例 c()+5c(1)+6c(4)=r() 求:c(=?初值c(0)=2,(0=2且r(=6.1() L[a()+5(1)+6c()]=Lr(t)] L[a(a)]+L5(t)]+L[6c()]=6L1()] (0]+SC(s)-SC"(O]+6C(s)=6/s s2+5s+6]c(s)=+(S+5c()+C(0 6 +(S+5)c)+C(0) C()=s s2+5S+6 C(s (S+5)c(0)+C"(0 s2+5S+6 s+5S+6 响应=零初值响应+零输入响应 2S+12 C(s S(S2+5S+6)S2+5S+6 328 注:零初值响应与输入及内部结构、参数有关。对零初值响应的分析就是 对系统内部结构、参数的分析。 、传递函数 定义:线性定常系统在零初始条件下,系统输出量的L氏变换与输入量L氏变换之比,称为该系统的传递 函数G(S C(s)/R(s)=G(s) 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述: d c(t) d"c(t dc(2) dt r(t) d-c(t) d c(t) +b 式中c(t)系统输出量:r(t)系统输入量: a(i=0,1,…,n)和b(j=0,1,…,m)_与系统结构和参数有关的常系数。 于是,由定义得系统的传递函数为 hS +b( 则有C(s)=G(s)R(s);输入量R(s)经传递函数G(s)的传递后,得到了输出量C(s) 传递函数的性质:
10 例： 注：零初值响应与输入及内部结构、参数有关。对零初值响应的分析就是 对系统内部结构、参数的分析。 二、传递函数 定义：线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的 L 氏变换与输入量 L 氏变换之比，称为该系统的传递 函数 G（S） C(s)/R(s)=G(s) 设线性定常系统由下述 n 阶线性常微分方程描述： 式中 c（t）系统输出量； r（t）系统输入量； a（i =0,1,…,n）和 b(j =0,1,…,m)__与系统结构和参数有关的常系数。 于是，由定义得系统的传递函数为 则有 C（s）=G（s）R（s）; 输入量 R (s)经传递函数 G（s）的传递后，得到了输出量 C（s） 传递函数的性质：
1、传递函数是复变量s的有理分式,其分子M(s)和分母N(s)的各项系数均为实数,由系统的参数 确定。当传递函数为n阶时,即称为n阶系统 2、传递函数是物理系统的一种数学描述形式,它只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入量无关。 3、传递函数G(s)的拉氏反变换是单位脉冲响应g(t) 4、服从不同物理规律的系统可以有同样的传递函数,正如一些不同的物理现象可以用形式相同的微分方 程描述一样,故它不能反映系统的物理结构和性质 5、传递函数只描述系统的输入输出特性,而不能表征系统内部所有状况的特性。 6、传递函数是将线性定常系统的微分方程作拉氏变换后得到的,因此,传递函数的概念只能用于线性定 常系统 传递函数的零点和极点:G(s)=C(s)/R(s) 将上叙定义式的分子和分母分解因式,传递函数表达式又可表示为 G(s)c(s)=(s-z1)(8-2)…(s-zn)=k* I(s-zi) R(s)(s-n1)(s-P2)…(s-px) II(s-z,) 式中K放大系数 传递函数分子多项式的根称为传递函数的零点,传递函数分母多项式方程,即传递函数的特征方程的根称 为传递函数的极点。一般零点、极点可为实数,也可为复数,若为复数,必共轭成对出现 传递函数的求取 传递函数的求取方法很多,也很灵活,一般可由下列途径获得。 