徽积分起源纠纷 16的5年夏天，因为英国爆发鼠技，剑桥大学暂时关闭。刚刚获得学士学位、准备留校 任教的牛顿被迫离校到他醇亲的农场住了一年多。这一年多核称为奇迹年“，。牛顿对三大运 动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。在研究这丝问愿过程中，他发现了 他称为流数术"的微积分，他在16场年写下了一篇关于流数术的短文。之后又写了几篇有 关文章。但是这些文章当时都没有公开发表，只是在一些英国科学家中流传。 首次发表有关微积分研究论文的是德国皙学家莱布尼茨。莱布尼茨在1675年已发现了 微积分，但是也不急于发表，只是在手稿和通信中提及这些发观。1684年，菜布尼茨正式 发表他对微分的发现。两年后，他又发表了有关积分的研究。在瑞士人自努利兄弟的大力推 动下，莱布尼茨的方法很快传了欧洲。到169%年时。己有微积分的教科书出版。 起初，并没有人来争夺微积分的发现权。1699年，移居英国的一名瑞士人一方面为了 时好英国人，另一方面由于与莱布尼茨的个人思忽，折责莱布尼茨的微积分是到窃自牛镜的 流数术，但此人并无威望，道到莱布尼茨的吸斥后，就没了下文。104年，在其光学著作 的附录中，牛顿首次完整地发表了其流数术，当年出现了一篇匠名评论，反过来雷责牛领的 流数术是窗白莱布尼茨的微积分。 于是究竟是森首先发现了微积分，就成了一个需要解决的问题了。171年，苏格兰料 学家，英国皇家学会会员约障机尔在致皇家学会书记的信中，霜责莱布尼茨测简了牛领的 成果，只不过用不同的符号表示法改头换面，同样身为皇家学会会员的菜布尼茨提出抗议， 要求皇家学会禁止凯尔的博場。泉家学会组成一个委员会调查此事，在次年发布的调查报告 中认定牛顿首先发现了微积分，并谴责菜布尼茨有意隐瑞他如道牛顿的研究工作。此时牛顿 是皇家学会的会长，虽然在公开的场合假装与这个事件无关，但是这篇调查报告其实是牛领 本人起草的。触还屠名写了一篇政击莱布尼关的长篇文章。 当然，争论并未因为这个偏向性极为明晶的调查报告的出笼而平息。事实上，这场争论 一直廷续到了现在。没有人，包括菜布尼茨本人，否认牛顿首先发现了微积分。间题是，莱 布尼茨是否鞋立地发现了微积分？莱每尼茨是否别商了牛顿的发现？ 1673年，在莱布尼茨创建微积分的前夕，他曹访例伦教。虽然他没有见过牛顿，们是 与一些英国数学家见而讨论过数学闫题。其中有的数学家的研究与微积分有关，甚至有可能 给莱布尼茨看过牛领的有关手稿。莱布尼茨在峰死前承认他看过牛顿的一些手稿，但是又说 这些下稿对他没有价值， 此外，莱布尼茨长期与英国皇家学会书记，图书馆员通信，从中了解到英国数学研究的 进展。1676年，莱布尼茨甚至收到过牛顿的两封信，信中概述了牛领对无穷级数的研究， 虽然这些通信后来被牛倾的支持者用来反对莱布尼茨，但是它门并不含有创建微积分所需要 的详细信息。莱布尼茨在创建微积分的过程中究意受到了英国数学家多大的影响，级怕没人 能说得清。 后人在莱布尼茨的手稿中发现他曾抄录牛顿关于流数术的论文的段落，并将其内容改用 他发明的微积分符号表示，这个发现似乎对莱都尼茂不利。但是，我们无法确定的是，莱和 尼茨是什么时候抄录的？如果是在能创建微积分之前，从某位英国数学家那里看到牛镜的手 稿时抄录的，那当然可以做为莱布尼茨剩府的铁证。但是也也可能是在牛顿于1心4年发表
微积分起源纠纷 1665 年夏天，因为英国爆发鼠疫，剑桥大学暂时关闭。刚刚获得学士学位、准备留校 任教的牛顿被迫离校到他母亲的农场住了一年多。这一年多被称为“奇迹年”，牛顿对三大运 动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。在研究这些问题过程中，他发现了 他称为“流数术”的微积分。他在 1666 年写下了一篇关于流数术的短文，之后又写了几篇有 关文章。但是这些文章当时都没有公开发表，只是在一些英国科学家中流传。 首次发表有关微积分研究论文的是德国哲学家莱布尼茨。莱布尼茨在 1675 年已发现了 微积分，但是也不急于发表，只是在手稿和通信中提及这些发现。1684 年，莱布尼茨正式 发表他对微分的发现。两年后，他又发表了有关积分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推 动下，莱布尼茨的方法很快传遍了欧洲。到 1696 年时，已有微积分的教科书出版。 起初，并没有人来争夺微积分的发现权。1699 年，移居英国的一名瑞士人一方面为了 讨好英国人，另一方面由于与莱布尼茨的个人恩怨，指责莱布尼茨的微积分是剽窃自牛顿的 流数术，但此人并无威望，遭到莱布尼茨的驳斥后，就没了下文。1704 年，在其光学著作 的附录中，牛顿首次完整地发表了其流数术。当年出现了一篇匿名评论，反过来指责牛顿的 流数术是剽窃自莱布尼茨的微积分。 于是究竟是谁首先发现了微积分，就成了一个需要解决的问题了。