解：y=se=(lj-ycos-co-m=xxmx c082x C052有 即 (sec xY'msec xtmn x. 用类似方法，还可求得余切函数及余制函数的导数公式： (G0t)'=-sc2x. (csc x)'=-csc x cot x. 二、反函数的求导法则 定理2如果函数在某区间，内单到、可导且心0.那么它的反两数《)在 对应区间==以.e}内也可导，并且 a或鉴在 简要证明：由于x在，内单调、可兴从而连续)，所以心的反函数)存在 且()在：内也单调、连线. 任取xc,给x以增量AAr0,x+Are,山，由-(x)的单词性可知 △=气x+-f(0, 于是 y-1 Ar Ar 47 因为《)连续，故 imAy-0 从而 [f-(x)r-lim Av-lim 1 eAr-0△rU Av 上述结论可蔺单地说成：反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例6、设m男叶受引为直接函数，则)一cx是它的反函数函数ny在 区同（芬内单测、可装，且 (sin yy✉csp0 因此，由反函爱的求导法题，在对应区间1=-1,1)内有 (acsinry=1 1 (sinyy co西y-sny- 类以地有：(rcca=-,1 - 例7.设n(亭习为直接离数，则ax是它的反函数函数xny 在区同（受争内单调、可导，且 ('-sa20
解 x x x x y x 2 cos (1) cos 1 (cos ) ) cos 1 (sec ) ( − = = = x x 2 cos sin = =sec x tan x 即 (sec x)=sec x tan x 用类似方法 还可求得余切函数及余割函数的导数公式 (cot x)=−csc2 x (csc x)=−csc x cot x 二、反函数的求导法则 定理 2 如果函数 x=f(y)在某区间 Iy 内单调、可导且 f (y)0 那么它的反函数 y=f −1 (x)在 对应区间 Ix={x|x=f(y) yIy}内也可导 并且 ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x − = 或 dy dx dx dy 1 = 简要证明 由于 x=f(y)在 I y内单调、可导(从而连续) 所以 x=f(y)的反函数 y=f −1 (x)存在 且 f −1 (x)在 I x内也单调、连续 任取 x I x 给 x 以增量x(x0 x+xI x) 由 y=f −1 (x)的单调性可知 y=f −1 (x+x)−f −1 (x)0 于是 y x x y = 1 因为 y=f −1 (x)连续 故 lim 0 0 = → y x 从而 ( ) 1 1 [ ( )] lim lim 0 0 1 f y y x x y f x x y = = = → → − 上述结论可简单地说成 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例 6．设 x=sin y ] 2 , 2 [ y − 为直接函数 则 y=arcsin x 是它的反函数 函数 x=sin y 在 开区间 ) 2 , 2 ( − 内单调、可导 且 (sin y)=cos y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x=(−1 1)内有 2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = = = 类似地有 1 2 1 (arccos ) x x − =− 例 7．设 x=tan y ) 2 , 2 ( y − 为直接函数 则 y=arctan x 是它的反函数 函数 x=tan y 在区间 ) 2 , 2 ( − 内单调、可导 且 (tan y)=sec2 y0
因此，由反函数的求导法则，在对应区间1，=(-免，+四)内有 (arctanxy=】 (tanyy sec-y l+tany+x 类地指6cau: 例8设=气08)为直接函数。则=赐言是它的反函数.函数仁在区同/，=(e, +四)内单调、可导，且 (a门'=a'lna0 因此。由反函数的求导法则，在对应区间10，+)内有 111 (oga对-a“ah日nd 到目前为止，所基本初等函数的导数我们都求出来了，那么由基本初等函数构成的较复 杂的初等函数的导数如可求呢？如函数Intan.x,e、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理3如果g)在点x可导，函数N)在点一)可号，则复合函数烈明在点x 可导，且其导数为 安g或会来会 击山 正明：当=gx)在x的某邻线内为常数时，风x川也是常数此时导数为零，结论自然 成立. 当=)在x的某邻域内不等于常数时，△0.此时有 变.x+几).x+1x+A)- g在+Ag0 _w+Aw@.+A上烈 r 空=mg=mu+Aw-um+=g dr a-0 Ar a-e Ar 简要证明： Ar lim m Ay=limn Ay.lim Aufag'(x). 生-Mx“w四 剑9e,求密 解函数y=可看作是由=“，=x复合而成的.因此 空.变血.3r-re. 女加t 例10=血条，求会 解函数)血条是由加，条复合面成的 因此 少.亚业=caw 1+2-2x21-2 山 (+rco 对复合函数的导数比较熟练后，就不必再写出中间变量
因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x=(− +)内有 2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = = = 类似地有 1 2 1 (arccot ) x x + =− 例 8 设 x=a y (a0 a 1)为直接函数 则 y=loga x 是它的反函数 函数 x=a y在区间 I y=(− +)内单调、可导 且 (a y )=a y ln a 0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x=(0 +)内有 a a a x a x y y a ln 1 ln 1 ( ) 1 (log ) = = = 到目前为止 所基本初等函数的导数我们都求出来了 那么由基本初等函数构成的较复 杂的初等函数的导数如可求呢？