1、由系统的原理图求传递函数 2、由系统的微分方程求传递函数 3、由系统的结构图求传递函数 4、由系统的频率特性曲线求传递函数 5、由系统的响应曲线或响应的解析式求传递函数 本章主要强调由系统微分方程组建立动态结构图,并通过结构变换求取传递函数的方法。具体方法详见例 题部分 典型环节 典型环节的传递函数 控制系统是由若干元部件或环节组成的,那么一个系统的传递函数总可以分解为数不多的典型环节的传递 函数的乘积。逐个研究和掌握这些典型环节的传递函数的特性,就不难进一步综合研究整个系统的特性 1.比例环节 作用:能将输入信号放大或缩小的环节 输出量与输入量成比例关系叫比例环节,也称为无惯性环节。 比例环节的微分方程为y(t)=Kx(t) 两边取拉氏变换得Y(s)=KX(s) 比例环节的传递函数为G(s)=Y(s)/X(s)=K X(s G (s) 实际对象如:杠杆、放大器、传动链之速比、测速发电机的电压与转速 2、惯性环节(一阶环节) 这种环节具有一个储能元件,惯性环节的微分方程为 y()+y(t)=k(2)
11 1、传递函数是复变量 s 的有理分式，其分子 M（s）和分母 N（s）的各项系数均为实数，由系统的参数 确定。当传递函数为 n 阶时，即称为 n 阶系统。 2、传递函数是物理系统的一种数学描述形式，它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量无关。 3、传递函数 G(s)的拉氏反变换是单位脉冲响应 g(t)。 4、服从不同物理规律的系统可以有同样的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用形式相同的微分方 程描述一样，故它不能反映系统的物理结构和性质。 5、传递函数只描述系统的输入输出特性，而不能表征系统内部所有状况的特性。 6、传递函数是将线性定常系统的微分方程作拉氏变换后得到的，因此，传递函数的概念只能用于线性定 常系统。 传递函数的零点和极点： G(s)=C(s)/R(s) 将上叙定义式的分子和分母分解因式，传递函数表达式又可表示为： 式中 K__放大系数。 传递函数分子多项式的根称为传递函数的零点，传递函数分母多项式方程，即传递函数的特征方程的根称 为传递函数的极点。一般零点、极点可为实数，也可为复数，若为复数，必共轭成对出现。 传递函数的求取： 传递函数的求取方法很多，也很灵活，一般可由下列途径获得。 1、由系统的原理图求传递函数； 2、由系统的微分方程求传递函数； 3、由系统的结构图求传递函数； 4、由系统的频率特性曲线求传递函数； 5、由系统的响应曲线或响应的解析式求传递函数。 本章主要强调由系统微分方程组建立动态结构图，并通过结构变换求取传递函数的方法。具体方法详见例 题部分。 三、典型环节 典型环节的传递函数 控制系统是由若干元部件或环节组成的，那么一个系统的传递函数总可以分解为数不多的典型环节的传递 函数的乘积。逐个研究和掌握这些典型环节的传递函数的特性，就不难进一步综合研究整个系统的特性。 1．比例环节 作用：能将输入信号放大或缩小的环节 输出量与输入量成比例关系叫比例环节，也称为无惯性环节。 比例环节的微分方程为 y(t)= K x(t) 两边取拉氏变换得 Y（s）=K X (s) 比例环节的传递函数为 G（s）== Y（s）/ X (s)=K 方框图 实际对象如：杠杆、放大器、传动链之速比、测速发电机的电压与转速 2、惯性环节(一阶环节) 这种环节具有一个储能元件，惯性环节的微分方程为
