标准误差小，测量的可靠性就大一些。反之，则测量不大可靠。那么，标准误差和各测量值的实际误差之间有什么关系呢？按照随机误差的高斯理论，测量列的标准误差为S时，此测量列中任一测量值的误差有68.3%的可能性落在[-SN，+S]区间之内。我们把区间[-S，+S]称为置信区间，其相应的概率P(S)=68.3%称为置信概率。(4)、算术平均值的标准误差（方差）根据算术平均值原理，当测量次数无限增多时，其算术平均值就无限接近真值。然而，实际测量次数总是有限的，因而有限次测量的算术平均值与真值之间总是有一定的偏离的。换句话说，有限次测量的算术平均值也是有误差的。例如我们通过测量获得了一组数据，并得出一个算术平均值作为测量的结果。那么以后别人，甚至我们自己再按完全相同的情况重复这种测量时，由于随机误差的影响，不一定能得出完全相同的平均值。这种现象就是算术平均值误差的具体表现。理论分析表明，一组n个测量值的测量列标准误差S与其算术平均值标准误差S之间的关系是：SN(1-8)SVn用偏差表示则为：1Z(N, -N)?(1-9)S=Vn(n-1)台它表示在N-S，N+S，范围内包含真值N的概率为68.3%。由式（1-8）可知，随着测量次数增加S减小，这就是通常所说的增加测量次数可以减小随机误差。但由于S与n成反比，S的下降比n的增长速率慢得多，n>10后S变化极慢，所以实际测量次数一般取5～20次。但n≤10时，要获得n>10时同样的测量置信概率，S~应乘一因子。4元21例1-1：用单摆测重力加速度公式为g对摆长7测量10次，测得值如下表：T223456A8910测量次序1l/cm100.299.899.9100.2100.0100.199.9100.099.9100.1对周期T测量5次，测得值如下表：123A5测量次序T/s2.0012.0021.9982.0031.997求1和T的算术平均值I、T，算术平均偏差N、△T，某一次测量结果的I、T的标准偏差14
14 标准误差小，测量的可靠性就大一些。反之，则测量不大可靠。那么，标准误差和各测量值的实 际误差之间有什么关系呢？按照随机误差的高斯理论，测量列的标准误差为 N S 时，此测量列中任 一测量值的误差有 68.3%的可能性落在[- N S ，+ N S ]区间之内。 我们把区间[- N S ，+ N S ]称为置信区间，其相应的概率 P( N S )=68.3%称为置信概率。 ⑷、算术平均值的标准误差（方差） 根据算术平均值原理，当测量次数无限增多时，其算术平均值就无限接近真值。然而，实际 测量次数总是有限的，因而有限次测量的算术平均值与真值之间总是有一定的偏离的。换句话 说，有限次测量的算术平均值也是有误差的。例如我们通过测量获得了一组数据，并得出一个算 术平均值作为测量的结果。那么以后别人，甚至我们自己再按完全相同的情况重复这种测量时， 由于随机误差的影响，不一定能得出完全相同的平均值。这种现象就是算术平均值误差的具体表 现。 理论分析表明，一组 n 个测量值的测量列标准误差 N S 与其算术平均值标准误差 N S 之间的关 系是： n S S N N = （1-8） 用偏差表示则为： = − − = n i N Ni N n n S 1 2 ( ) ( 1) 1 （1-9） 它表示在 , N S N S N N − + 范围内包含真值 N 的概率为 68.3%。 由式（1-8）可知，随着测量次数增加 N S 减小，这就是通常所说的增加测量次数可以减小随 机误差。但由于 N S 与 n 成反比， N S 的下降比 n 的增长速率慢得多， n 10 后 N S 变化极慢，所 以实际测量次数一般取 5 ～20 次。但 n 10 时，要获得 n 10 时同样的测量置信概率， N S 应乘 一因子。 例 1-1：用单摆测重力加速度公式为 2 2 4 T l g = ，对摆长 l 测量 10 次，测得值如下表： 测量次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l/cm 100.2 99.8 99.9 100.2 100.0 100.1 99.9 100.0 99.9 100.1 对周期 T 测量 5 次，测得值如下表： 测量次序 1 2 3 4 5 T/s 2.001 2.002 1.998 2.003 1.997 求 l 和 T 的算术平均值 l、T ，算术平均偏差 l、T ，某一次测量结果的 l、T 的标准偏差