如函数 lntan x 、 3 x e 、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理 3 如果 u=g(x)在点 x 可导 函数 y=f(u)在点 u=g(x)可导 则复合函数 y=f[g(x)]在点 x 可导 且其导数为 f (u) g (x) dx dy = 或 dx du du dy dx dy = 证明 当 u=g(x)在 x 的某邻域内为常数时 y=f[(x)]也是常数 此时导数为零 结论自然 成立 当 u=g(x)在 x 的某邻域内不等于常数时 u0 此时有 x g x x g x g x x g x f g x x f g x x f g x x f g x x y + − + − + − = + − = ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] x g x x g x u f u u f u + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) x g x x g x u f u u f u x y dx dy x u x + − + − = = → → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim lim 0 0 0 = f (u)g (x ) 简要证明 x u u y x y dx dy x x = = →0 →0 lim lim lim lim ( ) ( ) 0 0 f u g x x u u y u x = = → → 例 9 3x y=e 求 dx dy 解 函数 3x y=e 可看作是由 y=e u u=x 3 复合而成的 因此 2 2 3 u 3 3 x e x x e dx du du dy dx dy = = = 例 10 1 2 2 sin x x y + = 求 dx dy 解 函数 1 2 2 sin x x y + = 是由 y=sin u 1 2 2 x x u + = 复合而成的 因此 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 cos (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (2 ) cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy + + − = + + − = = 对复合函数的导数比较熟练后 就不必再写出中间变量
例1l,lnnk,求空 解：=nsn= smxf=1 -C08x=C0 snx si 例12.y=2,求史 解安0-2--2y0-22 -4x 复合函数的求导法则可以推广到多个中同变量的情形.例如，设=N以=同以=网以 则 变变血血血直 在布女咖ht 制1.ineo求安 躲&-hcaT-eo水a ”eole十eey 例4.片，求会 例15设o0正明琴函数的导数公式 怎=x1. 解因为x(eaye,所以 (xy=(euhy=emulxy=ewhux=u 四、基本求导法则与导数公式 1,基本初等函数的导数 (1C'-0 2Y=x1, (3XsinxYmcosx (4Xcosx)'=-sinx. (5Xtanx)'usee'x, (6ctx'=-cc工， (7x)'=80em (8csc x)'=-csc x cotx (9Xa"Y=a'Ino. (10ey'=e, (山ogf=xina 1
例 11．lnsin x 求 dx dy 解 (sin ) sin 1 =(lnsin ) = x x x dx dy x x x cos cot sin 1 = = 例 12． 3 1 2 2 y= − x 求 dx dy 解 (1 2 ) (1 2 ) 3 1 [(1 2 ) ] 3 2 2 3 2 1 2 = − = − − − x x x dx dy 3 2 2 3 (1 2 ) 4 x x − − = 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设 y=f(u) u=(v) v=(x) 则 dx dv dv du du dy dx du du dy dx dy = = 例 13．y=lncos(e x ) 求 dx dy 解 [cos( )] cos( ) 1 =[lncos( )] = x x x e e e dx dy [ sin( )] ( ) tan( ) cos( ) 1 x x x x x e e e e e = − =− 例 14． y e x 1 sin = 求 dx dy 解 ) 1 ( 1 ) cos 1 ( ) (sin 1 sin 1 sin 1 sin = = = x x e x e e dx dy x x x x e x x 1 cos 1 1 sin 2 =− 例 15 设 x0 证明幂函数的导数公式 (x )= x −1 解 因为 x =(e ln x ) =e ln x 所以 (x )=(e ln x )= e ln x ( ln x)= e ln x x −1= x −1 四、基本求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数 (1)(C)=0 (2)(x )= x −1 (3)(sin x)=cos x (4)(cos x)=−sin x (5)(tan x)=sec2 x (6)(cot x)=−csc2 x (7)(sec x)=sec xtan x (8)(csc x)=−csc xcot x (9)(a x )=a x ln a (10)(e x )=e x (11) x a x a ln 1 (log ) =
(12)m=4 )国cm京 (14）(wccosy=-1 - (15)(arctanxy= +x2 （06 (arco=+x 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设=域，=x)都可导，则 (Iu士j-r, (2C'=CM, (3=M+Y, 的r 3,反函数的求导法则 设x在区间，内单调.可号且了心0则它的反函数x)在N月内也可导，并 且 dy 4.复合函数的求导法则 设功，而一且及)都可导，则复合函数的导数为 空-史血或g国 b齿 例16，求双曲正弦动x的导数 解：因为s动x=-,所以 (h(eteechx, 2 即 (shxl'-chx. 类似地，有 (chxY动x 例7.求双曲正切hx的导数。 解：因为由=h江，所以 chx 由 ch'xch'x 例1家求反双曲正弦动x的导数 解：因为ashx=nx++x),所以