式中t一惯性环节的时间常数:K一环节的比例系数 两边取拉氏变换得 tS Y(s)+y(s)=KX(s) 〔S YCS) 1/τS+1 惯性环节的传递函数为G(S)=1/ts+1 考查单位阶跃响应 设x(t)=1(t),求y(t)=? x(s)= (t) t=0时,y=0:t=t时,y(t)=0.75 t=2t时,y=0.87;t=3t时,y(3t)=0.95 t=无穷时,y 动态响应曲线 3、积分环节 积分环节的输出量等于输入量对时间的积分即 xdt 其传递函数 Y(s)1 G(s)=x(s) 式中T积分时间常数。 在单位阶跃信号作用下的响应为, 如图a、b所示。 图积分环节框图及其动态响应曲线 4、微分环节 理想的微分环节是指输出量与输入量的一阶导数成正比的环节,其微分方程为: 式中t--微分时间常数 微分环节的传递函数为 a)b) 图2-9实际微分环节及其动态响应曲线 际上,微分特性总是含有惯性的,纯微分环节只是数学上的假设。实用微分环节的传递函数是
12 式中 t --惯性环节的时间常数；K--_环节的比例系数。 两边取拉氏变换得 tS Y(s)+Y(s)=K X (s) (tS+1) Y(s)= K X (s) 惯性环节的传递函数为 G（S）=1/ts+1 考查单位阶跃响应： 设 x(t)=1(t),求 y(t)=? 解： t=0 时，y=0 ； t=t 时，y(t)= 0.75 t=2t 时，y=0.87; t=3t 时， y(3t)=0.95 t=无穷时，y=1 动态响应曲线： 3、积分环节 积分环节的输出量等于输入量对时间的积分即 其传递函数 式中 T__积分时间常数。 在单位阶跃信号作用下的响应为 , b） 如图 a、b 所示。 图 积分环节框图及其动态响应曲线 4、微分环节 理想的微分环节是指输出量与输入量的一阶导数成正比的环节，其微分方程为： 式中 t --_微分时间常数。 微分环节的传递函数为 a) b) 图 2-9 实际微分环节及其动态响应曲线 实际上，微分特性总是含有惯性的，纯微分环节只是数学上的假设。实用微分环节的传递函数是
实际微分环节在单位阶跃信号作用下的响应为 如图2-9a、b所示 5、一阶微分环节 阶微分环节的微分方程为 传递函数为 6、振荡环节 振荡环节的微分方程为 y+ 25w,y+W,"=w,x 式中T振荡环节的时间常数: 图2-10振荡环节及其动态响应曲线 冫振荡环节的阻尼比 振荡环节的传递函数为 式中振荡环节的自然振荡角频率 振荡环节的动态响应为 式中。振荡环节的框图及其动态响应曲线如图2-10所示。 振荡的强度与阻尼比ξ有关,ξ值越小,振荡越强;当ξ=0时,输出量为等幅振荡曲线,振荡的频率为自 然振荡频率,ξ值越大则振荡越小:;当ξ≥1时环节输出量则为单调上升曲线:当0<ξ<1时,振荡环节的动态 响应曲线具有衰减振荡特性 7、时滞环节 时滞环节也称延迟环节。输出为输入信号的延迟 数学表达式为 图2-11时滞环节及其动态响应曲线 式中τ延迟时间 传递函数为(将时滞环节展开成泰勒级数,并略去高次项) 从简化后的传递函数来看,时滞环节在一定条件下近似为惯性环节。 时滞环节的动态响应如图2-1B所示,输出与输入波形相同,但延迟了时间,系统中有延迟环节时,可能 使系统变得不稳定,且τ越大对系统的稳定越不利 四、一般传递函数获取: 步骤: 1.了解原理,找出输入、输出(r(t),y(t)) 2.列原始方程(各环节方程) 3.消去中间变量 4.在零初始条件下,取L变换 例1.无源网络 例2.运放组成环节的传递函数 例3.直流电机电拖控制 可看到 不同的物理系统,可得到系统的数学模型:数学模型相同的物理系统,称为相似系统。相似系统具有相同 的内在运动规律。在以后的分析中,可能不顾及具体的物理系统,而偏重于其数学模型的分析 特别说明:线性系统是由各典型环节组成,典型环节概念只适用于能用线性定常数学模型描述的系统 第四节方框图 建立自动控制系统的传递函数的图示方法-方框图(结构图、方块图)和信号流图,是控制系统结构描述 的数学方法;是描述系统各组成元、部件之间的信号传递关系的数学图形。(控制系统是由一些典型环节组成
