者可能会影响飞机接近机场和降落。 26 全书将考虑两种基本类型的信号:24 连续时间信号和离散时间信号。在前 20 种情况下,自变量是连续可变的,因18 此信号在自变量的连续值上都有定义;16 而后者是仅仅定义在离散时刻点上,也 就是自变量仅取在一组离散值上。作画12 为时间函数的语音信号和随高度变化 的大气压都是连续时间信号的例子;如6 图1.6所示的每周道·琼斯(Ixw 4 Jones)股票市场指数就是离散时间信 号的一个例子。在人口统计学的研究 4006008001000120014001600 中还可以找到其它离散时间信号的例 子,例如像平均预算、犯罪率或捕鱼I图15典型的年平均沿垂直方向风速分图(摘引自 等都可以分别对家庭大小、总人口或捕 Crawford and Hubson, National Severe Storms Labo- 鱼船的类型等离散变量列成表格形式。 ratory Report, ESSA ERLTM-NSSL 48, August 1929年1月5日 193年1月4日 图16离散时间信号的例子:从1929年1月5日至1930年1月4日, 每道琼斯股票市场指数的变化 为了区分这两类信号,我们用t表示连续时间变量,而用n表示离散时间变量。另外,连 续时间信号用圆括号(·把自变量括在里面,而离散时间信号则用方括号[·来表示。当用图 的方法来表示信号是有利时,也常常这样做。图1.7就是给出一个连续时间信号x(t)和一个 离散时间信号x[n]的例子。值得注意的是,离散时间信号x[n]仅仅在自变量的整数值上有 定义。把xn]用图来表示就是为了强调这一点,有时为了更加强调这点,就干脆称x[n 为离散时间序列。 当然。一个离散时间信号x[n]可以表示一个其自变量变化本来就是离散的现象,例如 在有关人口统计学中的一些数据就属于这类信号的例子。另一方面,有些很重要的离散时间
x(-1x 9-8-7-5-4-3-2 10 2 图1.7信号的图形表示:(a连续时间信号;(b)离散时间信号 信号则是通过对连续时间信号的采样而得到的,这时该离散时间信号x[n]则代表了一个自 变量是连续变化的连续时间信号在相继的离散时刻点上的样本值。由于近代数字处理器在速 度、计算能力及灵活性等方面的进展,因此被用来实现许多这样的实际系统,其范围涉及从数 字自动驾驶仪到一般的数字音频系统。这样的系统都要求利用代表连续时间信号经采样过的 离散时间样本序列这就是飞机的位置速度和航向,或是音频系统的语音和音乐。同样,报纸 以及本书中所用的照片实际上也都是由很多细小的点格所组成的,其中每一点就代表着相应 于原照片上该点亮度的采样。无论这些离散时间信号来源是什么,信号x[n]总是在n的整 数值上有定义,因此像所谓一个数字语音信号的第3个样本以及对某一家庭的2)个家庭 成员的平均预算等等都是毫无意义的。 本书大部分都采用分别地但是并行地讨论离散时间信号和连续时间信号以使我们能在一种 信号类型中所获得的细节有助于对另一种信号类型的理解。到第7章再回到采样问题中来,这样 我们就可以把连续时间信号和离散时间信号的概念结合起来以披露这两种信号之间的关系。 1.1.2信号能量与功率 从到目前为止所给出的例子可以看到,信号可以表示范围很广的一些现象。在很多(但不 是全部)应用中,所考虑的信号是直接与在某一物理系统中具有功率和能量的一些物理量有关 的。例如,若v(t)和i(t)分别是阻值为R的某电阻上的电压和电流,那么其瞬时功率就是 p(t)=v(r)i(t) 在时间间隔t≤t≤t内消耗的总能量就是 p()d=?()ld (1
其平均功率为 p(t)da 1-(2a2()dt (1.3) 相类似,对于图12中的汽车由于摩擦所耗散的瞬时功率是p(t)=b2(t),然后就可以按 (1.2)式和(1.3)式来定义在其一段时间内的总能量和平均功率 利用这些简单的实际例子作为楔子,就可以对任何连续时间信号x(t)或离散时间信号 x[n]采用类似的功率和能量的术语。然而,不久将会看到,往往把信号看作具有复数值更为 方便,这时在t1≤t≤t2内的总能量对于一个连续时间信号x(t)来说就定义为 (14) 这里|x记作x(可能为复散)的模。其平均功率将(14)式用t2-t1除就可得到。相类似在 n1≤n≤n2内的离散时间信号x[n]的总能量就是 I x[]12 (15) 将其除以n2-n1+1就得到在该区间内的平均功率。要牢记的是,这里所用的“功率”和“能 量”与(1.4)式和(15)式中的量是否与真正的物理量相联系是无关的①。尽管如此,我们仍发 现采用这些术语在一般意义上是方便的。 