《大学物理实验》课程教学资源（实验讲义）第2章 实验数据的处理方法

第2章实验数据的处理方法科学实验的目的是为了寻找事物内在的规律性、检验理论的正确性，只有对实验过程中采集的大量数据资料进行正确的处理，才能使之成为有用的结论。在理解了前一章中测量、误差、有效数字和实验的不确定度以后，对测量过程中所记录的实验数据怎样进行正确的处理？实验结果怎样给以科学表达呢？本章主要介绍实验数据处理的基本程序和数据处理的基本方法。2.1数据处理的基本程序2.1.1直接测量数据处理的基本程序直接测量可分为多次测量和单次测量两种，数据处理的程序如流程图2-1和2-2。记录仪器的A仪1Y计算记录测量值X，的有效数字ug=0.683A（均匀分布1u-u/（正态分布）重复测量得,X…+Zx计算Xn2(3, -3)S.n(n-1)查表得a=-sL实验结果X=x土u（单位）u=yu+ug注意：末位对齐有效数字取位：E,-(p=0.683)家u首位数字≥3，取一位u首位数字<3，取两位图2-1直接多次测量数据处理流程图2.1.2间接测量数据处理的基本程序间接测量量是由直接测量量按照理论上的函数关系运算所得出的结果，间接测量的不确定度也按上一章中所述的标准差传递规律进行计算，数据处理程序如流程图2-1-3。例题2-1测量某长度L共6次，测量值分别为29.28、29.26、29.24、29.24、29.26、29.24，单位mm，仪器差限△仪=0.02mm，试计算测量结果。解：本次测量是直接多次测量，按流程图2-1所示，计算步骤如下：L=Z4=29.253mm626

26 第 2 章 实验数据的处理方法 科学实验的目的是为了寻找事物内在的规律性、检验理论的正确性，只有对实验过程中采集 的大量数据资料进行正确的处理，才能使之成为有用的结论。在理解了前一章中测量、误差、有 效数字和实验的不确定度以后，对测量过程中所记录的实验数据怎样进行正确的处理？实验结果 怎样给以科学表达呢？本章主要介绍实验数据处理的基本程序和数据处理的基本方法。 2.1 数据处理的基本程序 2.1.1 直接测量数据处理的基本程序 直接测量可分为多次测量和单次测量两种，数据处理的程序如流程图 2-1 和 2-2。 2.1.2 间接测量数据处理的基本程序 间接测量量是由直接测量量按照理论上的函数关系运算所得出的结果，间接测量的不确定度 也按上一章中所述的标准差传递规律进行计算，数据处理程序如流程图 2-1-3。 例题 2-1 测量某长度 L 共 6 次，测量值分别为 29.28、 29.26、 29.24、 29.24、 29.26、 29.24, 单位 mm，仪器差限 仪 = 0.02mm ，试计算测量结果。 解：本次测量是直接多次测量，按流程图 2-1 所示，计算步骤如下： 29.253mm 6 Li L = =  记录仪器的 记录测量值 的有效数字 重复测量得 、 . 计算 有效数字取位： u 首位数字 3，取一位 u 首位数字<3，取两位 实验结果 （单位） 注意：末位对齐 （p=0.683） 图 2-1 直接多次测量数据处理流程图

平均值的标准差为Z(L,-L)(29.2829.253)? +(29.26-29.253)*+.s(L):=0.00667mm6(61)n(n-l)查表得ta.683(n-1)=1.11后，A类不确定度为ua = to.6s3 (n-1)·s(L)=1.11×0.00667= 0.0074mmB类不确定度ug=0.683.仪=0.683×0.02=0.014mm合成不确定度为u(L)=u2+u=0.016mm（首位非零数字小于3，取2位有效数字）测量结果：L=L±u(L)=(29.253±0.016)mm(P=0.683)u(L)E.=0.05%相对误差：L函数关系N=(x,y-)1计算各直接量结果单次测量得x（有效数字）x+u,y土u."★计算=(,.)记录仪器的Λ计算N的不确定度u,=0得=g=%(x+u()"+..us=仅u-=Vxd1有效数字取位：u首位数字≥3,取一位u首位数字≥3，取一位u首位数字<3,取两位u首位数字<3，取两位1Y结果表示：N=N+U（单位）测量结果：X=x±u注意：末位对齐注意：末位对齐N相对误差；E-"相对误差：E17..x图2-3间接测量数据处理流程图图2-2直接单次测量数据处理流程图27