13 实际微分环节在单位阶跃信号作用下的响应为 如图 2-9 a、b 所示。 5、一阶微分环节 一阶微分环节的微分方程为 传递函数为 6、振荡环节 振荡环节的微分方程为 式中 T__振荡环节的时间常数； 图 2-10 振荡环节及其动态响应曲线 ζ振荡环节的阻尼比。 振荡环节的传递函数为 式中 振荡环节的自然振荡角频率。 振荡环节的动态响应为 式中 。振荡环节的框图及其动态响应曲线如图 2-10 所示。 振荡的强度与阻尼比ζ有关，ζ值越小，振荡越强；当ζ=0 时，输出量为等幅振荡曲线，振荡的频率为自 然振荡频率, ζ值越大则振荡越小；当ζ≥1 时环节输出量则为单调上升曲线；当 0<ζ<1 时，振荡环节的动态 响应曲线具有衰减振荡特性。 7、时滞环节 时滞环节也称延迟环节。输出为输入信号的延迟。 数学表达式为 图 2-11 时滞环节及其动态响应曲线 式中 τ延迟时间。 传递函数为 （将时滞环节展开成泰勒级数，并略去高次项） 从简化后的传递函数来看，时滞环节在一定条件下近似为惯性环节。 时滞环节的动态响应如图 2-11B 所示，输出与输入波形相同，但延迟了时间，系统中有延迟环节时，可能 使系统变得不稳定，且τ越大对系统的稳定越不利。 四、一般传递函数获取： 步骤： 1． 了解原理，找出输入、输出（r(t),y(t)） 2． 列原始方程（各环节方程） 3． 消去中间变量 4． 在零初始条件下，取 L 变换， 例 1． 无源网络 例 2． 运放组成环节的传递函数 例 3． 直流电机电拖控制 可看到： 不同的物理系统，可得到系统的数学模型；数学模型相同的物理系统，称为相似系统。相似系统具有相同 的内在运动规律。在以后的分析中，可能不顾及具体的物理系统，而偏重于其数学模型的分析。 特别说明：线性系统是由各典型环节组成，典型环节概念只适用于能用线性定常数学模型描述的系统 第四节方框图 建立自动控制系统的传递函数的图示方法-方框图（结构图、方块图）和信号流图，是控制系统结构描述 的数学方法；是描述系统各组成元、部件之间的信号传递关系的数学图形。（控制系统是由一些典型环节组成
的,将各环节的传递函数框图,根据系统的物理原理,按信号传递的关系,依次将各框图正确地连接起来,即 为系统的方框图。方框图是系统的又一种动态数学模型,采用方框图更便于求传递函数,同时能形象直观地表 明各信号在系统或元件中的传递过程。) 、方框图的组成 系统的方框图,是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号线组成 包括 信号线(物理量):表示系统中信号的流通方向,一般在线上标注信号所对应的变量。注意,信号只能 沿箭头方向流通,即信号的传递具有单向性 取出点:表示信号从该点取出。注意,从同一信号线上取出的信号,大小和性质完全相同。(信号引出 或测量的位置) 比较点:表示两个或两个以上信号在该点相加(+)或相减(-)。注意比较点处信号的运算符号(正、 负)必须标明,一般不标明则取正号 方框:(环节)表示输入、输出信号之间的动态传递关系,有运算关系: Y(S)=G(S)X(S) 方框输出信号等于方框输入信号与方框中传递函数的乘积 方框图的特点: 1、依据微分方程或经拉氏变换得到的变换方程,可以方便地画出结构图。再经过结构图的等效变换,便 可求出图中任意两信号(变量)间的传递函数 2、结构图对研究整个控制系统的动态性能及分析各环节对系统总体性能的影响,比较形象和直观 3、同一系统,可以画出不同形式的结构图,即结构图对所描述的系统来说不是唯一的。但是,经结构变 换所得的结果应该是相同的,即同一系统的传递函数是唯一的 4、结构图只包括与系统动态特性有关的信息,并不显现系统的物理结构,不同的物理系统有可能具有相 同的结构图 方框图的绘制步骤: 1、首先按照系统的结构和工作原理,分解出各环节,确定各元部件或环节的输入量与输出量,并写出它 的传递函数。 