四、函数的可导性与连续性的关系 设商数在点处可缘即巴是八)存在，则 4=m04=mgmA=/60=0. r◆4g w0△￥a0 这就是说，函数=式)在点和处是莲续的所以，如果函数=)在点x处可导。则函数在该 点必连续.0 另一方面，一个函数在某点连使却不一定在该点处可导：
四、函数的可导性与连续性的关系 设函数 y=f(x)在点 x0 处可导 即 lim ( )0 0 f x x y x = → 存在 则 lim lim lim lim ( 0 ) 0 0 0 0 0 0 = = = = → → → → x f x x y x x y y x x x x 这就是说 函数 y=f(x)在点 x0 处是连续的 所以 如果函数 y=f(x)在点 x 处可导 则函数在该 点必连续 0 另一方面 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导
计算能力模块： 例1.求函数)=C(C为常数》的导数 解四价@=色C-S0. h 0为 即(C)=0 例2.求八=二的导数 1-1 解-t外@四s巴a加 为为 例3.求x)=乐的导数 解：八m+-☒=m+历-压 lm slm 1 四Mx++回g年A+左2左 例2.求函数风x=x”(m为正整数)在处的导数， 解fra=mg@=m”-4=ln-+ax-+…+a-=e J- 把以上结果中的a换成x得了'x=r,即xY=r一 Gy4身京==m 更一般地.有(x'=a,其中为常数 例玉.求函数风=明x的导数 解：)-m+因-mnx+-sn虹 2 即(sin-sx。 用类似的方法，可求得(c0sxY=-nx. 制4.求函数凡x-a(a0,aw1)的导数. 解：f国=m+型=lng-e h =r四会世o吗。 +0g,0+0 .he. 特别地有(e-e2
计算能力模块： 例 1．求函数 f(x)=C（C 为常数）的导数 解 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → lim 0 0 = − = → h C C h 即 (C ) =0 例 2 求 x f x 1 ( )= 的导数 解 h x h x h f x h f x f x h h 1 1 lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 − + = + − = → → 2 0 0 1 ( ) 1 lim ( ) lim h x h x x h x x h h h =− + =− + − = → → 例 3 求 f (x)= x 的导数 解 h x h x h f x h f x f x h h + − = + − = →0 →0 lim ( ) ( ) ( ) lim h x h x x h x x h h h 2 1 1 lim ( ) lim 0 0 = + + = + + = → → 例 2．求函数 f(x)=x n (n 为正整数)在 x=a 处的导数 解 f (a) x a f x f a x a − − = → ( ) ( ) lim x a x n an x a − − = → lim x→a =lim (x n−1+ax n−2+ +a n−1 )=na n−1 把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)=nx n−1 即 (x n )=nx n−1 (C)=0 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = x x 更一般地 有(x )=x −1 其中为常数 例 3．求函数 f(x)=sin x 的导数 解 f (x) h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − = → h x h x h sin( ) sin lim 0 + − = → 2 )sin 2 2 cos( 1 lim 0 h h x h h = + → x h h h x h cos 2 2 sin ) 2 lim cos( 0 = + = → 即 (sin x)=cos x 用类似的方法 可求得 (cos x )=−sin x 例 4．求函数 f(x)= a x (a>0 a 1) 的导数 解 f (x) h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − = → h ax h ax h − = + →0 lim h a a h h x 1 lim 0 − = → a t 令 h−1= log (1 ) lim 0 t t a a t x → + a a e a x a x ln log 1 = = 特别地有(e x )=e x
例5.求函数凡x-logax(a0,a*)的导数。 解：m+的国=mg区+g正 -mg+-ng+9-上mhg0+ 天h司作 bog.es sha 解：x-im g+-bgm正-回og+ e0…- 即 (o 特现地仙可 g=af-号 例6.求函数x)=付在0处的导数 躲：g0-m0+0.m出。-l. 0=m1 0+-@=m出=1， 为 h 因为广0=广，(0)，所以函数x=女在=0处不可导。 例7.函数八x)=年在区间(-0，+x)内连续，但在点0处不可导.这是因为函数在点0 处导数为无穷大 0+处四=听 例8。求等边双由线=上在点片2)处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线 方程 解：广=是，所求切线及法线的斜率分别为 44,与=子