1711 年，苏格兰科 学家、英国皇家学会会员约翰·凯尔在致皇家学会书记的信中，指责莱布尼茨剽窃了牛顿的 成果，只不过用不同的符号表示法改头换面。同样身为皇家学会会员的莱布尼茨提出抗议， 要求皇家学会禁止凯尔的诽谤。皇家学会组成一个委员会调查此事，在次年发布的调查报告 中认定牛顿首先发现了微积分，并谴责莱布尼茨有意隐瞒他知道牛顿的研究工作。此时牛顿 是皇家学会的会长，虽然在公开的场合假装与这个事件无关，但是这篇调查报告其实是牛顿 本人起草的。他还匿名写了一篇攻击莱布尼茨的长篇文章。 当然，争论并未因为这个偏向性极为明显的调查报告的出笼而平息。事实上，这场争论 一直延续到了现在。没有人，包括莱布尼茨本人，否认牛顿首先发现了微积分。问题是，莱 布尼茨是否独立地发现了微积分？莱布尼茨是否剽窃了牛顿的发现？ 1673 年，在莱布尼茨创建微积分的前夕，他曾访问伦敦。虽然他没有见过牛顿，但是 与一些英国数学家见面讨论过数学问题。其中有的数学家的研究与微积分有关，甚至有可能 给莱布尼茨看过牛顿的有关手稿。莱布尼茨在临死前承认他看过牛顿的一些手稿，但是又说 这些手稿对他没有价值。 此外，莱布尼茨长期与英国皇家学会书记、图书馆员通信，从中了解到英国数学研究的 进展。1676 年，莱布尼茨甚至收到过牛顿的两封信，信中概述了牛顿对无穷级数的研究。 虽然这些通信后来被牛顿的支持者用来反对莱布尼茨，但是它们并不含有创建微积分所需要 的详细信息。莱布尼茨在创建微积分的过程中究竟受到了英国数学家多大的影响，恐怕没人 能说得清。 后人在莱布尼茨的手稿中发现他曾抄录牛顿关于流数术的论文的段落，并将其内容改用 他发明的微积分符号表示。这个发现似乎对莱布尼茨不利。但是，我们无法确定的是，莱布 尼茨是什么时候抄录的？如果是在他创建微积分之前，从某位英国数学家那里看到牛顿的手 稿时抄录的，那当然可以做为莱布尼茨剽窃的铁证。但是他也可能是在牛顿于 1704 年发表
该论文时才抄录的，此时他本人的有关论文早已发表多年了， 后人通过研究莱布尼炭的手稿还发现，菜态尼发和牛领是从不同的思路创建微积分的： 牛顿是为解决运动月题，先有导数概念，后有积分概之：莱布尼茨则反过来，受其霄学思想 的影响。先有积分概念，后有导数概念。牛顿仅仅是把微积分当作物理研究的数学工具。而 莱布尼茨则意识到了微积分将会给数学带来一场革鱼。这些似乎又表明莱布尼茨像地一再声 称的都样，是白己鞋立地创建微积分的。 即使菜布尼茨不是独立地创建微积分，他也对微积分的发展做出了重大贡献。菜布尼茨 对微积分表述得更清楚，采用的符号系饶比牛顿的更直观，合理，被普语采纳沿用至今。因 此现在的教科节一般把牛顿和莱布尼茨共同列为微积分的侧建者。 实际上，如果这个事件发生在当今，莱布尼茨会毫无争议地梭视为微积分的创建者，因 为现在的学术界遵循的是谁先发表谁就拇有发现权的原则，反对长期对科学发现秘而不宣。 至于两人之间私下的思怨，谁能说得清呢？尤其是在有国家荣耀、民族情绪参与其中之时， 更难以达成共识。牛领与莱布尼茨之争，演变成了英国科学界与德国科学界、乃至与整个款 洲大陆科学界的对抗：英国数学家此后在根长一段时间内不愿接受欧洲大陆数学家的研究成 果。他们坚持教授、使用牛顿那套落后的微积分符号和过时的数学观念，使得英国的数学研 究停滑了一个多世纪，直到1820年才愿意承认其他国家的数学成果，重新加入国际主流。牛 领与菜布尼深之争并无损于莱布尼茨的名声，但对莫国的科学事业却是一场灾难，虽然设一科 学没有国界，但科学家有相国”《巴斯德语)，但是如果让民族主义干扰了科学研究，就很 容易将国界加之于科学之上，从而使一国的科学研究敲排斥于国际科学界之外，反而妨碍了 本国的科学发展
该论文时才抄录的，此时他本人的有关论文早已发表多年了。 后人通过研究莱布尼茨的手稿还发现，莱布尼茨和牛顿是从不同的思路创建微积分的： 牛顿是为解决运动问题，先有导数概念，后有积分概念；莱布尼茨则反过来，受其哲学思想 的影响，先有积分概念，后有导数概念。牛顿仅仅是把微积分当作物理研究的数学工具，而 莱布尼茨则意识到了微积分将会给数学带来一场革命。这些似乎又表明莱布尼茨像他一再声 称的那样，是自己独立地创建微积分的。 即使莱布尼茨不是独立地创建微积分，他也对微积分的发展做出了重大贡献。莱布尼茨 对微积分表述得更清楚，采用的符号系统比牛顿的更直观、合理，被普遍采纳沿用至今。因 此现在的教科书一般把牛顿和莱布尼茨共同列为微积分的创建者。 实际上，如果这个事件发生在当今，莱布尼茨会毫无争议地被视为微积分的创建者，因 为现在的学术界遵循的是谁先发表谁就拥有发现权的原则，反对长期对科学发现秘而不宣。 至于两人之间私下的恩怨，谁能说得清呢？尤其是在有国家荣耀、民族情绪参与其中之时， 更难以达成共识。牛顿与莱布尼茨之争，演变成了英国科学界与德国科学界、乃至与整个欧 洲大陆科学界的对抗。英国数学家此后在很长一段时间内不愿接受欧洲大陆数学家的研究成 果。他们坚持教授、使用牛顿那套落后的微积分符号和过时的数学观念，使得英国的数学研 究停滞了一个多世纪，直到 1820 年才愿意承认其他国家的数学成果，重新加入国际主流。牛 顿与莱布尼茨之争并无损于莱布尼茨的名声，但对英国的科学事业却是一场灾难。虽然说“科 学没有国界，但科学家有祖国”（巴斯德语），但是如果让民族主义干扰了科学研究，就很 容易将国界加之于科学之上，从而使一国的科学研究被排斥于国际科学界之外，反而妨碍了 本国的科学发展
