常常关注的是对某一个已知的信号x(t),通过自变量变换以求得一个形式如x(at+B) 的信号,这里a和P是一个给定的数。这样一种自变量变换所得到的信号除了有一个线性的 扩展(若|a1<1)或压缩(|a|>1),时间上的反转(a<0)及移位(B≠0)外,仍旧保持有x(t) 形状。现用卜面的-…组例子给予说明。 例11已知信号x(t)如图1.13(a)所示,x(t+1)就是x(t)沿t轴左移一个单位如图1.13(b)所示。具体 地说,x(t)在t=to取得的值,在x(t+1)中发生在t=t-1,例如x(t)在t=1的值在x(t+1)中 是在t=1-1=0处得到。问样因为x(t)在t<0为零所以x(t+1)在t<-1为零;相类似因 为x(t)在t>2为零,所以x(t+1)在t>1为零。 现在考虑信号x(-t+1),这可以在x(t+1)中以t代替t来得到,这就是说,x(-t+1)就是x(t +1)的时间反转。因此x(-t+1)可以在图上以t=0为轴将x(t+1)反转而得到,如图1.13(c)所承 (t) (-t+1}) {c) t 2/34/3 d 1) 2/3 图1.13(a)用于例1.1-1.3的连续时间信号x(t),图示说明自变量变换; (b)时移信号x(t+1); (c)用时移和反转得到的x(-t+1) (d)时间尺度变换信号x(号1);(e)由时移和尺度变换得到的x(2t+1)
例12已知信号x()如图113a)所示,信号x(3)就相应于x()以因子2/作线性时间压缩如图 13d所示。具体一点就是x(t)在t=t所取得的值,在x(号t)中是在t=2to时刻得到。例 如,x()在1=1时的值,在x(24)中是在=3(1)=求得。同样,因为x(t)在<0为零,所 以有x(号小在0也为零因为x()在>2零,所以x(号2)就在1>4时为军。 例13假设对于一个给定信号x(t),想看看自变量变换的效果以求得一个形如x(a+B)的信号,这里 a,都是已知的某个数。为此,一种有条不素的途径是首先根据B的值将x(t)延时或超前,然后 再根据a的值来对这个已经延时或超前的信号进行时间尺度变换和/或时间反转。如果|a|<1, 就将该已被延时或超前的倍号进行线性扩展;如果|a|>1,就实行线性压缩,而若a<0就再作时 间反转。 为了说明这个办法,看看x(2t+1)是怎么由图13(a)的x(t)求得的。因为B=1所以首先将 x(t)超前I(即左移1),如图1.13(b)所示。因为{a=3/2所以就应将图1.13b)已左移的信号线 性压缩,压缩因子是2/3,于是就得到如图113(e)所示的信号,这就是x(2+1)。 自变量变换除了在表示一些物理现象(如声纳信号的时移、磁带的快放或倒放等)中的应 用外它在信号与系统分析中是极为有用的。在1.6节和第2章都将应用自变量变换来引入 和分析系统的性质。这些变换在定义和研究信号的某些重要性质上也是很重要的。 1.22周期信号 在全书中都会常常遇到的一类重要信号就是周期信号。一个周期连续时间信号x(t)具 有这样的性质即存在一个正值的T,对全部t来说,有 (t)=x(t+T) 换句话说,当一个周期信号时移T后其值不变。这时就说x(t)是一个周期信号,周期为T。 周期的连续时间信号出现在各种场合。例如在习题2.61中所说明的具有能量储存系统的自 然响应,像无电阻损耗的理想LC电路和无摩擦损耗的理想机械系统的自然响应都是周期的; 而且事实上它们都是由一些基本的周期信号所组成的,这些都将在1.3节讨论。 图1.14连续时间周期信号 图1.14给出了一个周期连续时间信号的例子。从该图或者从(1.11)式都能很快得出:如 果x(t)是周期的,周期为T,那么对全部t和任意整数m来说就有x(t)=x(t+mT),由此 (t)对于周期2T,3T,4T,…等等都是周期的。对于使(1.11)式成立的最小正值T称为 x(t)的基波周期T除了x(t)为一个常数外,基本周期的定义都成立;在x(t)为一常数的