(12) x x 1 (ln ) = (13) 1 2 1 (arcsin ) x x − = (14) 1 2 1 (arccos ) x x − =− (15) 1 2 1 (arctan ) x x + = (16) 1 2 1 (arccot ) x x + =− 2．函数的和、差、积、商的求导法则 设 u=u(x) v=v(x)都可导 则 (1)(u v)=uv (2)(C u)=C u (3)(u v)=uv+uv (4) 2 ( ) v u v uv v u − = 3．反函数的求导法则 设 x=f(y)在区间 Iy 内单调、可导且 f (y)0 则它的反函数 y=f −1 (x)在 Ix=f(Iy)内也可导 并 且 ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x − = 或 dy dx dx dy 1 = 4．复合函数的求导法则 设 y=f(x) 而 u=g(x)且 f(u)及 g(x)都可导 则复合函数 y=f[g(x)]的导数为 dx du du dy dx dy = 或 y(x)=f (u)g(x) 例 16 求双曲正弦 sh x 的导数. 解 因为 ( ) 2 1 sh x x x e e = − − 所以 x e e e e x x x x x ( ) ch 2 1 ( ) 2 1 (sh ) = − − = + − = 即 (sh x)=ch x 类似地 有 (ch x)=sh x 例 17 求双曲正切 th x 的导数 解 因为 x x x ch sh th = 所以 x x x x 2 2 2 ch ch sh (th ) − = x 2 ch 1 = 例 18 求反双曲正弦 arsh x 的导数 解 因为 arsh ln( 1 ) 2 x= x+ +x 所以
原+家卢京 as动=1 由ch=+可，可得ch- 由h告可得球录 类钱地可得ch矿。h球- 例19.=nrsx(n为常数，求y 解：ye(sinysin"x+sin四-(sin"x =cos msin”xsn~姓：inx(dnxY =e0 s rsin'rta sinx-g08x=nsn-lx·sin(n+1ir。 五、隐函数的导数 曼函数：形如知风)的函数称为最函数制如=x,n+e3, 隐函数：由方程Fx,y=山所确定的函数称为隐函数. 侧如1，方程x+少23-1-0确定的隐函数为yy=-x 如果在方程气红片0中，当x取某区间内的任一植时，相应地总有诱足这方程的唯一的 y值存在，郑么就说方程Fx,0在该区间内确定了一个隐场数. 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的，甚至是 不可能的.但在实际月愿中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我门希望有一种方法，不 管隐函数能香显化。都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来 例20，求由方程+=0所确定的隐函数y的导数. 解：把方程两边的每一项对x求导数得 e''-(e'-or. 即 e.y+y+n=0. 从而=名a0 例21.求由方程+2-x-3知0所确定的隐函数=式x)在 0处的导数yd 解：把方程两边分别对x求导数得 5ry+2y-1-21x0 由此得y=+2 514+2 因为当0时，从原方程得=0，所以 儿-2r 1 5+z3 例江求精酒后号1在多处的切线方程 解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得 意号0
2 2 1 2 1 ) 1 (1 1 1 (arsh ) x x x x x x + = + + + + = 由 arch ln( 1) x= x+ x 2 − 可得 1 1 (arch ) 2 − = x x 由 x x x − + = 1 1 ln 2 1 arth 可得 1 2 1 (arth ) x x − = 类似地可得 1 1 (arch ) 2 − = x x 1 2 1 (arth ) x x − = 例 19．y=sin nxsinn x (n 为常数) 求 y 解 y=(sin nx) sin n x + sin nx (sin n x) = ncos nx sin n x+sin nx n sin n−1 x (sin x ) = ncos nx sin n x+n sin n−1 x cos x =n sin n−1 x sin(n+1)x 五、隐函数的导数 显函数 形如 y=f(x)的函数称为显函数 例如 y=sin x y=ln x++e x 隐函数 由方程 F(x y)=0 所确定的函数称为隐函数 例如 方程 x+y 3 −1=0 确定的隐函数为 y 3 y= 1−x 如果在方程 F(x y)=0 中 当 x 取某区间内的任一值时 相应地总有满足这方程的唯一的 y 值存在 那么就说方程 F(x y)=0 在该区间内确定了一个隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的显化有时是有困难的 甚至是 不可能的 但在实际问题中 有时需要计算隐函数的导数 因此 我们希望有一种方法 不 管隐函数能否显化 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来 例 20．求由方程 e y +xy−e=0 所确定的隐函数 y 的导数 解 把方程两边的每一项对 x 求导数得 (e y )+(xy)−(e)=(0) 即 e y y+y+xy=0 从而 y x e y y + =− (x+e y 0) 例 21．求由方程 y 5+2y−x−3x 7=0 所确定的隐函数 y=f(x)在 x=0 处的导数 y|x=0 解 把方程两边分别对 x 求导数得 5yy+2y−1−21x 6=0 由此得 5 2 1 21 4 6 + + = y x y 因为当 x=0 时 从原方程得 y=0 所以 2 1 | 5 2 1 21 | 0 4 6 0 = + + x= = x= y x y 例 22 求椭圆 1 16 9 2 2 + = x y 在 3) 2 3 (2, 处的切线方程 解 把椭圆方程的两边分别对 x 求导 得 0 9 2 8 + yy = x