y2+3sn(x+)=-2y(其中②为辅助角 +3 注意到这里x∈R, sn(x+|≤1 2+3 4y2 ≤1 所求函数的值域为[一1,1] (3)这里少=16-12(sinx+cosx)+9 sin xcosX令sinx+cosx=t则有 Sin cost t=√2am(x+得te[-、2,2] 且由 (2-1)(-√2≤t≤√2) 于是有 94、2.7 √2≤t≤√2,0≤3(t 122 12√2 因此,所求函数的值域为2 (4)注意到这里y>0,且 +m2:m21:1)22:.1sy≤5/2即所求 函数的值域为 (5)注意到所给函数为偶函数,又当x20时,y=}m对+汕x 同理,当不≤0时,亦有0y≤2.:所求函数的值域为(9此0y≤2 60f()m十对+m2x则见r(x)为俱函数,且(x+2)=(x) 2是f(x)的一个正周期.①只需求出f(x)在一个周期上的取值范围 当x∈[,22,f(x)=mx+Cx x)=f(r) 又注意到
∴ ∴ 注意到这里 x∈R， ， ∴ ∴所求函数的值域为[－1，1]. （3 ）这 里 令 sinx＋ cosx＝ t 则 有 且由 于是有 ∵ ∴ 因此，所求函数的值域为 . （4）注意到这里 y>0，且 ∵ ∴ 即所求 函数的值域为 . （5）注意到所给函数为偶函数，又当 ∴此时 同理，当 亦有 . ∴所求函数的值域为 . （6）令 则易见 f（x）为偶函数，且 ∴ 是 f（x）的一个正周期. ① 只需求出 f（x）在一个周期上的取值范围. 当 x∈[0， ]时， 又注意到
为f(x)图象的一条对称轴② 只需求出f(x)在[0,4]上的最大值 丌 sinx+cosx=√2sn(x+ 而在[0,4]上 4递增.③in42x=(im2x)4 亦 递增④ 由③④得f(x)在[0,4]上单调递增 Jf①0)≤f(x)≤f( 1≤(x)≤1+2 于是由①、②、⑤得所求函数的值域为11+2] 点评:解(1)(2)运用的是基本化归方法:解(3)运用的是求解关于sinx+cosx 与 SInxcosX的函数值域的特定方法;解(4)借助平方转化;解(5)(6)则是利用函数性 质化繁为简,化暗为明.这一点在解(6)时表现得淋漓尽致 例2、求下列函数的周期 y=2sin'x+4sin xcos x+3cos"x:(2) y=sinx+cosx y (3) 6 (4).=sin x+2 sin x (5) y=lsin xlo Cosx 分析:与求值域的情形相似,求三角函数的周期,首选是将所给函数化为Aam(ax+ +k的形式,而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数,在不能利用已有认知的情况 下,设法转化为分段函数来处理 y=(1-cos 2x)+2sin 2x+3 1+cos 2x (2sin 2x+-cos 2x)+- 解:(1) 75n2x++5(其中辅助角= arctan1 T 丌 所求最小正周期 1-cos 2x 2 1+cos 2x Cos22x+ 11+co:4x、3 4
∴x＝ 为 f（x）图象的一条对称轴 ② ∴只需求出 f（x）在[0， ]上的最大值. 而在[0， ]上， 递增. ③ 亦 递增④ ∴由③④得 f（x）在[0， ]上单调递增. ∴ 即 ⑤ 于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 . 点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于 sinx＋cosx 与 sinxcosx 的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性 质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致. 例 2、求下列函数的周期： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为 ＋k 的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况 下，设法转化为分段函数来处理. 解： （1） ＝ ＝ ∴所求最小正周期 . （2） ＝ ＝ ＝