§9有理系数多项式 作为因式分解定理的一个特殊情形,有每个次数≥1的有理系数多项式都能 分解成不可约的有理系数多项式的乘积但是对于任何一个给定的多项式,要具 体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题,即使要判别一个有理系数多项式是 否可约也不是一个容易解决的问题,这一点是有理数域与复数域、实数域不同的 在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实:第一,有理系数多项式的 因式分解的问题,可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题,并进而解决 求有理系数多项式的有理根的问题.第二,在有理系数多项式环中有任意次数的 不可约多项式 有理系数多项式的有理根 f(r=ax"+a,-x+.+ao 是一个有理系数多项式选取适当的整数c乘f(x),总可以使cf(x)是一个整系数 多项式.如果cf(x)的各项系数有公因子,就可以提出来,得到 也就是 f(x)=-g(x) 其中g(x)是整系数多项式,且各项系数没有异于±1的公因子 如果一个非零的整系数多项式g(x)=bx"+bn1x1+…+b0的系数 n7n-1 b0没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原 多项式.上面的分析表明,任何一个非零的有理系数多项式f(x)都可以表示成 个有理数r与一个本原多项式g(x)的乘积,即 f(x=rg(x) 可以证明,这种表示法除了差一个正负号是唯一的亦即,如果 f(x)=rg(x)=rig(x)
§9 有理系数多项式 作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1 的有理系数多项式都能 分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具 体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是 否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的. 在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的 因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决 求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的 不可约多项式. 一、有理系数多项式的有理根 设 0 1 1 f (x) a x a x a n n n = n + + + − − 是一个有理系数多项式.选取适当的整数 c 乘 f (x) ，总可以使 cf (x) 是一个整系数 多项式.如果 cf (x) 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到 cf (x) = dg(x) , 也就是 ( ) g(x) c d f x = 其中 g(x) 是整系数多项式，且各项系数没有异于±1 的公因子. 如果一个非零的整系数多项式 0 1 1 g(x) b x b x b n n n = n + + + − − 的系数 1 0 bn ,bn− , ,b 没有异于±1 的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原 多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式 f (x) 都可以表示成一 个有理数 r 与一个本原多项式 g(x) 的乘积，即 f (x) = rg(x) . 可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果 ( ) ( ) ( ) 1 1 f x = rg x = r g x
其中g(x),g;(x)都是本原多项式,那么必有 r=土1,g(x)=±g1(x) 因为f(x)与g(x)只差一个常数倍,所以f(x)的因式分解问题,可以归结为本原 多项式g(x)的因式分解问题.下面进一步指出,一个本原多项式能否分解成两个 次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项 式的乘积的问题是一致的 定理10( Gauss引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式 定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数 多项式的乘积,那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积. 以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多 项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题 推论设f(x),g(x)是整系数多项式,且g(x)是本原多项式,如果 f(x)=g(x)h(x),其中h(x)是有理系数多项式,那么h(x)一定是整系数多项式 这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法 定理12设 f(x)=a,x"+ax 是一个整系数多项式.而一是它的一个有理根,其中r,s互素,那么 (1)s|an,rao;特别如果f(x)的首项系数an=1,那么∫(x)的有理根都是 整根,而且是a0的因子 (2)f(x)=(x--)q(x) 其中q(x)是一个整系数多项式 给了一个整系数多项式f(x),设它的最高次项系数的因数是v1,v2,…,vk,常 数项的因数是al2,…,u1那么根据定理12,欲求∫(x)的有理根,只需对有限个有 理数用综合除法来进行试验
