风险很大，短期债务工具则不然，当利率上升时，短期债券的资本损失相对较小，因此利率风险也相对较小。对于任何到期期限与持有期一样的债券不存在利率风险，关键在手持有期未的价格已经固定为面值了，因此利率的变动对手这些债券持有期末的价格没有任何影响，回报率也就等于债券购买时已知的到期收益率。表3.2当利率由10%上升到20%时，面值为1000元、息票利率为10%的不同期限债券的1年期回报率（1）债券购买（2）最初的当（3）最初的价（4）下一年的价(5）资本利(6)回报率[(2)+（5）1（%)得率(%)时距离到期的期收益率（%）格（元）格(元）年数30101000503 49.7 39. 720101000516 48. 4 38. 410101000597 40. 3-30. 35101000741 25.9- 15.91021000917- 8. 3+ 1.7110100010000. 0+ 10. 0注：（4）的数值计算借助于财务计算器，根据公式（3.11）计算所得。第三节利率的风险结构（0.5学时，略讲）一、利率的风险结构1.违约风险违约风险（defaultrisk）又称为信用风险，是指证券发行人到期时不能按期还本付息的可能性。它包括两个层面：一是借款者因经营不善，没有足够的现金流来偿付到期的债务；二是借款者有足够的现金流，但他没有到期还本付息的意愿。显然，债券的违约风险越大，它对投资者的吸引力就越小，因此债券发行者所应支付的利率就越高。在到期期限相同的情况下，有违约风险的债券与无违约风险债券之间的利差被称为风险溢价（riskpremium），它是指人们为持有风险债券所必须赚取的额外利息。人们在购买某种具有一定风险的证券时，会在原有的利率水平之上要求一定的风险补偿。一般来说，信用等级越高的证券，其所需支付的风险补偿率就越低，即风险溢价越小；反之，风险补偿率就越高，即风险溢价越大。了解世界上3家著名的投资顾问公司（评级机构），穆迪、标准普尔与惠誉公司。2.流动性风险影响债券利率的另一个因素是流动性，具有流动性的资产可以在必要时以较低的成本迅速转换为现金。在其他条件相同的情况下，流动性越高的债券，债券的需求量越大，利率水平越低。3.税收因素相同期限的债券之间的利率差异，不仅体现在债券之间风险、流动性的不同，而且还受到税收因素的影响。债券持有人真正关心的是税后的实际收益，因此，在其他条件相同的情况下，税收因素不同的债券，其回报率也有差异，从而影响债券的需求。债券的需求量越大，利率水平越低。二、利率的期限结构1.预期理论预期假说的基本观点是，长期债券的利率等于在其存续期内各个短期债券预期利率的平均
这一结论可以解释债券市场上的一个重要事实：长期债券的价格和回报率的波动性比短期 债券大。 我们把由于利率变动所引起的资产回报率的风险称之为利率风险。控制利率风险是金 融机构的经理和投资者经常需要关注的事情。 虽然长期债务工具的利率风险很大，短期债务工具则不然，当利率上升时，短期债券 的资本损失相对较小，因此利率风险也相对较小。对于任何到期期限与持有期一样的债券 不存在利率风险，关键在于持有期末的价格已经固定为面值了，因此利率的变动对于这些 债券持有期末的价格没有任何影响，回报率也就等于债券购买时已知的到期收益率。 表 3.2 当利率由 10%上升到 20%时，面值为 1000 元、息票利率为 10%的不同期限债券的 1 年期回报率 （1）债券购买 时距离到期的 年数 （2）最初的当 期收益率（%） （3）最初的价 格（元） （4）下一年的价 格（元） （5）资本利 得率（%） （6）回报率[（2）+（5）]（%） 30 10 1000 503 ﹣49.7 ﹣39.7 20 10 1000 516 ﹣48.4 ﹣38.4 10 10 1000 597 ﹣40.3 ﹣30.3 5 10 1000 741 ﹣25.9 ﹣15.9 2 10 1000 917 ﹣8.3 ﹢1.7 1 10 1000 1000 0.0 ﹢10.0 注：（4）的数值计算借助于财务计算器，根据公式（3.11）计算所得。 第三节 利率的风险结构（0.5 学时，略讲） 一、利率的风险结构 1.违约风险 违约风险(default risk)又称为信用风险，是指证券发行人到期时不能按期还本付息 的可能性。它包括两个层面：一是借款者因经营不善，没有足够的现金流来偿付到期的债 务；二是借款者有足够的现金流，但他没有到期还本付息的意愿。显然，债券的违约风险 越大，它对投资者的吸引力就越小，因此债券发行者所应支付的利率就越高。 在到期期限相同的情况下，有违约风险的债券与无违约风险债券之间的利差被称为风 险溢价(risk premium)，它是指人们为持有风险债券所必须赚取的额外利息。人们在购买 某种具有一定风险的证券时，会在原有的利率水平之上要求一定的风险补偿。一般来说， 信用等级越高的证券，其所需支付的风险补偿率就越低，即风险溢价越小；反之，风险补 偿率就越高，即风险溢价越大。 了解世界上 3 家著名的投资顾问公司（评级机构），穆迪、标准普尔与惠誉公司。 2. 流动性风险 影响债券利率的另一个因素是流动性，具有流动性的资产可以在必要时以较低的成本 迅速转换为现金。在其他条件相同的情况下，流动性越高的债券，债券的需求量越大，利 率水平越低。 3.税收因素 相同期限的债券之间的利率差异，不仅体现在债券之间风险、流动性的不同，而且还 受到税收因素的影响。债券持有人真正关心的是税后的实际收益，因此，在其他条件相同 的情况下，税收因素不同的债券，其回报率也有差异，从而影响债券的需求。债券的需求 量越大，利率水平越低。 二、利率的期限结构 1. 预期理论 预期假说的基本观点是，长期债券的利率等于在其存续期内各个短期债券预期利率的平均