再者,在很多系统中关心的是信号在一个无穷区间内(即-∞<t<+∞或-∞<n<+ ∞)的功率和能量在这些情况下将总能量定义成按(1,4)式和(15)式将其区间趋于无穷的 极限来考虑,在连续时间情况下就是 E∞△li I r(t)12d Ix(t)12d t (16) 而在离散时间情况下就是 E。皿8tx[n]1=1x72 注意,对某些信号(1.6)式的积分或(17)式的求和可能不收敛譬如若x()或x[n]在全部 时间内都为某一非零的常数值就是这样。这样的信号具有无限的能量,而E<∞的信号具 有有限的能量 关于在无限区间内的平均功率可以类似的方式分别定义为 Po9 2T]I x()id t (18) x[n]12 (19) 利用这些定义就可以区分三种重要的信号。其中之一是信号具有有限的总能量,即E<∞。 这种信号的平均功率必须为零,因为在连续时间情况下,由(18)式可看出 ①即便这样一个关系确实 式和(14)式就可看出,若x( 轰4漆型的迅屋述 可能具有错误的量纲或大小。例如比较一下(12) 才能得出能量的单位。 么(14)式就必须被该电阻值(如以欧姆计)来除
P (1.10) 信号在0≤t≤1内其值为1,而在此以外均为0就是有限能量信号的另一个例子,这时 E∞=1,Pa=0 第二类信号是其平均功率P有限的信号。根据刚才看到的,如果P。>0,就必然有E ∞。这是很自然的,因为如果单位时间内有某一个非零的平均能量(也就是非零功率),那么 在无限区间内积分或求和就必然得出无限大的能量值。例如,常数信号x[n]=4就具有无限 能量,但是平均功率P=16。第三类信号就是Pa和E∞都不是有限的,一个例子就是信号 x(t)=t对于这三类信号的其它例子,本章稍后部分及后续各章中都会碰到。 1.2自变量的变换 信号与系统分析中一个重要的概念是关于信号的变换概念。例如,在飞机控制系统中对 应于驾驶员动作的信号,经由电的和机械的系统变换为在飞机推力或飞机控制翼面(如舵或副 翼)位置上的改变,进而再经过该机体的动力学和运动学原理变换为在飞机速度和航向上的变 化。同样,在高保真度音频系统中代表录制在一盘磁带或密纹唱片上的音乐信号,为了增强 所要求的特性除去录制噪音、或者平衡几种信号分量(如高音和低音)也作了变换。这一节只 放在很有限的但是很重要的几种最基本的信号变换上,这些变换只涉及自变量的简单变换,也 就是时间轴的变换。正如在这一节以及本章后续节中所看到的,这些基本变换可以引入信号 与系统的几个基本性质。在以后的各章中将会发现它们在定义和表征更为丰富和更加重要的 一类系统中也起着重要的作用。 1.2.1自变量变换举例 种简单而很重要的信号自变量变换 的例子是时移。在离散时间情况下的时移 如图18所示,这里有两个信号x[n]和 x[n-n0],它们在形状上是完全一样的 但在位置上互相有一个移位。在连续时间 情况遇到的时移就如图1.9所示,这里x(t 0 to)代表一个延时(to为正)的x(t),或 是一个超前(为负)的x(t)。这种形式 x[n-na 关联的信号可以在声纳地震信号处理以 及雷达等应用中找到。配置在不同地点的 几台接收机观察经由某一媒质(水、岩石 空气等)传来的同一台发射机发来的信号 0 由于各个接收点与发射机的距离不等而造 成传播时间上的差别就形成了信号间的不图1.8用时移关联的离散时间信号。图中n0>0, 同时移。 所以x[n-n0!是xn}的延时(即x[n 时间轴的第二种基本变换是时间反转 中的每一点在x[n-n0中都稍后出现)
( time reversal)。例如在图110中,x[-n]就是将x[n]以n=0为轴反转而得到的。同样图 111中,x(-t)也是从信号x(t)以t=0为轴反转而得的。这样,如果x(t)是代表一盘录制 的声音磁带的话那么x(-t)就代表同样一盘磁带倒过来放(即从末尾向前倒放)的结果。第 二种基本变换是时间尺度变换( time scaling)。在图1.12中示出了x(t),x(2t)和x(t2)三 个信号这三个信号是与自变量的线性尺度变换联系着的。倘若我们再一次把x(t)想象为一 盘录音磁带的话那么x(2t)将是这盘磁带以两倍的速度放音的结果,而x(t/2)则代表原磁 带将放音速度降低一半 xl-n 图1.9用时移关联的连续时间信号。图 中t0<0,所以x(t-t)就是一个 n 超前的x(t)(即在x(t)中的每 点在x(t-t0)中都提前出现) 图1.10(a)离散时间信号x[n] (b)x[n]以n=0为轴反转后的x[- X(一1 0 图1.11(a)连续时间信号x(t); 图1.12用时间尺度变换关联的连续时间信号 (b)x(t)以t=0为轴反转后的x(-t)