一元函数导数与微分 基础模块： 导入： 在引入光极限和连续的概念之后，我们可以米学习一下另一个非常重要的概念一一导 数，在科学研究和工程技术中，常常遇到求变量的变化率的问题，接下米我们就从两个方面 的问恶入手，来探以导数的方法。 内容： 一、引例 1,直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动，时刻质点的坐标为。。是「的函数 =式0 求动点在时刻的建度 考虑比值 -. -1-6 这个比值可认为是动点在时间间隔一角内的平均速度.如果时间间隔透较短。这个比值在实 践中也可用来说明动点在时刻的速度.但这样做是不精确的，更确地应当这样：令1一→0 取比值型的授限如果这个极限存在，设为，即 I-te =m- 61-4 这时就把这个极限值￥称为动点在时刻的速度 2.切线月题 设有曲线C及C上的一点M,在点M外另取C上一点X.作副线AN当点N沿曲线C 趋于点M时，如果割战MN绕点M较转面趋于极限位置MT,直线MT就称为由线C有点M 处的切线， 设由线C就是函数)的图形，现在要确定曲线在点填电，=（知川处的切线，只 要定出切线的斜率：行了.为此，在点M外另取C上一点x,功，于是别线MN的解率为 ne=二边-) 其中为刺线W的倾角.当点N沿由线C趋于点山时，x和.如果当x+时，上式的极限 存在。设为k。即 kam处) 若一无 存在，则此极限：是割线斜率的极限，也就是切线的斜率这里a,其中位是切线T的 领角.于是，通过点Mm,m》且以素为斜率的直线T便是曲线C在点M处的切线。 二、导数的定义 1,函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个间愿看出.非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的
一元函数导数与微分 基础模块： 导入： 在引入完极限和连续的概念之后，我们可以来学习一下另一个非常重要的概念——导 数。在科学研究和工程技术中，常常遇到求变量的变化率的问题，接下来我们就从两个方面 的问题入手，来探讨导数的方法。 内容： 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻 t 质点的坐标为 s s 是 t 的函数 s=f(t) 求动点在时刻 t0 的速度 考虑比值 0 0 0 0 ( ) ( ) t t f t f t t t s s − − = − − 这个比值可认为是动点在时间间隔 t−t0 内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在实 践中也可用来说明动点在时刻t0 的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这样 令t −t0→0 取比值 0 0 ( ) ( ) t t f t f t − − 的极限 如果这个极限存在 设为 v 即 0 0 ( ) ( ) lim 0 t t f t f t v t t − − = → 这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0 的速度 2．切线问题 设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置 MT 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ 处的切线 设曲线 C 就是函数 y=f(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(x0, y0)(y0=f(x0))处的切线 只 要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y) 于是割线 MN 的斜率为 0 0 0 0 ( ) ( ) tan x x f x f x x x y y − − = − − = 其中为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 x→x0 如果当 x→ 0 时 上式的极限 存在 设为 k 即 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x k x x − − = → 存在 则此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 k=tan 其中是切线 MT 的 倾角 于是 通过点 M(x0, f(x0))且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线 二、导数的定义 1 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的