2、绘出各环节的动态框图,框图中标明它的传递函数,并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量。 3、将系统的输入量放在最左边,输出量放在最右边,按照信号的传递顺序把各框图依次连接起来,就构 成了系统的动态结构图。 在方框图中,沿信号传递的方向,从系统的输λ端到输出端的信号通路,称为前向通路;从系统的输出端 返回输入端的信号通路,称为反馈通路。在绘制动态结构图时,一般先按从左到右的顺序绘制出前向通路的结 构图,然后再绘制反馈通路的结构图 例2-4:画出图2-12所示电路的方框图。 图2-12例2-4电路图图2-13方框图 解:根据电路列出如下方程 由上式得 由上述各式可画出结构图如图2-13所示 联接方式 串联:环节首尾相联的方式。 X(,GI(us, G2()Ys Y (S)=G2(S)U(S)=G2(S)G1(S)X(S) 等效 X(s) G(s Y
14 的，将各环节的传递函数框图，根据系统的物理原理，按信号传递的关系，依次将各框图正确地连接起来，即 为系统的方框图。方框图是系统的又一种动态数学模型，采用方框图更便于求传递函数，同时能形象直观地表 明各信号在系统或元件中的传递过程。） 一、方框图的组成 系统的方框图，是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号线组成。 包括： 信号线（物理量）： 表示系统中信号的流通方向，一般在线上标注信号所对应的变量。注意，信号只能 沿箭头方向流通，即信号的传递具有单向性。 取出点： 表示信号从该点取出。注意，从同一信号线上取出的信号，大小和性质完全相同。（信号引出 或测量的位置） 比较点： 表示两个或两个以上信号在该点相加（+）或相减（-）。注意比较点处信号的运算符号（正、 负）必须标明，一般不标明则取正号。 方框：（环节）表示输入、输出信号之间的动态传递关系，有运算关系： Y（S）=G（S）X（S） 方框输出信号等于方框输入信号与方框中传递函数的乘积。 方框图的特点： 1、依据微分方程或经拉氏变换得到的变换方程，可以方便地画出结构图。再经过结构图的等效变换，便 可求出图中任意两信号（变量）间的传递函数。 2、结构图对研究整个控制系统的动态性能及分析各环节对系统总体性能的影响，比较形象和直观。 3、同一系统，可以画出不同形式的结构图，即结构图对所描述的系统来说不是唯一的。但是，经结构变 换所得的结果应该是相同的，即同一系统的传递函数是唯一的。 4、结构图只包括与系统动态特性有关的信息，并不显现系统的物理结构，不同的物理系统有可能具有相 同的结构图。 方框图的绘制步骤： 1、首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节，确定各元部件或环节的输入量与输出量，并写出它 的传递函数。 2、绘出各环节的动态框图，框图中标明它的传递函数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量。 3、将系统的输入量放在最左边，输出量放在最右边，按照信号的传递顺序把各框图依次连接起来，就构 成了系统的动态结构图。 在方框图中，沿信号传递的方向，从系统的输入端到输出端的信号通路，称为前向通路；从系统的输出端 返回输入端的信号通路，称为反馈通路。在绘制动态结构图时，一般先按从左到右的顺序绘制出前向通路的结 构图，然后再绘制反馈通路的结构图。 例 2-4：画出图 2-12 所示电路的方框图。 图 2-12 例 2-4 电路图 图 2-13 方框图 解：根据电路列出如下方程： 由上式得 由上述各式可画出结构图如图 2-13 所示。 二、联接方式 1．串联：环节首尾相联的方式。 Y(S)=G2(S)U(S)=G2(S)G1(S)X(S) 等效：