例 5．求函数 f(x)=log a x (a>0 a 1) 的导数 解 h x h x h f x h f x f x a a h h log ( ) log lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 + − = + − = → → h x a h a h a h x h x x h h x x x x h h lim log (1 ) 1 lim log (1 ) 1 log ( ) 1 lim 0 0 0 = + = + + = → → → x a e x a ln 1 log 1 = = 解 h x h x f x a a h log ( ) log ( ) lim 0 + − = → log (1 ) 1 lim 0 x h h a h = + → h x a h x h x lim log (1 ) 1 0 = + → x a e x a ln 1 log 1 = = 即 x a xa ln 1 (log ) = 特殊地 x x 1 (ln ) = x a xa ln 1 (log ) = x x 1 (ln ) = 例 6．求函数 f(x)=x|在 x=0 处的导数 解 1 | | lim (0 ) (0) (0) lim 0 0 = =− + − = → − → − − h h h f h f f h h 1 | | lim (0 ) (0) (0) lim 0 0 = = + − = → + → + + h h h f h f f h h 因为 f −(0) f +(0) 所以函数 f(x)=|x|在 x=0 处不可导 例 7．函数 3 f (x)= x 在区间(−, +)内连续 但在点 x=0 处不可导 这是因为函数在点 x=0 处导数为无穷大 h f h f h (0 ) (0) lim 0 + − → = + − = → h h h 0 lim 3 0 例 8．求等边双曲线 x y 1 = 在点 , 2) 2 1 ( 处的切线的斜率 并写出在该点处的切线方程和法线 方程 解 2 1 x y =− 所求切线及法线的斜率分别为 ) 4 1 ( 2 1 2 1 = − =− x= x k 4 1 1 1 2 = − = k k x
所求切线方程为y-2=-4红-，即4红+少40 所求法线方程为-2=-》、即2-8+15=0 例9。求由线=压的过点0，一4)的切线方程 解设切点的横坐标为斯。测切线的斜率为 u- 于是所求切线的方程可设为 -=x- 根据题目要求，点(0.4)在韧线上因此 -46=号0- 解之得=4.于是所求切线的方程为 y-44=24x-4h.即期-y40 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1如果函数仁域及=小在点方具有导数那么它们的和、差、积、商（除分母 为零的点外)都在点言具有导数，并且 域到=)V(: (ux)-Mr)r=/(rh(xH+urh'(x): M'm小-MxwM国 到x ) E明（壮e=生“创 -外但：] =(壮 法斯1)可简单地表示为 (过'=士. (2)-回x+mx+-MxM 为 =m国x+hx+h-减xhx++xx+h-fxmx h -e回] =m红+包mx++城m+国 =x)+mx汽从. 其中m叫x+h-州)是由于)存在，故x)在点x连线 法则2)可简单地表示为
所求切线方程为 ) 2 1 y−2=−4(x− 即 4x+y−4=0 所求法线方程为 ) 2 1 ( 4 1 y−2= x− 即 2x−8y+15=0 例 9．求曲线 y=x x 的通过点(0 −4)的切线方程 解 设切点的横坐标为 x0 则切线的斜率为 0 2 1 2 3 0 2 3 2 3 ( ) ( ) 0 f x x x x x x = = = = 于是所求切线的方程可设为 ( ) 2 3 0 0 0 0 y−x x = x x−x 根据题目要求 点(0 −4)在切线上 因此 (0 ) 2 3 4 0 0 0 0 − −x x = x −x 解之得 x0=4 于是所求切线的方程为 4( 4) 2 3 y−4 4 = x− 即 3x−y−4=0 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 1 如果函数 u=u(x)及 v=v(x)在点 x 具有导数 那么它们的和、差、积、商(除分母 为零的点外)都在点 x 具有导数 并且 [u(x) v(x)]=u(x) v(x) [u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x u x v x v x u x − = 证明 (1) h u x h v x h u x v x u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 + + − = → + − + − = → h v x h v x h u x h u x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 =u(x)v(x) 法则(1)可简单地表示为 (uv)=uv (2) h u x h v x h u x v x u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] lim 