Acos(ωt+φ) XI(t cOs w,t 会+ec 27 注意,(127)式中的两个指数信 号都有复数振幅,所以正弦信号 还可以用复指数信号表示为如 下形式: A∞x(o0+中)=A第+ 这里若c是一个复数,则‰!c X2(t)=cos wet 记作它的实部。也用乐{c!记 作c的虚部,这样就有 A sin((ant+中)=A别m|+6 从(1.24)式可以看到,连续 时间正弦信号或一个周期复指 数信号其基波周期T是与|o 成反比的(也称m为基波频 率)。由图1.21可以看出这意 Wait)=cos w3t 味着什么。如果ω减小,就减 慢了x(t)的振荡速率,因此周期 增长;相反,ω增加,振荡速率 加快,周期缩短。现在考虑ωo =0的情况,正如早先已经指出 的,这时x(t)为一常数,因此对 于任意正值T它都是周期的, 所以常数信号的基波周期无定 义。另一方面,在这种情况下若 定义一个常数信号的基波频率图1.21连续时间正弦信号基波频率和周期之间的关系,图中 为零,也就是说振荡速率为零, 也即T1<T2<T 这也不会引起什么混淆。 周期信号,尤其是(1.21)式的复指数信号和(1.25)式的正弦信号给出了具有无限能量但 有有限平均功率的这类信号的例子。例如考虑下(121)式的周期复指数信号,假设在一个 周期内计算该信号的总能量利平均功率 l·dt (1.30) 0
period (1.31) 因为随着t从-∞到+∞,有无穷多个周期,所以在整个全部时间内积分其总能量就是无限 大。该信号的每个周期都完全是一样的,因为在每个周期内信号的平均功率等于1所以在多 个周期上平均也总是得到1的平均功率。这就是说,周期复指数信号具有有限平均功率等于 P I eoo'12dt=1 (1.32) 在习题1.3中还给出了另外几个有关计算周期和非周期信号能量和功率的例子。 周期复指数信号在讨论信号与系统的大部分问题中都起着十分重要的作用,部分原因是 由于对许多其它信号来说,它们可用作极其有用的信号基本构造单元。同时,一组成谐波关系 的复指数信号也是很有用的;也就是周期复指数信号的集合,该集合内的全部信号都是周期 的,且有一个公共周期T对一个复指数信号e要成为具有周期为To的周期信号的必要条 件是 eoTo=1 (1.3) 这就意味着a是2π的倍数,即 T0=2r,k=0,±1,±2, (1.34) 此,若定义 可以得出,为满足(1.34)式,a必须是a的整倍数。这就是说,一个成谐波关系的复指数信号 的集合就是一组其基波频率是某一正频率0的整倍数的周期复指数信号,即 (t)=e-,k=0,±1,±2,… (1.36) 若k=0,()就是一个常数;而对任何其它的k值A(t)是周期的其基波频率为ka,基 波周期为 因为在任何长度为To的时间间隔内恰好通过了k|个基波周期,所以第k次谐波典4(t)对 T来说仍然是周期的。 这里用的术语“谐波”与在音乐中所用的意思是相同的,即由声压振动得到的各种音调其 频率都是某一基波频率的整倍数。例如小提琴上的一根弦的振动模式就能够当作一组成谐 波关系的周期指数信号的加权和。在第3章将看到,利用(1.36)式成谐波关系的信号作为基 本构造单元可以构成各种各样的周期信号。 例1.5有时希望把两个复指数的和化成单一的复指数和单一的正弦函数的乘积来表示。例如我们要想画 出下面信号的模 x(t)=ear+e3r (1.38) 为此可以首先将(1.38)式右边的两个复指数进行因式分解,其具体作法是将右边和式的两个指数 中的频率求得它们的平均值,然后作为公共因子提出来,为此可得 x(t)=e25(e5+e.s) 根据欧拉关系,上式可写成
