First derive the general formulas for ox, ay, oz in terms of r, e, and and Or, 80 and ao in terms of x,y, and z. The general relationships are as follows x=r Sine Coso r2=x2+y2+z y=r Sine Sino sine= z=r Cose x2+y2+z2 First ax, ay, and az from the chain rule a ar a a0 a az =az 0 第+a Evaluation of the many "coefficients"gives the following Cose cose(φ Sine cosφ Cose Sind ap Sine sinφ Cose and 6
6 3. First derive the general formulas for ¶ ¶x , ¶ ¶y , ¶ ¶z in terms of r,q, and f, and ¶ ¶r , ¶ ¶q , and ¶ ¶f in terms of x,y, and z. The general relationships are as follows: x = r Sinq Cosf r 2 = x2 + y2 + z2 y = r Sinq Sinf sinq = x2 + y2 x2 + y2 + z2 z = r Cosq cosq = z x2 + y2 + z2 tanf = y x First ¶ ¶x , ¶ ¶y , and ¶ ¶z from the chain rule: ¶ ¶x = è ç æ ø ÷ ¶rö ¶x y,z ¶ ¶r + è ç æ ø ÷ ¶qö ¶x y,z ¶ ¶q + è ç æ ø ÷ ¶fö ¶x y,z ¶ ¶f , ¶ ¶y = è ç æ ø ÷ ¶rö ¶y x,z ¶ ¶r + è ç æ ø ÷ ¶qö ¶y x,z ¶ ¶q + è ç æ ø ÷ ¶fö ¶y x,z ¶ ¶f , ¶ ¶z = è ç æ ø ÷ ¶rö ¶z x,y ¶ ¶r + è ç æ ø ÷ ¶qö ¶z x,y ¶ ¶q + è ç æ ø ÷ ¶fö ¶z x,y ¶ ¶f . Evaluation of the many "coefficients" gives the following: è ç æ ø ÷ ¶rö ¶x y,z = Sinq Cosf , è ç æ ø ÷ ¶qö ¶x y,z = Cosq Cosf r , è ç æ ø ÷ ¶fö ¶x y,z = - Sinf r Sinq , è ç æ ø ÷ ¶rö ¶y x,z = Sinq Sinf , è ç æ ø ÷ ¶qö ¶y x,z = Cosq Sinf r , è ç æ ø ÷ ¶fö ¶y x,z = Cosf r Sinq , è ç æ ø ÷ ¶rö ¶z x,y = Cosq , è ç æ ø ÷ ¶qö ¶z x,y = - Sinq r , and è ç æ ø ÷ ¶fö ¶z x,y = 0
Upon substitution of these"coefficients Cos6CosφaSinφ = Sine Coso+ r a0r Sine師 Cose Sind a Cosφa ay=Sine Sin ar + r 80+r Sine ao, and az cose Sine a a +0 Next or, 80, and ao from the chain rule ar (, )最剧 gain evaluation of the the many"coefficients"results in 0φVx2+y2+ 0,Vx2+y2+z2 r√x2 φ Upon substitution of these"coefficients r ay
7 Upon substitution of these "coefficients": ¶ ¶x = Sinq Cosf ¶ ¶r + Cosq Cosf r ¶ ¶q - Sinf r Sinq ¶ ¶f , ¶ ¶y = Sinq Sinf ¶ ¶r + Cosq Sinf r ¶ ¶q + Cosf r Sinq ¶ ¶f , and ¶ ¶z = Cosq ¶ ¶r - Sinq r ¶ ¶q + 0 ¶ ¶f . Next ¶ ¶r , ¶ ¶q , and ¶ ¶f from the chain rule: ¶ ¶r = è ç æ ø ÷ ¶xö ¶r q,f ¶ ¶x + è ç æ ø ÷ ¶yö ¶r q,f ¶ ¶y + è ç æ ø ÷ ¶zö ¶r q,f ¶ ¶z , ¶ ¶q = è ç æ ø ÷ ¶xö ¶q r,f ¶ ¶x + è ç æ ø ÷ ¶yö ¶q r,f ¶ ¶y + è ç æ ø ÷ ¶zö ¶q r,f ¶ ¶z , and ¶ ¶f = è ç æ ø ÷ ¶xö ¶f r,q ¶ ¶x + è ç æ ø ÷ ¶yö ¶f r,q ¶ ¶y + è ç æ ø ÷ ¶zö ¶f r,q ¶ ¶z . Again evaluation of the the many "coefficients" results in: è ç æ ø ÷ ¶xö ¶r q,f = x x2 + y2 + z2 , è ç æ ø ÷ ¶yö ¶r q,f = y x2 + y2 + z2 , è ç æ ø ÷ ¶zö ¶r q,f = z x2 + y2 + z2 , è ç æ ø ÷ ¶xö ¶q r,f = x z x2 + y2 , è ç æ ø ÷ ¶yö ¶q r,f = y z x2 + y2 , è ç æ ø ÷ ¶zö ¶q r,f = - x2 + y2 , è ç æ ø ÷ ¶xö ¶f r,q = -y , è ç æ ø ÷ ¶yö ¶f r,q = x , and è ç æ ø ÷ ¶zö ¶f r,q = 0 Upon substitution of these "coefficients": ¶ ¶r = x x2 + y2 + z2 ¶ ¶x + y x2 + y2 + z2 ¶ ¶y + z x2 + y2 + z2 ¶ ¶z