27 平均值的标准差为 2 2 2 ( ) (29.28 29.253) (29.26 29.253) ( ) 0.00667mm ( 1) 6(6 1) L L i s L n n − − + − +  = = = − −  查表得 t 0.683 (n − 1) = 1.11 后，A 类不确定度为 0.683 u t n s L A = −  =  = ( 1) ( ) 1.11 0.00667 0.0074mm B 类不确定度 uB =  =  = 0.683 0 683 0 02 0 014mm 仪 。 。 。 合成不确定度为 2 2 ( ) 0.016mm A B u L u u = + = （首位非零数字小于 3，取 2 位有效数字） 测量结果： L L u L =  =  ( ) (29.253 0.016)mm （P=0.683） 相对误差： 0.05 ( ) = = L u L Er ％ 记录仪器的 单次测量得 （有效数字） 得 有效数字取位： u 首位数字 3，取一位 u 首位数字<3，取两位 测量结果： 注意：末位对齐 相对误差： 图 2-2 直接单次测量数据处理流程图 计算 N 的不确定度 u 首位数字 3,取一位 u 首位数字<3,取两位 计算各直接量结果 . 函数关系 计算 结果表示： （单位） 注意：末位对齐 相对误差： 图 2-3 间接测量数据处理流程图

2.2数据处理的基本方法2.2.1列表法通过实验测量获得实验数据后，对数据进行合理的记录是一步十分重要的工作。记录数据时，一般要排列成表格形式。列表格记录数据既有条不紊，又简明要。既有助于表示出物理量之间的对应关系，也有助于检验和发现实验中的问题。列表记录并处理数据是一种良好的科学的工作习惯。数据在列表处理时，应该遵循下列原则（1）、各栏自均应标明名称及单位，若名称用自定义的符号，则需加以说明。(2)、列入表中的数据应主要是原始数据，处理过程中一些重要的中间计算结果可列入表中。(3)、栏目的顺序应分别注意数据间的联系和计算的顺序，力求简明、齐全、有条理。(4)、对数据表格应提供必要的说明和参数，包括表格名称、主要测量仪器的规格（型号、量程、准确度级别或最大允许误差等），相关环境参数等。列表法是最基本的数据处理方法，一个好的数据处理表格往往就是一份简明的实验报告。下面以使用螺旋测微器测量钢球直径D为例，列表记录和处理数据如表2-1。表2-1钢球直径D仪器：螺旋测微器（一级）0--25mmA仪=0.004mm初读数/mm测量序次末读数/mm直径D/mmD/mms(D)/mmI0. 00415. 00915. 00520. 00415.00815.004315.00350.000510.00515. 00715. 00240. 00515.00715. 00250.00415.00815. 00460. 00515. 00915. 004由表2-1中数据可知：u=tp(n-1)·s(D)查表知t,(n-1)=1.11代入上式得：ua=1.11x0.00051=0.000566mm又ug=0.683仅=0.683x0.004=0.0027mm合成不确定度为u(D）=u+u=0.0028mm（首位非零数字小于3，取两位）最终结果表达为D=D±u(D)=(15.0035±0.0028)mm（p=0.683)相对误差28