0 + + − = → [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 1 lim 0 u x h v x h u x v x h u x v x h u x v x h h = + + − + + + − → + − + + + − = → h v x h v x v x h u x h u x h u x h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 h v x h v x v x h u x h u x h u x h h h ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 + − + + + − = → → → =u(x)v(x)+u(x)v(x) 其中 0 lim h→ v(x+h)=v(x)是由于 v(x)存在 故 v(x)在点 x 连续 法则(2)可简单地表示为
(p=+. 国x+_M (3) ] 因= M东+为小-xx+ 红+xh -lim -M)x)--x)] x+x许 M红+包x红+国 h x+kiMx) Mxhx)-uxW) 法则(3)可简单地表示为 （恤=.(mer4,肖=r 12 定理1中的法则()2)可推广到任意有限个可导函数的情形.例如，设以、=州 =(x)均可导，则有 (叶-'=W+-. (awy=[(uv)wl'=mYw+(w)w' Wv+wr'hr+iw=ww+N'w+inw. 即 (wY■1w+w+w/, 在法则2)中.如果=CC为常数).则有 (C'=C. 例1.5=2x3-5x2+3x-7.求y 解：y/=(2x-5x2+3w-7'=(2xy-5x2y+3-=2x2y-5x2y+3新xy -23r3-52r+3-6r2-10r+3 例2-+4e-m受，求f国及八受 解：-(y44eof-(sny-32-4snx, 八-4 例3.='(sin+e0s,求y 解：y'=(e'Y(s1nx+eos+e(sn+cos ry e'(sin xtcos x)te'(cos x-sin x) -2e'0o6L 例4.=anx,求 解：/=(an=(sn=snx)cosx--sin.x(cosr) COST COBI =90ex+sn2x。1 co=sed. 即 ('-立， 制5.=c工，求
(uv)=uv+uv (3) v x h v x h u x h v x u x v x h h v x u x v x h u x h v x u x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) 0 0 + + − + = − + + = → → v x h v x h u x h u x v x u x v x h v x h ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0 + + − − + − = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x h v x h v x h v x v x u x h u x h u x h + + − − + − = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x −u x v x = 法则(3)可简单地表示为 2 ( ) v u v uv v u − = (uv)=uv (uv)=uv+uv 2 ( ) v u v uv v u − = 定理 1 中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形 例如 设 u=u(x)、v=v(x)、 w=w(x)均可导 则有 (u+v−w)=u+v−w (uvw)=[(uv)w]=(uv)w+(uv)w =(uv+uv)w+uvw=uvw+uvw+uvw 即 (uvw) =uvw+uvw+uvw 在法则(2)中 如果 v=C(C 为常数) 则有 (Cu)=Cu 例 1．y=2x 3−5x 2+3x−7 求 y 解 y=(2x 3−5x 2+3x−7)= (2x 3 )−(5x 2 )+(3x)−(7)= 2 (x 3 )− 5( x 2 )+ 3( x) =23x 2−52x+3=6x 2−10x+3 例 2 2 ( ) 3 4cos sin f x =x + x− 求 f (x)及 ) 2 ( f 解 f x x x ) 3x 4sin x 2 ( )=( 3)+(4cos )−(sin = 2 − 4 4 3 ) 2 ( = 2 − f 例 3．y=e x (sin x+cos x) 求 y 解 y=(e x )(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x) = e x (sin x+cos x)+ e x (cos x −sin x) =2e x cos x 例 4．y=tan x 求 y 解 x x x x x x x y x 2 cos (sin ) cos sin (cos ) ) cos sin (tan ) ( − = = = x x x x x 2 2 2 2 2 sec cos 1 cos cos sin = = + = 即 (tan x)=sec2 x 例 5．y=sec x 求 y