xz a yz a Ox dy 西=y+xy+0花z Note, these many"coefficients"are the elements which make up the Jacobian matrix used whenever one wishes to transform a function from one coordinate representation to another. One very familiar result should be in transforming the volume element dxdydz to r2Sinedrdedd. For example f(x,y, z)dxdydz f(x(:.4)y(r,)z(r(.)p、( drddφ r tr a a ily az-zay a Sine i rSineSind(Cose a CoseSino a Cosφo rOse(SineSinp or+-p Smn6+CoCo$西 c -it 8
8 ¶ ¶q = x z x2 + y2 ¶ ¶x + y z x2 + y2 ¶ ¶y - x2 + y2 ¶ ¶z ¶ ¶f = -y ¶ ¶x + x ¶ ¶y + 0 ¶ ¶z . Note, these many "coefficients" are the elements which make up the Jacobian matrix used whenever one wishes to transform a function from one coordinate representation to another. One very familiar result should be in transforming the volume element dxdydz to r2Sinqdrdqdf. For example: õóf(x,y,z)dxdydz = õ ô ô ó f(x(r,q,f),y(r,q,f),z(r,q,f)) ï ï ï ï ï ï ï è ç ï æ ø ÷ ¶xö ¶r qf è ç æ ø ÷ ¶xö ¶q rf è ç æ ø ÷ ¶xö ¶f rq è ç æ ø ÷ ¶yö ¶r qf è ç æ ø ÷ ¶yö ¶q rf è ç æ ø ÷ ¶yö ¶f rq è ç æ ø ÷ ¶zö ¶r qf è ç æ ø ÷ ¶zö ¶q rf è ç æ ø ÷ ¶zö ¶f rq drdqdf a. Lx = -h i îï í ïì þï ý ïü y ¶ ¶z - z ¶ ¶y Lx = -h i è ç æ ø ÷ ö rSinqSinf è ç æ ø ÷ ö Cosq ¶ ¶r - Sinq r ¶ ¶q - -h i è ç æ ø ÷ ö rCosq è ç æ ø ÷ ö SinqSinf ¶ ¶r + CosqSinf r ¶ ¶q + Cosf rSinq ¶ ¶f Lx = - -h i è ç æ ø ÷ ö Sinf ¶ ¶q + CotqCosf ¶ ¶f b. Lz = -h i ¶ ¶f = - ih- ¶ ¶f Lz = -h i è ç æ ø ÷ ö -y ¶ ¶x + x ¶ ¶y
4 d-B 4x4-12x2+3 16x3-24x 48x2-24 lI 20 60X iii. e3x+e-3x 3(e3x-e-3x)9( -4x+2 B(v)is an eigenfunction of A(i) (1-x2) dx b(v 24x-24x3-12x3+3x 36x3+27x 9(4x3-3x)(eigenvalue is-9) B(iii )is an eigenfunction of A(ii x)(eigenvalue is 9) B(ii )is an eigenfunction of A(iii) d
9 4. B dB/dx d 2B/dx2 i. 4x4 - 12x2 + 3 16x3 - 24x 48x2 - 24 ii. 5x4 20x3 60x2 iii. e 3x + e-3x 3(e3x - e-3x) 9(e3x + e-3x) iv. x2 - 4x + 2 2x - 4 2 v. 4x3 - 3x 12x2 - 3 24x B(v.) is an eigenfunction of A(i.): (1-x2) d2 dx2 - x d dx B(v.) = (1-x2) (24x) - x (12x2 - 3) 24x - 24x3 - 12x3 + 3x -36x3 + 27x -9(4x3 -3x) (eigenvalue is -9) B(iii.) is an eigenfunction of A(ii.): d2 dx2 B(iii.) = 9(e3x + e-3x) (eigenvalue is 9) B(ii.) is an eigenfunction of A(iii.): x d dx B(ii.) = x (20x3)
20 4(5x4)(eigenvalue is 4) B() is an eigenfunction of A(vi dx2- 2x dx b(= (48x2-24)-2x(16x3-24x) 48x2-24-32x4+48x2 -32x4+96x2-24 8(4x4-12x2+3)(eigenvalue is-8) B(iv )is an eigenfunction of A(v. x dx2 +(I-x)dx B(iv) x(2)+(1-x)(2x-4) 2x+2x-4-2x2+4x 2x2+8x-4 -2(x2-4x +2)(eigenvalue is-2)
10 20x4 4(5x4) (eigenvalue is 4) B(i.) is an eigenfunction of A(vi.): d2 dx2 - 2x d dx B(i) = (48x2 - 24) - 2x (16x3 - 24x) 48x2 - 24 - 32x4 + 48x2 -32x4 + 96x2 - 24 -8(4x4 - 12x2 + 3) (eigenvalue is -8) B(iv.) is an eigenfunction of A(v.): x d2 dx2 + (1-x) d dx B(iv.) = x (2) + (1-x) (2x - 4) 2x + 2x - 4 - 2x2 + 4x -2x2 + 8x - 4 -2(x2 - 4x +2) (eigenvalue is -2) 5