28 2.2 数据处理的基本方法 2.2.1 列表法 通过实验测量获得实验数据后，对数据进行合理的记录是一步十分重要的工作。记录数据时， 一般要排列成表格形式。列表格记录数据既有条不紊，又简明扼要。既有助于表示出物理量之间 的对应关系，也有助于检验和发现实验中的问题。列表记录并处理数据是一种良好的科学的工作 习惯。 数据在列表处理时，应该遵循下列原则 ⑴、各栏目均应标明名称及单位，若名称用自定义的符号，则需加以说明。 ⑵、列入表中的数据应主要是原始数据，处理过程中一些重要的中间计算结果可列入表中。 ⑶、栏目的顺序应分别注意数据间的联系和计算的顺序，力求简明、齐全、有条理。 ⑷、对数据表格应提供必要的说明和参数，包括表格名称、主要测量仪器的规格(型号、量程、 准确度级别或最大允许误差等)，相关环境参数等。 列表法是最基本的数据处理方法，一个好的数据处理表格往往就是一份简明的实验报告。下 面以使用螺旋测微器测量钢球直径 D 为例，列表记录和处理数据如表 2-1。 表 2-1 钢球直径 D 仪器： 螺旋测微器(一级) 0-25mm  = 仪 0.004mm 测量序次 初读数/mm 末读数/mm 直径 D/mm D / mm s D( ) / mm 1 0.004 15.009 15.005 15.0035 0.00051 2 0.004 15.008 15.004 3 0.005 15.007 15.002 4 0.005 15.007 15.002 5 0.004 15.008 15.004 6 0.005 15.009 15.004 由表 2-1 中数据可知： u t (n 1) s(D) A P = −  查表知 t (n − 1) = 1.11 P 代入上式得： uA =  = 1.11 0.00051 0.000566mm 又 uB =  =  = 0.683 0 683 0 004 0 0027mm 仪 。 。 。 合成不确定度为 2 2 ( ) 0.0028mm A B u D u u = + = （首位非零数字小于 3，取两位） 最终结果表达为 D D u D =  =  ( ) (15.0035 0.0028)mm （ p = 0.683 ） 相对误差

u(D)E.:0.02%D运算过程中，平均值D和平均值的标准差s(D)应多留一位，但D的最终结果与不确定度u(D)的末位对齐，以“末位对齐”原则来确定D的有效数字位数。例2-2用天平、游标卡尺测量圆柱体的密度实验中，直径和高度采用多次测量，质量采用单次测量，实验数据记录如表：2-2表 2-2圆柱体密度天平：游标卡尺：4卡尺=0.02mm△天平=0.05g测量序号圆柱高度H/mm圆柱直径D/mm圆柱质量m/g140.0219.96240.0419.98340.0220.0299.15440. 0020.02539.9820.00平均值40.01219.996标准差s(x)0. 01020. 0117要求：（1)、分别写出圆柱高度、直径、质量的测量结果(2)、计算密度并正确表达实验结果解：（1)、按照流程图2-1和图2-2数据处理程序，圆柱高度：H=40.012mm高度H测量的A类不确定度u,(H)=to683(5-1)-s(H)=1.14×0.0102=0.0116mmB类不确定度ug(H)=0.683.△卡尺=0.014mm合成不确定度u(H)= Ju, +u =0.019mm圆柱高度的测量结果H=H±u(H)=(40.012±0.019)mm同理，直径的测量结果D= D±u(D)=(19.996±0.020)mm质量是单次测量获得的，其不确定度为：u(m)=△天平=0.05g测量结果为29

29 0.02 ( ) = = D u D Er ％ 运算过程中，平均值 D 和平均值的标准差 s(D) 应多留一位，但 D 的最终结果与不确定度 u(D) 的末位对齐，以“末位对齐”原则来确定 D 的有效数字位数。 例 2-2 用天平、游标卡尺测量圆柱体的密度实验中，直径和高度采用多次测量，质量采用单 次测量，实验数据记录如表:2-2 表 2-2 圆柱体密度 天平:  = 天平 0 05g 。 游标卡尺：  = 卡尺 0 02mm 。 测量序号 圆柱高度 H/mm 圆柱直径 D/mm 圆柱质量 m/g 1 40.02 19.96 99.15 2 40.04 19.98 3 40.02 20.02 4 40.00 20.02 5 39.98 20.00 平均值 40.012 19.996 标准差 s(x) 0.0102 0.0117 要求：⑴、分别写出圆柱高度、直径、质量的测量结果 ⑵、计算密度并正确表达实验结果 解：⑴、按照流程图 2-1 和图 2-2 数据处理程序，圆柱高度： H = 40.012mm 高度 H 测量的 A 类不确定度 0.683 u H t s H A ( ) (5 1) ( ) 1.14 0.0102 0.0116mm = −  =  = B 类不确定度 u H B ( ) 0.683 0 014mm =   = 卡尺 。 合成不确定度 2 2 ( ) 0.019mm A B u H u u = + = 圆柱高度的测量结果 H H u H =  =  ( ) (40.012 0.019)mm 同理，直径的测量结果 D D u D =  =  ( ) (19.996 0.020)mm 质量是单次测量获得的，其不确定度为： u m( ) 0.05g =  = 天平 测量结果为