极限 Im f)-f) +4x一6 令A-,期A+m-rm-相当于Ar-0,于是m ，1- 成为中是骏巴四 定义设函数=式)在点和的某个邻线内有定义，当自变量x在南处取得增量点 和+x仍在该邻规内时，相应地函数y取得增量=风+M)水如果y与x之比当△x+0 时的极限存在，则称函数=x)在点面处可导，并称这个极限为函数=x)在点知处的导数. 记为儿4，即 )Iim Im 1(xtAr-f(x! -+0r如-+0A 也可记为儿·去 空暖团 drat 函数)在点角处可导有时也说成)在点和具有导数成导数存在 导数的定义式也可取不闪的形式常见的有 )=m±- )lim f)-f 在实际中。雷要时论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”同题，在数学上就是所 函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限血西+型不存在，就说函数在点知处不可导 如果不可导的原因是由于m+△型=函. +0 Ar 也往往说函数=N)在点和处的导数为无穷大 如果函数=)在开区间1内的每点处都可导，就称函数在开区何I内可导.这时，对 于任一xe,都对位着x)的一个确定的导爱值这样线构成了一个新的函数。这个函数叫 质原来函数的导函版记作，国，会，设公. 导函数的定义： =+世@=典+此 h (和)与)之间的关系 函数)在点角处的导数(x)减是导函数了)在点处的函数值，即 =-· 导函数()简称导数，而了()是风)在处的导数或导数了()在处的值 左右导数：所列极限存在，则定义
极限 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − → 令x=x−x0 则y=f(x0+x)−f(x0)= f(x)−f(x0) x→x0 相当于x →0 于是 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − → 成为 x y x →0 lim 或 x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 定义 设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域内有定义 当自变量 x 在 x0 处取得增量x(点 x0+x 仍在该邻域内)时 相应地函数 y 取得增量y=f(x0+x)−f(x0) 如果y 与x 之比当x→0 时的极限存在 则称函数 y=f(x)在点 x0 处可导 并称这个极限为函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 记为 0 | x x y = 即 x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 也可记为 0 | x x y = 0 dx x x dy = 或 0 ( ) dx x x df x = 函数 f(x)在点 x0 处可导有时也说成 f(x)在点 x0 具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式 常见的有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → 在实际中 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓 函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限 x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 不存在 就说函数 y=f(x)在点 x0 处不可导 如果不可导的原因是由于 = + − → x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0 也往往说函数 y=f(x)在点 x0 处的导数为无穷大 如果函数y=f(x)在开区间I 内的每点处都可导 就称函数f(x)在开区间I 内可导 这时 对 于任一 x I 都对应着 f(x)的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函数 这个函数叫 做原来函数 y=f(x)的导函数 记作 y f (x) dx dy 或 dx df (x) 导函数的定义 x f x x f x y x + − = → ( ) ( ) lim 0 = h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − → f (x0)与 f (x)之间的关系 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f (x)就是导函数 f (x)在点 x=x0 处的函数值 即 0 ( ) ( ) 0 x x f x f x = = 导函数 f (x)简称导数 而 f (x0)是 f(x)在 x0 处的导数或导数 f (x)在 x0 处的值 左右导数 所列极限存在 则定义