情况下,基波周期无定义,因为这时对任意T来说x(t)都是周期的(所以不存在最小的正值 T)。一个信号x(t)不是周期的就称为非周期信号。 在离散时间下可类似地定义出周期信号,这就是:如果一个离散时间信号x[n]时移一个 N后其值不变,即对全部n值有 [n]=x[n+N](1.12) 则x[n]是周期的,周期为N,N为某 个正整数。若(112)式成立,那么x[n]… i1 IL 对于周期2N,3N,4N,…也都是周期 的,其中使(1.12)式成立的最小正值N 就是它的基波周期N。。图1.15示出 个基波周期N=3的离散时间周期信号 图115基波周期No=3的离散时间周期信号 的例子。 例14现在来解这么…个类型的问题即要 确定所给信号是否是屙期性的。这 -6Tr 里要确认的信号是 AVAA coe(t)如果t<0 (t)如果t≥0 图1.16所讨论的信号x(t) (1.13) 由三角学可知c8(t+2x)=ons(t),sn(t+2m)=sin(t),因此分别对t>0和t<0考虑,x(t)在 相距每2m上都确实重复无疑。然而,正如在图116所示出的,x(t)在原点有一个不连续点,而这 样的不连续点并不在其它地方重瑰。因为一个周期信号在形状上的每一个特点都必须周期性地重 现,所以可以得出x(t)不是周期的。 123偶信号与奇信号 信号的另一秤有用的性质是在时间反转 之下有关信号的对称性问题。如果一个信号 x(t)或x[n],以原点为轴反转后不变,就称 其为偶信号。在连续时间下,一个偶信号就有 x(-t)=x(t) (1.14) 而在离散时间下就有 (1.15) 如果有 x(-t)=-x(t)(1.16) [-n]=-x[n](1.17) 就称该信号为奇信号。一个奇信号在t=0或 丌=0必须为0因为(1.16)式和(117)式要求 x(0)=-x(0)和x[0]=-x[0。图117示 出奇、偶连续时间信号的例子。 图1.17(a)偶连续时间信号; 任何信号都能分解为两个信号之和,其中 (b奇连续时网信号
之一为偶信号,另一个为奇信号。为此考 虑下列信号 x问=1,n≥0 0,n<0 Gfx(t)l=x(t)+x(-t] 1.18) afx(t)=lx(t-x(-tj 8nx(t)},elx(t)分别称为x(t)的偶 6vx}=1.n=0 部和奇部。很简单地就可确认偶部是偶 信号,而奇部是奇信号,且x(t)就是两者 之和。在离散时间下上述结论也完全成 立。图1.18示出一个离散时间信号奇偶 分解的例子。 1.3指数信号与正弦信号 0,n=0 这一节和下一节要介绍几个基本的 n>0 连续时间和离散时间信号。这样做不仅 仅是因为这些信号经常出现,更重要的是 -3-2-1 它们可以用作基本的信号构造单元来构 成其它许多信号。 13.1连续时间复指数信号与正弦 图1.18离散时间信号奇偶分解的例子 信号 连续时间复指数信号具有如下形式 (t)=cea 式中C和a一般为复数。根据这些参数值的不同,复指数信号可有几种不同的特征。 实指数信号 如图1.19所示若C和a都是实数(这时x(t)就称为实指数信号),就有两种类型的特 性。若a是正实数,那么x(t)随t的增加而指数增长。这种类型的信号可以用来描述原子爆 炸或复杂化学反应中的链锁反应等很多不同的物理过程。若a是负实数则x(t)随t的增加 而指数衰减。这类信号也可用来描述诸如放射性衰变、RC电路以及有阻尼的机械系统的响 应等范围广泛的各种现象。特别是,如同在习题2.61和262中所指出的,图1.1电路和图 1.2中的汽车它们的自然响应都是指数衰减的。对于a=0,x(t)就为一常数。 周期复指数和正弦倌号 第二种重要的复指数信号是将a限制为纯虚数,特别是考虑如下信号:
该信号的一个重要性质是它是周期信 号。为了证明这一点,可以根据(1.11) 式,如果存在一个T而使下式成立 (t+T) (1.22 则x(t)就是周期的。为此 必须有 T 若如0=0,x(t)=1,这时对任何T值 都是周期的;若ω0≠0,那么使(1.23) 式成立的最小正T值,即基波周期T0 应为 (124) 可见e和eo都是具有同一基波周 期的周期信号。 和周期复指数信号密切有关的 种信号是正弦倍号 x(t)=Acs(at+φ)(1.25) 图119连续时间实指数信号x(t)=Ce 如图1.20所示。用秒作t的单位,则∮ )a>0;(b)a<0 的单位就是弧度,而c0的单位就是 rad/s一般又可写咸ao=2xf0,f0的 xf=A cos (wot 单位是周期数/秒,即Hz。和复指数信 号一样,正弦信号也是周期信号,其基 波周期T由(1.24)式确定。正弦和 周期复指数信号也可以用来描述很多 Acosφ 物理过程的特性,尤其是储存能量的物 理系统。例如在习题261指出的,LC 电路的自然响应是正弦的,机械系统的 简谐振动以及音乐中的单音声压振动 郁是正弦的。 利用欧拉( Euler)关系①,复指数信 图1.20连续时间正弦信号 号可以用与其相同基波周期的正弦信 号来表示,即 eagf= cos wnt (1.26) 而(125)式的正弦信号也能用相同基波周期的复指数信号来表示,即 ①欧拉关系和有关复数和指数运算的其他基本概念将在本章习题数学复习部分中考虑