m=m±u(m)=(99.15±0.05)g(2)、按流程图2-3所示，间接测量数据密度p的计算如下：密度的平均值4m4×99.15P:XDH3.14×19.9962×40.012=0.0078949g/mm2=7.8949x10*kg/m密度的相对不确定度u(p)(u(m) +(() +(2"D)?HDpm0.050.0190.0202+(2)2=0.0021219.99699.1540.012密度测量的不确定度u(p)=u(p)p=0.00192×7.8949×103=0.017×10kg/mp实验结果：p=p±u(p)=(7.895±0.017)×10"kg/m(P=0.683)相对误差：E, - "P)% = 0.2%p通过上例看出，在数据处理过程应注意以下几点：（1)、数据运算一定遵循“有效数字运算法则”(2)、数据的运算中，应注意各物理量的单位和单位的换算。(3）、各测量量的合成不确定度的取舍，应依照首位非零数字大于等于或小于3而定位。(4)、实验结果的表达要做到“末位对齐”，并标明置信概率。（5）、要给出相对误差，以便评价测量值准确性。相对误差一般保留1位有效数字2.2.2、图示法和图解法物理规律以及物理量之间的函数关系，既可以用解析函数关系表示，也可以借助图线表示。实验产生的大量数据间的相互关系是不太直观的，仅仅通过对这些数据的观察是难以把握其中的科学内涵的。然而，通过手动作图（或算机作图）能有效地帮助人们形象地看到这些数据间的关系：从而更有效地进行处理分析与推理，这正是数据的可视化。它把形象思维和逻辑思维有机地联系在一起，从而达到启迪思维、促进科学创新的目的。工程师和科学家一般对定量的图线最感兴趣，因为定量图线能形象地、直观地表明两个变量之间的关系。特别是对那些尚未找到适当解析函数表达式的实验结果，可以从所画出的图线中去寻找相应的经验公式与可能的规律和特点。利用作图分析物理量间的关系有下列优点：(1)、把数据间的函数关系形象直观化：(2)、有利于发现个别不服从规律的数据：30

30 m m u m =  =  ( ) (99.15 0.05)g ⑵、按流程图 2-3 所示，间接测量数据密度  的计算如下： 密度的平均值 3.14 19.996 40.012 4 4 99.15 2 2    = = D H m   3 3 3 = 0.0078949g / mm = 7.894910 kg / m 密度的相对不确定度 2 2 2 ) ( ) ) (2 ( ) ) ( ( ) ( ( ) D u D H u H m u u m = + +   0.05 0.019 0.020 2 2 2 ( ) ( ) (2 ) 0.00212 99.15 40.012 19.996 = + + = 密度测量的不确定度 .3 3 3 ( ) ( ) 0.00192 7.8949 10 0.017 10 / u u kg m     =  =   =  实验结果： 3 3    =  =   u kg m ( ) (7.895 0.017) 10 / （P=0.683） 相对误差： 0 0 0 0 0.2 ( ) = =  u  Er 通过上例看出，在数据处理过程应注意以下几点： ⑴、数据运算一定遵循“有效数字运算法则”。 ⑵、数据的运算中，应注意各物理量的单位和单位的换算。 ⑶、各测量量的合成不确定度的取舍，应依照首位非零数字大于等于或小于 3 而定位。 ⑷、实验结果的表达要做到“末位对齐”，并标明置信概率。 ⑸、要给出相对误差，以便评价测量值准确性。相对误差一般保留 1 位有效数字 2.2.2、图示法和图解法 物理规律以及物理量之间的函数关系，既可以用解析函数关系表示，也可以借助图线表示。 实验产生的大量数据间的相互关系是不太直观的，仅仅通过对这些数据的观察是难以把握其中的 科学内涵的。然而，通过手动作图(或算机作图)能有效地帮助人们形象地看到这些数据间的关系， 从而更有效地进行处理分析与推理，这正是数据的可视化。它把形象思维和逻辑思维有机地联系 在一起，从而达到启迪思维、促进科学创新的目的。工程师和科学家一般对定量的图线最感兴趣， 因为定量图线能形象地、直观地表明两个变量之间的关系。特别是对那些尚未找到适当解析函数 表达式的实验结果，可以从所画出的图线中去寻找相应的经验公式与可能的规律和特点。 利用作图分析物理量间的关系有下列优点： ⑴、把数据间的函数关系形象直观化； ⑵、有利于发现个别不服从规律的数据；