其中 ( ), ( ) 1 g x g x 都是本原多项式，那么必有 , ( ) ( ) 1 1 r = r g x = g x 因为 f (x) 与 g(x) 只差一个常数倍，所以 f (x) 的因式分解问题，可以归结为本原 多项式 g(x) 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个 次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项 式的乘积的问题是一致的. 定理 10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数 多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积. 以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多 项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题. 推 论 设 f (x) ， g(x) 是整系 数多项式 ，且 g(x) 是本原多项 式，如果 f (x) = g(x)h(x) ，其中 h(x) 是有理系数多项式，那么 h(x) 一定是整系数多项式. 这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法. 定理 12 设 0 1 1 f (x) a x a x a n n n = n + + + − − 是一个整系数多项式.而 s r 是它的一个有理根,其中 r,s 互素,那么 (1) 0 s | an ,r | a ;特别如果 f (x) 的首项系数 an = 1 ，那么 f (x) 的有理根都是 整根，而且是 0 a 的因子. (2) ( ) ( )q(x), s r f x = x − 其中 q(x) 是一个整系数多项式. 给了一个整系数多项式 f (x) ,设它的最高次项系数的因数是 k v ,v , ,v 1 2 ,常 数项的因数是 , , , . 1 2 l u u u 那么根据定理 12,欲求 f (x) 的有理根,只需对有限个有 理数 j i v u 用综合除法来进行试验
当有理数2的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的下面的 讨论能够简化计算. 首先,1和-1永远在有理数丝中出现,而计算f(1)与f(-1)并不困难另 方面,若有理数a(≠±1)是f(x)的根,那么由定理12, f(x)=(x-a)q(x) 而q(x)也是一个整系数多项式因此商 f(-1) f()=(1)1+aq(-1) 都应该是整数这样只需对那些使商f(与(-都是整数的241来进行试 验.(我们可以假定f(1)与f(-1)都不等于零否则可以用x-1或x+1除f(x)而考 虑所得的商.) 例1求多项式 f(x)=3x+5x3+x2+5x-2 的有理根. 例2证明 ∫(x)=x2-5x+1 在有理数域上不可约 有理数域上多项式的可约性 定理13(艾森斯坦( Eisenstein)判别法)设 f∫ 是一个整系数多项式若有一个素数p,使得 1. plan: P
当有理数 j i v u 的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的 讨论能够简化计算. 首先,1 和-1 永远在有理数 j i v u 中出现,而计算 f (1) 与 f (−1) 并不困难.另一 方面,若有理数 a( 1) 是 f (x) 的根,那么由定理 12, f (x) = (x −)q(x) 而 q(x) 也是一个整系数多项式.因此商 ( 1) 1 ( 1) (1), 1 (1) = − − + − = − q a f q a f 都应该是整数.这样只需对那些使商 a f a f + − − 1 ( 1) 1 (1) 与 都是整数的 j i v u 来进行试 验.(我们可以假定 f (1) 与 f (−1) 都不等于零.否则可以用 x −1 或 x +1 除 f (x) 而考 虑所得的商.) 例 1 求多项式 ( ) 3 5 5 2 4 3 2 f x = x + x + x + x − 的有理根. 例 2 证明 ( ) 5 1 3 f x = x − x + 在有理数域上不可约. 二、有理数域上多项式的可约性 定理 13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设 0 1 1 f (x) a x a x a n n n = n + + + − − 是一个整系数多项式.若有一个素数 p ,使得 1. p an | ; 2. 1 2 0 p | an− ,an− , ,a ; 3. 0 2 p | a
则多项式f(x)在有理数域上不可约 由艾森斯坦判断法得到 有理数域上存在任意次的不可约多项式例如f(x)=x"+2.,其中n是任意 正整数 艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件. 有时对于某一个多项式f(x),艾森斯坦判断法不能直接应用,但把f(x)适当 变形后,就可以应用这个判断法 例3设p是一个素数,多项式 f(x)=x p-2 x+1 叫做一个分圆多项式,证明f(x)在Q[x]中不可约 证明:令x=y+1,则由于 (x-1)f(x)=xP-1 yf(y+1)=(y+1)2-1 y+C vp-I 令g(y)=f(y+1),于是 g(y)=y+cpy2+…+CP, 由艾森斯坦判断法,g(y)在有理数域上不可约,f(x)也在有理数域上不可约
则多项式 f (x) 在有理数域上不可约. 由艾森斯坦判断法得到: 有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如 ( ) = + 2 n f x x .,其中 n 是任意 正整数. 艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件. 有时对于某一个多项式 f (x) ,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把 f (x) 适当 变形后,就可以应用这个判断法. 例 3 设 p 是一个素数,多项式 ( ) 1 1 2 = + + + + − − f x x x x p p 叫做一个分圆多项式,证明 f (x) 在 Q[x] 中不可约. 证明：令 x = y +1 ，则由于 ( −1) ( ) = −1 p x f x x , y C y C y yf y y p p p p p p 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 − − = + + + + = + − , 令 g( y) = f ( y +1) ，于是 1 1 2 1 ( ) − − − = + + + p p p p p g y y C y C , 由艾森斯坦判断法， g( y) 在有理数域上不可约， f (x) 也在有理数域上不可约