在x的左导数：%-飞±外型 在的右导数：化)-m+的 如果极限m+儿存在则称此极限值为函数在和的左导数 如果极限m任+低存在，则称此极限值为函数在和的右导数 导数与左右导数的关系：无=A台瓜，=(=A. 2.单侧导数： 极限工+团存在的充分必要条件是 思但及m+机 为 那存在且相等。 风)在无处的左导数：名)=m +- 在处的右导数：)=m+国 导数与左右导数的关系： 函数x)在点期处可导的充分必要条件是左号数左导数个和)和右导数()都存在且相 如果函数x)在开区间(a)内可导，且右导数()和左导数了()都存在就说风x)有 闭区同a,1上可导 三、导数的几何意义 函数=开)在点和处的导数”)在几何上表示曲线=x)在点城南风南小处的切线的斜 率，即 f(xo)-tan a, 其中a是切线的领角 如果一)在点到处的导数为无穷大，这时由线)的割线以垂直于x轴的直线 为极限位置。即曲线=A)在点线和，和川处具有垂直于x轴的切线=和： 由直线的点斜式方程，可知由线在点城角，功)处的切线方程为 =(南x-南. 过切点城和，)且与切线垂直的直线叫做由线=)在点M处的法线如果 四加心法线的解率为-高·从面法线方程为 -%=-
f(x)在 0 x 的左导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → − − f(x)在 0 x 的右导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → + + 如果极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0 + − →− 存在 则称此极限值为函数在 x0 的左导数 如果极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0 + − →+ 存在 则称此极限值为函数在 x0 的右导数 导数与左右导数的关系 f (x0 )= A f− (x0 )= f+ (x0 )= A 2．单侧导数 极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − → 存在的充分必要条件是 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − → − 及 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − → + 都存在且相等 f(x)在 0 x 处的左导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 + − = → − − f(x)在 0 x 处的右导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 + − = → + + 导数与左右导数的关系： 函数 f(x)在点 x0 处可导的充分必要条件是左导数左导数 f −(x0) 和右导数 f +(x0)都存在且相 等 如果函数 f(x)在开区间(a, b)内可导 且右导数 f +(a) 和左导数 f −(b)都存在 就说 f(x)有 闭区间[a, b]上可导 三、导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f (x0)在几何上表示曲线 y=f(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜 率 即 f (x 0)=tan 其中是切线的倾角 如果 y=f(x)在点 x0 处的导数为无穷大 这时曲线 y=f(x)的割线以垂直于 x 轴的直线 x=x0 为极限位置 即曲线 y=f(x)在点 M(x0, f(x0))处具有垂直于 x 轴的切线 x=x0 由直线的点斜式方程 可知曲线 y=f(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为 y−y0=f (x0)(x−x0) 过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线 y=f(x)在点 M 处的法线如果 f (x0)0 法线的斜率为 ( ) 1 0 f x − 从而法线方程为 ( ) ( ) 1 0 0 0 x x f x y y − − = −