x(t)=2e2.5(0.5t) (140) 从上式中就可以直接得出x(t)的模的表达 式为 x(t)|=21cs(0.5t)t(1.41) 在这里已经用到复指数e25的模总是1这 点。x(t)就是一般的全波整流过的正弦 M 波,如图122所示。 般复指数倍号 图1.22例1.5中的已经全波整流的正弦波 最一般情况下的复指数信号可以借助于已经讨论过的实指数信号和周期复指数信号来给 予表示和说明。考虑某一复指数Ce“,将C用极坐标,a用直角坐标表示,分别有 C=ICi el a=r + Ja0 那么 eat=Ici ee(r+jwo)t=I (1.42) 利用欧拉关系,可以进一步展开为 由此可见,若r=0,则复指数信号其实部和虚部都是正弦型的;而对r>0,其实部和虚部则是 x(t) A 图123(a)幅度增长的正弦信号x(t)=Ce"cs(ot+a),r>0; (b)幅度衰减的正弦信号x(t)=Ce”s(∞t+8),r<0 一个振幅为指数增长的正弦信号,以及r<0时为振幅成指数衰减的正弦信号。这两种情况 15
如图123所示,图中的虚线对应于函数土C|e"。由(142)式知道|C|e是复指数信号的振 幅,可见|C|e起着一种振荡变化的包络作用,也就是说每次振荡的峰值正好落在这两条虚线 上。这样,包络线给我们提供了一个十分方便的工具,使得我们可以看出振荡幅度的变化趋 势 具有指数衰减振幅的正弦信号常称为阻尼正弦振荡,RLC电路和包括有阻尼和恢复力在 内的机械系统(例如汽车减震系统)的响应都是这样一个指数衰减振荡的例子。这样一类系统 都具有这样的过程:随着在振荡衰减的过程中,由电阻、摩擦等阻力消耗掉能量。在习题261 和262中还能见到这样的系统,以及它们有阻尼的正弦自然响应的例子。 13.2离散时间复指数信号与正弦信号 与连续时间情况下一样,一种重要的离散时间信号是复指数信号或序列,定义为 这里C和a一般均为复数。若令a=e,则有另一种表示形式为 x[n]= ce n 虽然从形式上看,(145)式更加类似于连续时间复指数信号的表达式(1.20)式,但是在离散时 间情况下,往往把离散时间复指数序列写成(1.44)式更为方便和实用些。 实指数信号 如果C和a都是实数那么就会有如图124所示的几种特性。若|a|>1,信号随n指数 增长;a1<1,则随n指数衰减。另外,若a是正的话,则(a”的全部值都具有同一符号;而当 a为负时则x[n]的值符号交替变化。同时也注意到若a=1,x[n]就是一个常数;而当 a=-1时,xn的值就在+C和-C之间交替改变。实离散时间指数序列可以用来描述诸 如人口增长作为“代”的函数投资总回收作日月、或季度的函数等这样一些问题。 正弦信号 如果将(145)式中的局限为纯虚数(即(a|=1)的话就可以得到另一个重要的复指数 序列。具体地考虑如下序列: 和连续时间情况一样这个信号是与正弦信号密切相关的,即 x[n]=Acos(won +p) 若取n无量纲的话,那么ω和φ的量纲都应是弧度。图125中示出了三个正弦序列的例 子 和前面作法一样利用欧拉公式可以将复指数和正弦序列联系起来为 en"= cosign +i sinon (1.48) Acos(won+9)=Ae eiao "+ Ae- f e-jvan m (146)式和(1.47)式的信号就是在离散时间信号中具有无限总能量,而有有限平均功率的例 子。因为|e%1=1,(1.46)式中信号的每个样本在信号能量中的贡献都是1。因此,在-∞
图1.24实指数信号x[n]=Ca <n<+∞内的总能量就是无穷大;而在每单位时刻点上的平均功率明显地等于1。在习题 1.3中将给出计算离散时间信号能量和功率的其它例子