S、St，算术平均值i、T的标准偏差S,S。i=(100.2 +99.8 + 99.9 +100.2 +100.0 +100.1+99.9 +100.0+ 99.9 +100.1)cm解10100.01cmT(2.001+2.002+1.998+2.003+1.997)s~2.0002sS101N=(0.2+0.2+0.1+0.2+0.0+0.1+0.1+0.1+0.0+0.1+0.1)cm-710台10=0.11cm15AT=T-T=(0.001+0.002+0.002+0.003+0.003)s=0.0022s5台510(,- 7)2oC中0.17=cm=0.137cmS, =910- 1oa(l,- T)227° 10 6i=1ST:s=0.00260s5- 140.14S,S, =cm=0.0443cm3.1610ST-0.0026Su=s=0.00116s52.241.1.4.仪器误差1仪器的最大误差测量是用仪器或量具进行的。有的仪器比较粗糙或灵敏度较低：有的仪器比较精确或灵敏度较高，但任何仪器都存在误差。仪器误差就是指在正确使用仪器的条件下，测量所得结果的最大误差，用符号△夜表示。仪器精度的级别通常是由制造工厂和计量机构使用更精确的仪器、量具，检定比较后给出的。下面列出常见仪器的最大误差。表 1-1物理实验教学中正确使用仪器时仪器的最大误差仪仪器备注米尺0.5mm最小刻度Imm游标卡尺取卡尺分度值螺旋测微计0.004mm量程在0~50mm物理天平0.05g感量0.1g15
15 Sl、ST ，算术平均值 l、T 的标准偏差 l T S 、S 。 解 : 100.01cm (100.2 99.8 99.9 100.2 100.0 100.1 99.9 100.0 99.9 100.1)cm 10 1 l = + + + + + + + + + T (2.001 2.002 1.998 2.003 1.997)s 2.0002s 5 1 = + + + + 10 1 1 1 (0.2 0.2 0.1 0.2 0.0 0.1 0.1 0.1 0.0 0.1 0.1)cm 10 10 i i l l l = = − = + + + + + + + + + + = 0.11cm T T T s s i i (0.001 0.002 0.002 0.003 0.003) 0.0022 5 1 5 1 5 1 = − = + + + + = = 10 2 1 ( ) 0.17cm 0.137cm 10 1 9 i i l l l S = - = = = - å 5 2 6 1 ( ) 27 10 0.00260 5 1 4 i i T l l S s s - = - ´ = = = - å 0.14 cm 0.0443cm 10 3.16 l l S S = = = 0.0026 s 0.00116s 5 2.24 T T S S = = = 1.1.4.仪器误差 1 仪器的最大误差 测量是用仪器或量具进行的。有的仪器比较粗糙或灵敏度较低；有的仪器比较精确或灵敏度 较高，但任何仪器都存在误差。仪器误差就是指在正确使用仪器的条件下，测量所得结果的最大 误差，用符号 仪 表示。 仪器精度的级别通常是由制造工厂和计量机构使用更精确的仪器、量具，检定比较后给出 的。下面列出常见仪器的最大误差。 表 1-1 物理实验教学中正确使用仪器时仪器的最大误差 仪器 仪 备注 米尺 0.5mm 最小刻度 1mm 游标卡尺 取卡尺分度值 螺旋测微计 0.004mm 量程在 0 ～50mm 物理天平 0.05g 感量 0.1g